1、 专题专题 11 实际问题中的方程（组）与函数题型实际问题中的方程（组）与函数题型 【例 1】 （2019 郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%，在试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天 可售出 300 本， 销售单价每上涨 1 元， 每天销售量减少 10 本， 现商店决定提价销售， 设每天销售量为 y 本， 销售单价为 x 元. （1）请直接写出 y 与 x 直接的函数关系式及 x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？ （3）当每本足
2、球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润 w 最大？最大利润是多少元？ 【答案】见解析. 【解析】解： （1）y=30010(x44)， 整理得：y=10x+740， （44x52） ； （2）由题意得： （x40） （10x+740）=2400， 解得：x=50，x=64（舍） ， 即当每本足球纪念册的销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元. （3）由题意得：w=（x40） （10x+740） =10（x57）2+2890 1024x+96,即 x16 且 x 为整数时，应分别购买较为优惠. 3.（2019洛阳三模）近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在
3、逐年增加， 某商场从厂家购进了 A，B 两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表： A 型销售数量（台） B 型销售数量（台） 总利润（元） 5 3 950 3 4 900 （1）每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是多少？ （2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台，其中 B 型空气净化器的进货量不多于 A 型空气净化器的 2 倍， 为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大， 请你设计相应的进货方案； （3）已知 A 型空气净化器的净化能力为 200 m3/小时，B 型空气净化器的净化能力为 300 m3/小时， 某长方体室内活动场地
4、的总面积为 200 m2，室内墙高 3 m，该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天花 费 30 分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买 A 型空气净化器多少台？ 【答案】见解析. 【解析】解：(1)设每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是 x 元，y 元， 由题意得： 53950 34900 xy xy ，解得：x=100，y=150， 每台 A 型空气净化器和 B 型空气净化器的销售利润分别是 100 元，150 元. （2）设购买 A 型 m 台，则购进 B 型（80x）台，利此时润为 w 元， 由题意知：80m2m，0m80，m 为整数 可得：
5、 80 3 m80，m 为整数， W=100m+150（80m） =50m+12000， 5035 时，购买 B 品牌的计算器更合算 6.（2018信阳一模）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1 根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元 （1）求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍，请 设计书最省钱的购买方案，并说明理由 【答案】见解析 【解析】解： （1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元
6、，一根 B 型跳绳的售价是 y 元， 根据题意，得：2x+y=56，x+2y=82， 解得：x=10，y=36， 即一根 A 型跳绳售价是 10 元，一根 B 型跳绳的售价是 36 元； （2）由 m3（50m） ，得：m37.5， 0m37，且 m 为整数， 设购进 A 型跳绳 m 根，总费用为 W 元， 根据题意，得：W=10m+36（50m） =26m+1800， 260， W 随 m 的增大而减小， 当 m=37 时，W最小=838， 即当购买 A 型跳绳 37 根，B 型跳绳 13 根时，最省钱 7.（2019南阳毕业测试）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进 A、
7、B 两种树 苗共 17 棵，已知 A 种树苗每棵 80 元，B 种树苗每棵 60 元 （1）若购进 A、B 两种树苗刚好用去 1220 元，问购进 A、B 两种树苗各多少棵？ （2）若购进 A 种树苗 a 棵，所需费用为 W，求 W 与 x 的函数关系式； （3）若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需 费用 【答案】见解析. 【解析】解： （1）设购进 A 种树苗 x 棵，则购进 B 种树苗（17x）棵， 由题意得：80x+60（17x ）1220， 解得：x10， 即购进 A 种树苗 10 棵，B 种树苗 7 棵； （2）W 与 a 的函
8、数关系式： W80a+60（17a） 20a+1020； （3）由题意得：17a8.5， 8.5a17，且 a 为整数， 由（2）知，W20a+1020， W 随 a 的增大而增大， a=9 时，即购买 9 棵 A 种树苗，8 棵 B 种树苗时，费用最少， W809+6081200， 即购买 9 棵 A 种树苗，8 棵 B 种树苗时，费用最少，需要 1200 元 8.（2019开封二模）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升某校计划购进 A，B 两种 树木共 100 棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买 A 种树木 2 棵，B 种树木 5 棵，共需 600 元；购买 A 种树木 3 棵
9、，B 种树木 1 棵，共需 380 元 （1）求 A 种，B 种树木每棵各多少元？ （2）因布局需要，购买 A 种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍学校与中标公司签订的合同中规 定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素） ，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树 木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 【答案】见解析 【解析】解： （1）设 A 种树每棵 x 元，B 种树每棵 y 元， 依题意得： 25600 3380 xy xy ， 解得： 100 80 x y ， 答：A 种树每棵 100 元，B 种树每棵 80 元； （2）设购买 A 种树木为 a 棵，则购买
10、 B 种树木为（100a）棵， 有 a3（100a） ， 解得：a75 设实际花费金额是 y 元，则： y0.9100a+80（100a） 18a+7200 180， y 随 a 的增大而增大， 当 a75 时，y 取最小值， 即当 a75 时，y最小值1875+72008550（元） 答：当购买 A 种树木 75 棵，B 种树木 25 棵时，所需费用最少，最少为 8550 元 9.（2019安阳一模）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方 式，具体情况如下表： 规格 线下 线上 单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个） 运费（元/个） 甲 240 0 2
11、10 20 乙 300 0 250 30 （1）如果在线下购买甲、乙两种书架共 30 个，花费 8 280 元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？ （2）如果在线上购买甲、乙两种书架共 30 个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍，请求 出花费最少的购买方案及花费 【答案】见解析. 【解析】解： （1）设线下购买甲种书架 x 个，乙种书架 y 个， 由题意得： 30 2403008280 xy xy ， 解得： 12 18 x y ， 即线下购买甲种书架 12 个，乙种书架 18 个. （2）设购买甲种书架 a 个，则购买乙种书架（30a）个，总花费为 w 元， 30a3a，即 a7.
12、5（其中 a 为正整数） ， W=（210+20）a+（250+30） （30a） =-50a+8400， -500， w 随 a 的增大而减小， 当 a=7 时，w 最小，最小值为 8050 元， 即当购买 7 个甲种书架，23 个乙种书架时，总费用最低，最低为 8050 元. 10.（2019省实验一模）某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不 高于 80 元，经市场调查，每天的销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，部分数据如下 表： 售价 x（元/千克） 50 60 70 销售量 y（千克） 100 80 60 （1）求 y 与 x 之
13、间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为 W（元） ，求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入成本） ； （3）试说明（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润， 最大利润是多少？ 【答案】见解析 【解析】解： （1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b， 由题意得： 50100 6080 kb kb ， 解得： 2 200 k b ， y 与 x 之间的函数表达式是：y2x+200； （2）由题意得， W（x40） （2x+200） 2（x70）2+1800， （3）W2（x70）2+1800，40x80， 20， 当 40x70 时
14、，W 随 x 的增大而增大，当 70x80 时，W 随 x 的增大而减小， 且当 x70 时，W 取得最大值，此时 W1800. 11.（2019叶县一模）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息： 信息一：工人工作时间：每天上午 8：0012：00，下午 14：0018：00，每月工作 25 天； 信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表： 生产甲产品数（件） 生产乙产品数（件） 所用时间（分钟） 10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得 1.50 元，每生产一件乙种产品得 2.80 元 信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部
15、分构成，小王每月的底薪为 1900 元，请根据以上信 息，解答下列问题： （1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟； （2）2018 年 1 月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于 60 件，则小王该月收入最多是多少元？此 时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？ 【答案】见解析 【解析】解： （1）设生产一件甲种产品需 x 分钟，生产一件乙种产品需 y 分钟 由题意得： 1010350 3020850 xy xy ， 解得：x=15，y=20， 即生产一件甲产品需要 15 分钟，生产一件乙产品需要 20 分钟 （2）设生产甲种产品共用 x 分钟，则生产乙种产品用（25
16、860x）=（12000x）分钟，收入为 w 元， 则生产甲种产品 15 x 件，生产乙种产品 12000 20 x 件 w1.5 15 x +2.8 12000 20 x 0.04x+1680， 15 x 60，即：x900， w0.04x+1680 中，0.041500， 在试销阶段的第 20 天时利润最大，最大利润为 1800 元 21.（2019中原名校大联考）某工艺品店购进 A，B 两种工艺品，已知这两种工艺品的单价之和为 200 元，购进 2 个 A 种工艺品和 3 个 B 种工艺品需花费 520 元 （1）求 A，B 两种工艺品的单价； （2）该店主欲用 9600 元用于进货，且
17、最多购进 A 种工艺品 36 个，B 种工艺品的数量不超过 A 种工艺 品的 2 倍，则共有几种进货方案？ （3）已知售出一个 A 种工艺品可获利 10 元，售出一个 B 种工艺品可获利 18 元，该店主决定每售出一 个 B 种工艺品，为希望工程捐款 m 元，在（2）的条件下，若 A，B 两种工艺品全部售出后所有方案获利均 相同，则 m 的值是多少？此时店主可获利多少元？ 【答案】见解析 【解析】解： 解： （1）设 A 种工艺品的单价为 x 元，B 种工艺品的单价为 y 元， 由题意，得： 200 23520 xy xy ，解得： 80 120 x y 答：A 种工艺品的单价为 80 元，B 种工艺品的单价为 120 元 （2）设购进 A 种工艺品 a 个，则购进 B 种工艺品 960080 120 a 个， 由题意，得： 960080 2 120 a a ，a36，解得：30a36 a 为正整数，3630+1=7，共有 7 种进货方案 （3）设总利润为 w 元， 由题意，得：w10a+（18m） 960080 120 a （ 2 3 m2）a+144080m， 由题意得： 2 3 m20， m3，w144080m1200 答：m 的值是 3，此时店主可获利 1200 元
