1、第十四章第十四章 结构动力学结构动力学141 概述概述一、结构动力计算的内容与目的一、结构动力计算的内容与目的 静力荷载静力荷载施力过程缓慢，忽略惯性力施力过程缓慢，忽略惯性力 的影响。的影响。静力荷载作用静力荷载作用大小、方向、作用点确定大小、方向、作用点确定结构处于平衡状态结构处于平衡状态内力、变形、位移确定（不随时间变化）内力、变形、位移确定（不随时间变化）动力荷载的特征动力荷载的特征：荷载的大小、方向荷载的大小、方向（作用位置（作用位置*）随时间而变化随时间而变化 荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度荷载变化较快，使结构产生不容忽视的加速度 动力计算动力计算：考虑惯性力考虑惯性力达
2、朗贝尔原理达朗贝尔原理（动力静力平衡）（动力静力平衡）内力、位移、荷载均为时间的函数内力、位移、荷载均为时间的函数 （瞬间（瞬间(t)的平衡）的平衡）按动力荷载变化规律分类：按动力荷载变化规律分类：周期荷载周期荷载简谐荷载简谐荷载例：偏心质量产生的离心力例：偏心质量产生的离心力非简谐荷载非简谐荷载冲击荷载冲击荷载急剧增大，急剧增大，作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头作用时间很短即行消失：桩锤作用；车轮撞击轨道接头急剧减少急剧减少爆炸荷载，爆炸荷载，突加荷载突加荷载加载：加载：重物落在结构上（突然加载和突然卸载）重物落在结构上（突然加载和突然卸载）快速移动荷载快速移动荷载高速通过桥
3、梁的火车、汽车高速通过桥梁的火车、汽车随机荷载随机荷载地震的激振、风力脉动作用地震的激振、风力脉动作用荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律荷载变化极不规律，只能用概率方法求其统计规律周期荷载（简谐）周期荷载（简谐）周期荷载（非简谐）周期荷载（非简谐）冲击荷载（冲击荷载（急剧增大、急剧减少急剧增大、急剧减少）随机荷载随机荷载内容：内容：自由振动自由振动无阻尼无阻尼单、多自由度单、多自由度 强迫振动强迫振动有阻尼有阻尼无限多自由度无限多自由度自由振动自由振动结构受外部因素干扰发生振动，结构受外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。而在以后的振动过程中不再受外部干扰力
4、作用。强迫振动（受迫振动）强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动结构在动荷载作用下的振动（在振动过程中不断受到外部干扰力作用）（在振动过程中不断受到外部干扰力作用）目的：目的：结构的动力特性结构的动力特性（周期（周期T，频率，频率f()、振型、阻尼）、振型、阻尼）避免共振；地震的主要周期避免共振；地震的主要周期例：步兵过桥例：步兵过桥齐步走齐步走 美国悬索大桥美国悬索大桥风振作用，突然垮塌风振作用，突然垮塌动力反应动力反应 动内力动内力/位移位移随时间变化的规律随时间变化的规律最大值最大值设计依据设计依据振动自由度振动自由度为了确定为了确定全部全部质量质量位置位置所需的所需的独立几何参数
5、独立几何参数的数目的数目集中质量法：集中质量法：突出主要质量突出主要质量静力等效静力等效单自由度结构单自由度结构多自由度结构多自由度结构142 结构振动的自由度结构振动的自由度确定结构振动的自由度：确定结构振动的自由度：（图（图14 2）注意：注意：自由度数自由度数n随计算简图而异随计算简图而异（a、b、f-无限多自由度无限多自由度）自由度数自由度数与质量数目可能不同与质量数目可能不同（c、d-e几何构造分析方法确定几何构造分析方法确定）自由度数自由度数与静定或超静定及超静定次数无关与静定或超静定及超静定次数无关实际结构的简化实际结构的简化（图（图14 3）（a）块式基础）块式基础垂直振动垂直
6、振动（b）水塔）水塔顶部水池较重，水平振动顶部水池较重，水平振动（c）楼房）楼房楼板较重，水平振动楼板较重，水平振动单自由度单自由度实际的问题或简化的模型（图实际的问题或简化的模型（图14 4）多自由度体系动力分析的基础多自由度体系动力分析的基础自由振动自由振动结构受外部因素干扰发生振动，结构受外部因素干扰发生振动，而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。而在以后的振动过程中不再受外部干扰力作用。初始干扰：初始干扰：初始位移初始位移强迫偏离，突然放松；强迫偏离，突然放松；初始速度初始速度瞬时冲击瞬时冲击143 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动1、不考虑阻尼时的自由振动、不考虑阻尼
7、时的自由振动 （图（图14 5）质量质量弹簧弹簧模型模型静平衡位置为坐标原点，向下为正静平衡位置为坐标原点，向下为正弹簧的刚度弹簧的刚度k11：弹簧发生单位位移所需加的力：弹簧发生单位位移所需加的力弹簧的柔度弹簧的柔度11：单位力作用下产生的位移：单位力作用下产生的位移振动微分方程振动微分方程位移及各量随时间变化的规律位移及各量随时间变化的规律两个基本方法：两个基本方法：刚度法刚度法列动力平衡方程列动力平衡方程柔度法柔度法列位移方程列位移方程11111k（一）建立自由振动微分方程（一）建立自由振动微分方程（1）刚度法）刚度法动力平衡方程（达朗贝尔原理）动力平衡方程（达朗贝尔原理）质点质点m 任
8、一时刻任一时刻t有位移有位移y(t)，（图（图16 5b）弹性恢复力，与位移弹性恢复力，与位移y方向相反方向相反惯性力，与加速度方向相反惯性力，与加速度方向相反达朗伯尔原理达朗伯尔原理 隔离体平衡方程隔离体平衡方程微分方程微分方程 Sky Imy 0myky20yymmk1（2）柔度法）柔度法列位移方程列位移方程弹性体系（非隔离体）（图弹性体系（非隔离体）（图14 5c）运动过程，质量只受惯性力运动过程，质量只受惯性力按静力荷载考虑，按静力荷载考虑，m在时刻在时刻 t 的位移等于惯性力作用下的静力位移的位移等于惯性力作用下的静力位移即即 单自由度体系单自由度体系即，即，与刚度法相同与刚度法相同
9、ymy Imy 0m yyk10myky（二）自由振动微分方程的解（二）自由振动微分方程的解常系数线性齐次微分方程常系数线性齐次微分方程通解通解 y=C1 cost+C2 sint速度（对时间取一阶导数）速度（对时间取一阶导数）=-C1 sint+C2cost 初始条件：初始条件：t=0，00yy）（(0)0yy01yC 02yC0()0tyyy cos tsin t初位移：初位移：y0 正弦规律正弦规律初速度：初速度：0 余弦规律余弦规律叠加叠加a 振幅：质点最大位移；振幅：质点最大位移；初相角初相角则则 y(t)=a sin(t+)(t)=acos(t+)00yasinyacos22020
10、ya00ytgy令令（三）结构自振同期（三）结构自振同期 周期运动周期运动 y(t+T)=y(t)()2tyasint()2t Tasinty自振周期自振周期2T每隔一段时间就重复原来运动每隔一段时间就重复原来运动单位：秒（单位：秒（S）21Tf单位时间内的振动次数单位时间内的振动次数，单位：单位：1秒（秒（1/S）fT22 2秒内完成的秒内完成的振动次数振动次数 频率频率园频率（频率）园频率（频率）stgWgmmk1重力静位移重力WmgWstggWmkmTst222周期的重要性质：周期的重要性质：（1）只与结构本身的只与结构本身的性质性质 m、k有关有关结构固有的动力特性，与外界干扰无关结构
11、固有的动力特性，与外界干扰无关外界干扰只能影响振幅和初相角；外界干扰只能影响振幅和初相角；（2）km1（148）（3）T结构动力性能的一个重要数量标志结构动力性能的一个重要数量标志 形状相似，周期相差很大动力性能相差很大结构形状不同，周期相近动力性能相近（4）1/st，质点放在结构上产生最大位移处，质点放在结构上产生最大位移处，可以得到最小频率和最大周期可以得到最小频率和最大周期例例141三种支承情况的梁，忽略梁本身质量，三种支承情况的梁，忽略梁本身质量，求求自振频率自振频率与与周期周期（图（图14-7）解解（1）柔度法）柔度法EIl4831EIl768732EIl19233311481mlE
12、Im327768mlEI33192mlEI计算计算251.11321123k（）3112248mlTEIEImlT7687232EImlT192233（2）刚度法）刚度法a.加链杆约束加链杆约束约束动力自由度；约束动力自由度；b.给单位位移；给单位位移；c.求约束力求约束力刚度刚度k。例例2 刚架，梁质量刚架，梁质量m，刚度，刚度；柱柱(忽略质量忽略质量)刚度刚度EI，高，高h。试求试求自振频率自振频率和和周期周期3224122hEIhik324kEImmhEImhT2423计算计算 k*（计算（计算）例例3 例例2中，若初始位移中，若初始位移，初始速度，初始速度0 试求试求振幅值振幅值及及
13、t=1s时的时的位移值位移值解：上例已计算解：上例已计算324mhEI()sin()tyat 22220002yvay 0()0tyyy cos tsin tSinCosyt0)1(2、考虑阻尼作用时的自由振动、考虑阻尼作用时的自由振动 阻尼（力）阻尼（力）：振动过程中各种阻力的作用：振动过程中各种阻力的作用使自由振动逐渐衰减而不能无限延续使自由振动逐渐衰减而不能无限延续共振时振幅并非无限大共振时振幅并非无限大（外部介质）（外部介质）空气和液体的阻力、支承的摩擦空气和液体的阻力、支承的摩擦（内部作用）（内部作用）材料分子之间的摩擦和粘着性材料分子之间的摩擦和粘着性 阻尼的种类：阻尼的种类：（1
14、）粘滞阻尼力）粘滞阻尼力 R=-（线性阻尼）（线性阻尼）两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时两个物体的相对滑动面之间有一层连续油膜存在时或物体以低速在粘性液体内运动或物体以低速在粘性液体内运动（2）流体阻尼）流体阻尼 R=-cv2 固体以较大速度在流体介质内运动固体以较大速度在流体介质内运动 （例（例3m/s以上）以上）（3）摩擦力）摩擦力 R kN 两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力两个干燥的平滑接触面之间的摩擦力（4）结构阻尼）结构阻尼 材料之间的材料之间的内摩擦内摩擦 粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力粘滞阻尼力计算简单，其余的可化为等效粘滞阻尼力考虑阻尼的考虑阻尼的振
15、动方程振动方程I+R+S=0其中：其中：R=-110myyk y有阻尼的有阻尼的自由振动微分方程自由振动微分方程 220yyy令211,22kkmm（169）*2m即：设解()rttyCe2220rtrtrtCr eCreCe2220rtrrCe特征方程 2220rr21,21r 220yyy（1）1（小阻尼）（小阻尼）令21（1610）1 2ri、12()12rtr ttybeb e12ititbeb e12tititebeb e()12ttyeBcostB sint有阻尼的自振频率有阻尼的自振频率21,21r 设初始条件设初始条件:t=0,y=y0、=000102,yyByB()1212t
16、ttyeB costB sinteB sintB cost 000122yyyBBB 0(0)0(cos)ttyetyysityn001200yeBcosB sin()12ttyeBcostB sint()()ttyb esint22000()yyby000ytgyy 写成写成 其中其中 (14-12)式（式（1412）的位移）的位移时间曲线如（图时间曲线如（图149）所示：所示：低阻尼低阻尼体系自由振动体系自由振动y-t曲线曲线逐渐衰减逐渐衰减的正的正弦（波动）曲线弦（波动）曲线a.阻尼对频率（周期）的影响阻尼对频率（周期）的影响21 21TTT T 0.2TT阻尼比阻尼比阻尼的基本参数：阻
17、尼的基本参数：k20.2,1 0.20.960.98 tbeb、阻尼对振幅的影响、阻尼对振幅的影响振幅随时间逐渐衰减振幅随时间逐渐衰减2T后 一周期一周期1nntTntTnybeeybe相隔相隔j个周期：个周期：12ln2nnyTyn 11ln2nyy 1lnnnyy振幅对数递减量振幅对数递减量1ln2nnjyjy若0.2,1n1ln2njyjy取对数：取对数：（2）1（大阻尼），（大阻尼），此时特征根此时特征根r1、r2为一对重根（负实数），为一对重根（负实数），通解为：通解为：2212(11)tyeCchtC sht 这是非周期函数，故不发生振动，这是非周期函数，故不发生振动，且受初始干扰
18、偏离平衡位置后且受初始干扰偏离平衡位置后返回中心位置更慢返回中心位置更慢（3）1（临界阻尼）（临界阻尼）微分方程解微分方程解 12tyeCC t特征方程根特征方程根 0100yCyyt 2120210|tttyC eCC t eCCy 200Cyy ()001yttyytt e y t 曲线仍是有衰减性质曲线仍是有衰减性质，但不具有波动性质但不具有波动性质（如图）（如图）()001yttyytt e0y0试题试题21m由：令1122crmmk 临界阻尼系数临界阻尼系数 使运动不再具有波动性质使运动不再具有波动性质所对应的阻尼系数最小值所对应的阻尼系数最小值 阻尼比：阻尼比：cr反映阻尼情况的基
19、本参数反映阻尼情况的基本参数1,ln2nnnjnjyyyjy实测相隔实测相隔j个周期的振幅个周期的振幅计算计算：强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动强迫振动（受迫振动）结构在动荷载作用下的振动一、振动方程建立一、振动方程建立刚度法：刚度法：取取m隔离体，由动力平衡得：隔离体，由动力平衡得：()0tIRSP11()tmyyk yP2()12mtyyyP微分方程的解：微分方程的解：y=y0+y其中齐次方程通解：其中齐次方程通解：0t12tyeBcostB sint（）与干扰力与干扰力P(t)相应的特解相应的特解,则与干扰力的形式有关则与干扰力的形式有关二、简谐荷载二、简谐荷载 P(t)=F
20、sint（1417）（1418）tmFyyysin22 特解：12sincosyCtCt12cossinyCtCt2212sincosyCtCt 代入方程：221222122()cos()2sinsinCCtFCCttm22122212202CCFCCm对于任意的t上式均成立，一定有相应系数相等：2212222222222222424FCmFCm 全解：自由振动：自由振动：频率频率，振幅衰减；，振幅衰减；B1、B2由初始条件确定由初始条件确定强迫振动：强迫振动：频率频率，C1、C2与与F有关有关()1212sincosttyeBCostB SintCtCt可解：1002222222222200
21、2222222222222002124244FByyCmyyFFBmmyyCC 设初始条件设初始条件:t=0,y=y0、=00002)22222(22sins2costtstttyecostsintcostsinttteyyyyy 过渡阶段过渡阶段平稳阶段平稳阶段1、不考虑阻尼的纯强迫振动、不考虑阻尼的纯强迫振动 02212222222222222424FCmFCm ()1212sincosttyeBCostB SintCtCt122210FCmC()221sinsintFytmAt 振幅（最大位移）振幅（最大位移）()max22111tstFAyym 动力（位移）系数动力（位移）系数 ()m
22、ax2211tstyy最大动位移的比值最大静位移（1422）0 0，动力位移与动力荷载同相，动力位移与动力荷载同相，0，动力位移与动力荷载反相动力位移与动力荷载反相单自由度，干扰力与惯性力作用点重合，单自由度，干扰力与惯性力作用点重合，内力动力系数位移动力系数内力动力系数位移动力系数的特性（由图示）101（），动力按静力作用P(t)变化非常慢（与自振周期T相比）2 011（），且当()31ty （），共振，不是一开始就很大形成过程由小逐渐变大大，但也是很大的数会由于阻尼共振时振幅不实际41|（）2211/|112、考虑阻尼的纯强迫振动、考虑阻尼的纯强迫振动 022122222222222224
23、24FCmFCm ()(cossinsincos)sin()tyAttAtcossinAA 2212222222112221142()FACCmCtgtgC 振幅振幅相位差相位差2222222222222141141stFAym 动力系数动力系数与与/有关，与阻尼比有关，与阻尼比有关有关的关系曲线：（图1412）讨论：当：01时，曲线渐趋平缓，1 附近，峰值下降显著研究共振，阻尼影响不容忽略若0 1 实际共振 （1）,00，tFkyycymsin tFkysin动荷载主要与弹性力平衡 平衡反相（)(PStkFysin y与P(t)同相位 222222141 1222()tg1，静力荷载，静力荷
24、载振动慢，惯性力、阻振动慢，惯性力、阻尼力小尼力小（2）,00,0,tg，y很小的颤动 ky,c很小,振动快，惯性力大 tFymsin 动荷载主要与惯性力平衡反相与IPmijfP 22sinIstfmyytmy 与位移 sinstyyt同相位反相位与)(PysinmycykyFt222222141 1222()tg（3）1,90tg，增加快（共振）()2ttPF时 荷载值为最大时，位移、加速度最小0yyy、，最大，sinmyykyFt sinyFt 动荷载主要与阻尼力平衡 共振时，阻尼力起重要作用，不容忽略222222141 1222()tg0.75/1.25范围范围，阻尼对位移影响很大；，阻
25、尼对位移影响很大；阻尼较小时，共振现象仍很危险；阻尼较小时，共振现象仍很危险；工程设计，工程设计，自振频率自振频率应比应比 大大2530%。干扰力不直接作用在质点上：干扰力不直接作用在质点上：1112()1112()()ttyIPmyP1112()1211()11()21211tttmyyPmyk yPPyym（1428）瞬时冲量的动力反应动量定理：质点质点(m)的动量(mv)在某一时间间隔内的改变量，等于同一时间内的作用力的冲量（Pt）（图）tPmvmv12 t=0,y=0,v1=0 t,v2=v0 mv0=Pt 令为令为 Q（瞬时冲量）（瞬时冲量）0Qvm 冲量作用时间很短，忽略t ，相当
26、于物体：在(0)(0)000,Qtyvvm时的自由振动 0()tttvQyesintesintm tQPt时刻有（坐标平移），则（1411）()()ttQyesintm一般动荷载的动力反应一般动荷载的动力反应(t)加载过程视为一系列瞬时冲量组成加载过程视为一系列瞬时冲量组成t=时，时，P()在微分时段在微分时段d内冲量内冲量ds=P()d微分冲量对动力反应的贡献：微分冲量对动力反应的贡献：（时刻冲量对时刻冲量对t时的动力反应）时的动力反应）()()tP ddyesintm 动力反应动力反应y(t)为为0t时刻所有微分反应的叠加时刻所有微分反应的叠加()()()01tttyP esintdm杜哈
27、梅积分()()01ttyP sintdm 若有若有y0、v0，则则 ttdtSinPmtSinvtCosyy000)()(1任意荷载任意荷载P作用的动力响应作用的动力响应（1）突加荷载0000)(tPtPtttdtSinPmy00)(1dtSinmPt020ttCosmP020|tCosmP120tCosyst1020PmPystt=(2n-1)ymax=2yst2maxstyy实例图实例图（2）短时荷载）短时荷载ututPtPt00000)(动力反应分二段考虑动力反应分二段考虑000011()2sinsin22ststststyycos tycosttycos t ttcos tttyt t
28、1styycos t当当0 t t0 时时当当t0 T/2 时，最大位移发生在前一阶段：时，最大位移发生在前一阶段：2 202sin2t以以t0时的位移和速度时的位移和速度为初始位移和初始速度为初始位移和初始速度的的自由振动自由振动多自由度体系：多自由度体系：多层房屋多层房屋的侧向振动的侧向振动不等高排架不等高排架的振动的振动块形基础块形基础的平面振动的平面振动梁上有梁上有几个集中质量几个集中质量的振动的振动求解方法：求解方法：刚度法刚度法建立力的平衡方程（位移法）建立力的平衡方程（位移法）柔度法柔度法建立位移协调方程（力法）建立位移协调方程（力法）两个自由度体系两个自由度体系推广到推广到n个
29、自由度体系：个自由度体系：特性特性（与单自由度区别）：（与单自由度区别）：固有频率：固有频率：2个个n个；个；主振型：主振型：2个个n个；个；耦合：耦合：各自由度的运动相互影响；各自由度的运动相互影响；不同坐标不同坐标写方程式（刚度、柔度法）写方程式（刚度、柔度法）矩阵形式矩阵形式及运算及运算1、振动微分方程建立、振动微分方程建立（1）刚度法（位移法）刚度法（位移法）a)n个质量个质量n个位移；个位移；b)附加链杆：附加链杆：反力惯性力；反力惯性力；c)令附加链杆发生令附加链杆发生实际位移实际位移反力反力=Ri 刚度系数：刚度系数：d)Yi=1 引起的反力引起的反力kii、kjie)同理有同理
30、有kij、kjj1122iiiinnRk yk yk y叠加叠加(b)、(c)，附加链杆的反力之和，附加链杆的反力之和0（原结构）（原结构）0iiim yR)2,1(ni且且1122iiiinnRk yk yk y即有即有02211niniiiiykykykym)2,1(nin个自由度体系个自由度体系振动方程振动方程000211122221112112121 nnnnnnnnnyyykkkkkkkkkyyymmm(14-43)0MYKY（2）柔度法（力法）柔度法（力法）a)n个质量个质量n个位移；个位移；只受惯性力只受惯性力-mi（作为静力荷载）（作为静力荷载）柔度系数：柔度系数：b)Pi=1
31、 引起的位移引起的位移ii、jic)同理有同理有ij、jj思路：考虑弹性体系的某一思路：考虑弹性体系的某一质量质量mi，在自由振动过程，在自由振动过程中任一时刻中任一时刻t的的位移位移yi，应当等于体系中应当等于体系中各个质量各个质量的惯性的惯性力力-mj(j=1,2n)共同作用下共同作用下所产生的静力位移。所产生的静力位移。，()111222()()()i tiiinnnym ym ym y0)()(222)(111tinnintitiyymymym 000212121212222111211 nnnnnnnnnyyyyyymmm)2,1(nin个位移方程：个位移方程：矩阵形式：矩阵形式：（
32、1444）0MYY M质量阵质量阵，（集中质点）对角阵（集中质点）对角阵 柔度阵柔度阵，对称，正定，非奇异（结构），对称，正定，非奇异（结构）1K柔度矩阵与刚度矩阵柔度矩阵与刚度矩阵互为逆矩阵互为逆矩阵2、按柔度法求解、按柔度法求解 振动微分方程：振动微分方程：0 yyM 设解设解 )sin(tYy0)sin()sin(2tYtYM0)sin()2tYMI对任意对任意,)sin(tt均成立，则均成立，则0)(2YMI0)1(2YIM振型方程：振型方程：其中：其中：I为单位矩阵，为单位矩阵，Y=Y1 Y2 YnT为振幅列向量为振幅列向量0)(2YMI齐次方程，若齐次方程，若Y有非零解则：有非零解
33、则：频率（特征）方程频率（特征）方程 012IMD即即 210IMD展开展开0221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm关于关于的的n次方程次方程)2,1(nii)2,1(nii（1447）频率方程频率方程解为解为n个正实根个正实根i i,即即1/1/i2（i=1,2,n）;得到得到n个自振频率：个自振频率：1，2，n，按按从小到大从小到大顺序排列，顺序排列，称为称为第一第一、第二、第二第第n频率频率总称为结构总称为结构自振频谱自振频谱将将n个自振频率中的任意一个个自振频率中的任意一个k代入特解：代入特解：210IMD（1447）()()sin()kkiikkyY
34、t（i=1,2,n）即各质点按同一频率即各质点按同一频率k作同步简谐振动，作同步简谐振动，则各质点的位移的比值：则各质点的位移的比值：y1:y2:yn=Y1:Y2:Yn为定值（不随时间变化）为定值（不随时间变化）即任意时刻，结构振动保持同一形态，像单自由度振动。即任意时刻，结构振动保持同一形态，像单自由度振动。将将21kk代入振型方程()()0(1,2)kkMIYkn由于由于D=0，n个方程中只有个方程中只有n-1个个方程线性无关，方程线性无关，不能求得不能求得Y(k)1,Y(k)2,Y(k)n的确定值，的确定值，但可以确定相对比值但可以确定相对比值（主）振型（主）振型。任取任取n-1个方程，
35、令个方程，令Y(k)1 1规准化振型规准化振型()kY(1,2)kn()()sin()kkkkyYt()1sin()(1,2)nkikikkkyA Ytin(1)(2)()11112222111222sin()sin()sin()nnnnnnnnyYYYyYYYAtAtAtyYYY()1 sin()nkkkkkyA Yt()1sin()(1,2)nkikikkkyA Ytin（1）两个自由度）两个自由度频率方程 0112122211211mmD0222121212111mmmm0)(212112222111mmmm21112221122122112()()0mmm m 211112221112
36、2211 2212211221()()4()2mmmmmm 2,12,11振型方程 (k)1111221211222200kkmmYmmY 取第一方程 1()122122()211111121kkkkYmmYmm （k=1、2）写成列阵形式：写成列阵形式：()1()2 kkYYY例例143 求)(iiY、解112231122 22 3 93 91 222 242393 9243lllEIllllEI1221112222 3 93 912 21()2 3 9 3 93 91221 2()2 3 93 93 9lllEIllllllll3385872 3 9 3 9486llEIEI 331111
37、2347()2434861515486llmmEIEImlEI3321112347()2434861486llmmEIEImlEI)(44221221221122111121mmm，mm1211取较大的为取较大的为1，对应，对应1为较小的为较小的13115.69EIml232122EIml振型111587486152434486/73332111EImlmEIlmEIlYY1118748612434486/73332212EImlmEIlmEIlYY频率解解II EIl243432211EIl486732112频率方程 01122221212122111mmmm0124344867486712
38、434233323mEIlmlmEIlmEIl令08778486132EIml11514162115416162101516049)8)(8(2212324861mlEI 频率 13331224865.694861522.054861EIEIEImlmlml 正交性 011111121)2()1(mmmmYMYT111587871111112122111mmYY111878722212YY 振型 结构的刚度和质量分布结构的刚度和质量分布对称对称其主振型其主振型对称、反对称对称、反对称计算自振频率：计算自振频率：分别就正、反对称情况分别就正、反对称情况取半跨结构计算取半跨结构计算两个单自由度问题
39、计算两个单自由度问题计算显然，振型分别为：显然，振型分别为：1 1T、1 -1T*作业作业0yKyM M质量阵，质量阵，（集中质点）对角阵（集中质点）对角阵 K刚度阵，对称，正定，非奇异（结构）刚度阵，对称，正定，非奇异（结构）设解设解nYYYYtYy21)sin()sin(2tYy 0)sin()(2tYKM 对任意的对任意的t（即（即)sin(t）等式均成立则：）等式均成立则：2、按刚度法求解、按刚度法求解 振型方程振型方程0)(2YMK 齐次方程非零解齐次方程非零解系数行列式系数行列式D=0 频率（特征）方程频率（特征）方程 02MK 频率方程频率方程关于关于2的的n阶代数方程（阶代数方
40、程（n为自由度数）为自由度数）可解可解n个根个根)2,1(2niii 频率向量频率向量w：由小到大排列：由小到大排列)2,1(nii其中其中1基本频率或第一频率基本频率或第一频率0)(2YMKi由于由于0(2MKDin个方程线性相关，任取个方程线性相关，任取n1个方程可解（取个方程可解（取Y11）i 阶振型：阶振型：)2,1(21)(niYYYYTniiii无穷多组解无穷多组解 niiiiCYCYCYYC21)(标准化主振型标准化主振型)(iY（一）两个自由度体系（一）两个自由度体系矩阵形式：矩阵形式：0021222221121211YYmkkkmk即：即：02YMK齐次方程有非零解：齐次方程
41、有非零解：0222221121211mkkkmkD 02MK频率方程（特征方程）频率方程（特征方程）方程的两个根：方程的两个根：21、2（16-58）21、2均均0，所以两个自由度体系共有二个自振频率，所以两个自由度体系共有二个自振频率1基本（第一）圆频率基本（第一）圆频率最小圆频率最小圆频率2第二圆频率第二圆频率221112221221222112211221221121222112211221122122112121122()()0()()01()()42kmkmk kkkk kk kmmm mkkkkk kk kmmmmm m 振型方程，代入振型方程，代入i，由于由于D=0，两个方程线性
42、相关（两组系数成比例），两个方程线性相关（两组系数成比例），只有一个独立方程任取其一，可得：只有一个独立方程任取其一，可得：0)(2121211iiiiYkYmk主振型：主振型：12111221mkkYYiii 振幅之比振幅之比第一振型（基本振型）第一振型（基本振型）121111221111:mkkYY第二振型第二振型122111222122:mkkYY例例145【解【解】1、K M2、频率方程、频率方程i3、振型方程、振型方程Y(i),362024231011EIKl20001.50001Mm2362202423 1.51011EIKMl324mlEI1、K、M：刚度矩阵刚度矩阵质量矩阵质量
43、矩阵式中：式中：622023 1.5100113212331827800.392,1.774,3.834113322333333243.067246.525249.592EIEImlmlEIEImlmlEIEImlml2、频率方程：、频率方程：频率：频率：试算法：试算法：()1236220023 1.5100110kkkkYYY (1)1235.12620022.41210010.6080YYY (1)2(1)(1)235.2162022.4120YYY(1)2(1)(1)322.60822.4124.290YYY 3、振型方程、振型方程第第k阶：阶：kk kK=1 1 1=0.392=0.3
44、92令令Y11，取前取前2个方程个方程(1)1(1)2312.6084.290YYYY(2)1(2)2311.2261.584YYYY(3)1(3)2310.8340.294YYYY 同理，可求第二、三振型同理，可求第二、三振型:图图1425MSSolver4、主振型的正交性、主振型的正交性振型方程振型方程 2()0KMY 设体系具有设体系具有n个自由度，个自由度，两个不同的自振频率对应二个振型向量。两个不同的自振频率对应二个振型向量。()12,kTkkknkYYYY()12,eTeeenlYYYY()2()kkkKYMY()2()eeeKYMY()()2()()eTkeTkkYKYYMY()
45、()2()()kTekTeeYKYYMY（1）（2）第二式两侧同时取转之置：第二式两侧同时取转之置：()()2()()eTTkeTTkeYKYYMYMMKKTT（1）（）（2）22()()0eTkkeYMY()()0eTkkekeYMY对于质量阵对于质量阵M，不同频率的主振型彼此正交，不同频率的主振型彼此正交()()0eTkYMY对于刚度阵对于刚度阵K，不同频率的主振型也是彼此正交，不同频率的主振型也是彼此正交0)()(kTeYKY（1460）（1461）()()2()()eTkeTkkYKYYMY（1）（2）主振型的正交性：结构本身固有的特性主振型的正交性：结构本身固有的特性简化计算；简化计
46、算；检验主振型是否正确检验主振型是否正确例例165中的第一、二振型：中的第一、二振型：(1)(2)211 2.6084.2901.51.22611.58412 3.9124.2901.2261.584(2 3.912 1.226 4.290 1.584)0.0010TYM Ymmmm 平稳阶段的纯强迫振动平稳阶段的纯强迫振动结构承受简谐荷载，且各荷载的频率和相位相同结构承受简谐荷载，且各荷载的频率和相位相同图图1626，n个集中质量，个集中质量，k个简谐周期荷载个简谐周期荷载Pjsint，位移：位移：1 12 211sinsiniiiin niPkiPijjiPjkiPijjjyIIIyyPt
47、tP图图1426，n个集中质量，个集中质量，k个简谐周期荷载个简谐周期荷载Pjsint，位移：位移：1 12 211sinsiniiiin niPkiPijjiPjkiPijjjyIIIyyPttP1212iPiiikkPPP 11121111111211212222222122221212*1*sinsnknknnnnnnnnnnkkkn kmyyPmyyPtmyyPMyyP in t tSinYy 1112111112122222221222()()sinsinsinsinnPnPnnnnnnnnPPmYYmYYmYYMYYtttt I=-MI纯强迫振动的解：纯强迫振动的解：（14-62）
48、1112()1628tmyyP（）1021020202sinsin101()0PIMYIMYItMytYMIMI 222()11()0PPMEYMEY 对任意的对任意的t成立：成立：振幅方程，可解振幅振幅方程，可解振幅Y。代入振动方程，可得各质点的惯性力：代入振动方程，可得各质点的惯性力：惯性力幅值惯性力幅值I0。位移、惯性力和干扰力同时最大。位移、惯性力和干扰力同时最大。（1464）（1465）当当k（k1，2，n)n)时时,由由系数行列式系数行列式0，振幅、惯性力及内力均为无限大振幅、惯性力及内力均为无限大共振现象共振现象实际由于阻尼的存在，不会无限大，但结构也实际由于阻尼的存在，不会无限
49、大，但结构也很危险，应避免。很危险，应避免。1021()0PMI 1021()0PMI 0111121311021222322220313233332111()01PPPmIImIm其中，其中，ij、iPiP，与力法中求解相同与力法中求解相同P=0P=0，P P，00T T，且且P P作用于质点。作用于质点。10121()0.9710.7640.023PIMP000112233PMI MI MI MM惯性力幅值惯性力幅值最大动力弯矩图最大动力弯矩图 (p90)刚度法：n个自由度结构，各干扰力作用于质点（图（图1426）振动方程：PyKyM 简谐荷载：PF sin t平稳振动阶段：质点作简谐振动
50、 yY sin t振幅方程 2kMYF设 MkD20（与频率方程形式相同）若D00即 1212Y sin tKMF sin tYKMF若iD即00（与任一频率重合）有几种情况ni2,1 Y共振 02021221202sinsin1()()IItMyMYtIMYKMMYFKMEIF惯性力惯性力（1469）可解惯性力幅值可解惯性力幅值I0 2kMYF（1468）近似法计算结构的较低频率近似法计算结构的较低频率 工程实际问题工程实际问题1、能量法求第一频率、能量法求第一频率动能动能质量和速度质量和速度应变能应变能结构变形结构变形 能量守恒原理：能量守恒原理：一个无阻尼弹性体系自由度振动时，一个无阻尼
