1、第八章立体几何第八章立体几何第3节 球的内接多面体ppt课件第3节 球的内接多面体ppt课件第第3节节 球的内接多面体球的内接多面体知识梳理知识梳理1.球的表面积公式球的表面积公式:S球球=4R2.2.球的体积公式球的体积公式:V球球=R3.433.求多面体外接球相关问题的常见类型、方法求多面体外接球相关问题的常见类型、方法:类型类型对应图形对应图形对应外接球半径对应外接球半径R备注备注1.内接多面内接多面体为长方体体为长方体a,b,c为长方体同一为长方体同一顶点的三边长顶点的三边长2.有两个面有两个面互相垂直的互相垂直的R2=d2+r2d=OO1(或或d=OO2)(r1,r2为两圆的半为两圆
2、的半径，径，MN为两圆公为两圆公共棱共棱)2222Rabc222212()()4MNRrr类型类型对应图形对应图形对应外接球半径对应外接球半径R备注备注3.有一条棱有一条棱与底面垂直与底面垂直的椎体的椎体(或内或内接正棱柱接正棱柱)r为底面多边形的为底面多边形的外接圆半径外接圆半径4.直棱柱的直棱柱的外接球、圆外接球、圆柱的外接球柱的外接球r为底面多边形的为底面多边形的外接圆半径外接圆半径h为棱柱的侧棱长为棱柱的侧棱长222Rdr222()2hRr类型类型对应图形对应图形对应外接球半径对应外接球半径R备注备注5.侧棱相等侧棱相等棱锥的外接棱锥的外接球球(球的直球的直径过底面多径过底面多边形外接
3、圆边形外接圆的圆心的圆心)l为侧棱为侧棱,r为底面外为底面外接圆半径接圆半径6.折叠类型折叠类型问题问题OH12+CH12=OC2(即即d2+r2=R2)CH1=r(小圆半径小圆半径)2222lRlr类型类型对应图形对应图形对应外接球半径对应外接球半径R备注备注7.多面体的多面体的内切球内切球V=S表面积表面积rr为内切球的半径为内切球的半径S为多面体的表面积为多面体的表面积V为多面体的体积为多面体的体积8.对棱相等对棱相等的三棱锥的三棱锥x,y,z分别为三对对分别为三对对棱的长棱的长2228xyzR13精选例题精选例题【例例1】(2017新课标全国新课标全国卷卷,文文)已知三棱锥已知三棱锥S
4、-ABC的所有顶点的所有顶点都在球都在球O的球面上的球面上,SC是球是球O的直径的直径.若平面若平面SCA平面平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥三棱锥S-ABC的体积为的体积为9,则球则球O的表面积为的表面积为 .33236,.1111,2,332393,436.A SBCSBCSCOOA OBSAAC SBBCOASC OBSCSACSBCOASBCOAr VSOArrrrrrr【答案】【解析】取的中点连接因为所以因为平面平面所以平面设所以所以球的表面积为【例例2】已知三棱锥已知三棱锥P-ABC,在底面在底面ABC中中,A=60,BC=,PA面面ABC,PA=2,则此三棱锥的外接球的
5、体积为则此三棱锥的外接球的体积为()2223A322,sin601,2,2,4()8 22.33ABCrrRRPRAr【答案】【解析】利用正弦定理计算底面外接圆半径得故外接球半径故外接球体积为38 24 2A.B.4 3C.D.833专题训练专题训练1.(2017新课标新课标卷卷,文文)长方体的长、宽、高分别为长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点其顶点都在球都在球O的球面上的球面上,则球则球O的表面积为的表面积为 .222214,232114,414.RSR【答案】【解析】球的直径是长方体的对角线 所以2.三棱锥三棱锥P-ABC中中,平面平面PAC平面平面ABC,PAC和和ABC均为边均
6、为边长为长为2的正三角形的正三角形,则三棱锥则三棱锥P-ABC外接球的半径为外接球的半径为 .12221533,32 3,315.3dOOrO BRdr【答案】【解析】由已知 球心到底面距离底面正三边形外接圆半径所以外接球半径为22222224 3,.,;:4,41,.3PAa b cabcRabc【答案】【解析】由于三棱锥各面均为直角三角形 所以可将该三棱锥补形成长方体 其外接球的直径即是长方体的对角线 也即是的长 由此求得外接球的半径和体积若长方体长宽高分别为则其体对角线长为则其外接球半径为故球的半径为 体积为3.若三棱锥若三棱锥P-ABC的最长的棱的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形
7、且各面均为直角三角形,则则此三棱锥的外接球的体积是此三棱锥的外接球的体积是 .22222C,2 2,2 2,3,2 22 2325,25.()()DDSD【答案】【解析】该几何体是一个长方体 其长、宽、高分别为其体对角线即为外接球的直径则所以其外接球的表面积4.(2018广东七校联考广东七校联考)某一简单几何体的三视图如图所示某一简单几何体的三视图如图所示,该几该几何体的外接球的表面积是何体的外接球的表面积是()A.13B.16C.25D.275.正四棱锥的顶点都在同一球面上正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为若该棱锥的高为4,底面边长底面边长为为2,则该球的表面积为则该球的表面积为(
8、)22222A,Rt,94,.4()(2)8144.9()44OrAOFrrrr【答案】【解析】如图 设球心为半径为 则在中解得该球的表面积为8127A.B.16C.9D.446.(2016惠州惠州)已知已知EAB所在的平面与矩形所在的平面与矩形ABCD所在的平面互所在的平面互相垂直相垂直,EA=EB=3,AD=2,AEB=60,则多面体则多面体E-ABCD的外接的外接球的表面积为球的表面积为 .222222216,3 3,2493 331,4,2224()(16).ABCDdEABCDRdddREABCDR【答案】【解析】设球心到平面的距离为由题意可知点 到平面的距离为多面体的外接球的表面积
9、为7.(2013新课标新课标卷卷)已知正四棱锥已知正四棱锥O-ABCD的体积为的体积为 ,底面边底面边长为长为 ,则以则以O为球心为球心,OA为半径的球的表面积为为半径的球的表面积为 .22222413 23 2,.322236,3 26()()6,(3)(224624.)hhhOA【答案】【解析】设正四棱锥的高为则解得高则底面正方形的对角线长为所以所以球的表面积为3 223第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体22B13,1,22331,B.24()ACABrBCVr h【答案】【解析】如图 画出圆柱的轴截面所以那么圆柱的体积是故选8.(2017新课标新课标卷卷,文文)已知圆柱的高为已
10、知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直它的两个底面的圆周在直径为径为2的同一个球的球面上的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为则该圆柱的体积为()3A.B.C.D.424第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体9.(2016广州二模广州二模)已知球已知球O的半径为的半径为R,A,B,C三点在球三点在球O的球面上的球面上,球心球心O到平面到平面ABC的距离为的距离为 R,AB=AC=2,BAC=120,则球则球O的表面积为的表面积为()22222D2,2,1664,4(231.3)ABCRRRSR【答案】【解析】依条件得的外接圆的半径为则从而1216166464A.B.C.D.9393第3节
11、球的内接多面体第3节 球的内接多面体3222223368,36,3362,263466.34()8aarahallaRahlraaa【答案】【解析】四面体的所有棱长都等于易得底面三角形外接圆半径为高所以外接球的体积等于10.一个四面体的所有棱长都等于一个四面体的所有棱长都等于a,则该四面体的外接球的体积则该四面体的外接球的体积等于等于 .第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体11.(2012新课标卷新课标卷,理理11)已知三棱锥已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球的所有顶点都在球O的球面上的球面上,ABC是边长为是边长为1的正三角形的正三角形,SC为球为球O的直径的直径,且且SC=2.则
12、此三棱锥的体积为则此三棱锥的体积为()2322A.B.C.D.6632第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体22A113,2sin6036,32 6,2,31132 622.3343613:2,B,C,D.36ABCABCABCrOABCdRrSCOSABCdVSdVSR【答案】【解析】利用正弦定理得的外接圆的半径点 到面的距离为球 的直径点 到面的距离为此棱锥的体积为另法排除第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体12.(2015新课标新课标卷卷,理理)已知已知A,B是球是球O的球面上两点的球面上两点,AOB=90,C为该球面上的动点为该球面上的动点,若三棱锥若三棱锥O-ABC体积
13、的最大值体积的最大值为为36,则球则球O的表面积为的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.256232C,11136,6,3264144,C.O ABCC AOBCAOBOABCORVVRRRROSR【答案】【解析】如图所示 当点 位于垂直于面的直径端点时三棱锥的体积最大 设球 的半径为此时故则球 的表面积为故选第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体13.(2017广州一模广州一模)九章算术九章算术中中,将底面为长方形且有一条侧将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑三
14、棱锥称之为鳖臑.若三棱锥若三棱锥P-ABC为鳖臑为鳖臑,PA平面平面ABC,PA=AB=2,AC=4,三棱锥三棱锥P-ABC的四个顶点都在球的四个顶点都在球O的球面上的球面上,则则球球O的表面积为的表面积为()A.8B.12C.20D.24222 C,2242 5,5,420.PARRSR球【答案】【解析】由已知 易得所以所以第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体121212121122112128,:,tan603,7,428.()BDM ABDCBDr rABDCBDO OBDd dOO MOOOMOROOOCABCDSR【答案】【解析】如图 取的中点和的外接圆半径为和的外心到弦的距
15、离 弦心距 为易知四点共圆所以所以四面体的外接球表面积为14.在边长为在边长为 的菱形的菱形ABCD中中,BAD=60,沿对角线沿对角线BD折成二折成二面角面角A1-BD-C为为120的四面体的四面体A1BCD,则此四面体的外接球表面则此四面体的外接球表面积为积为 .2 3第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体226,11311264111,.322322124.6rVrrPABCSr【答案】【解析】设内切球的半径为 则三棱锥的体积解之得则三棱锥的内切球的表面积15.已知三棱锥已知三棱锥P-ABC的所有棱长都等于的所有棱长都等于1,则三棱锥则三棱锥P-ABC的内切的内切球的表面积为球的表
16、面积为 .第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体16.(2018新课标新课标卷卷)设设A,B,C,D是同一个半径为是同一个半径为4的球的球面上四的球的球面上四点点,ABC为等边三角形且其面积为为等边三角形且其面积为 ,则三棱锥则三棱锥D-ABC体积的体积的最大值为最大值为()9 3A.12 3B.18 3C.24 3D.54 3第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体21222211111B3,9 3,6,4232 3,32,.4(2 3)2,16,18 3.3ABCABCaSaaABCraDODABCDOOOOAO ADOVSDO锥三棱【答案】【解析】设等边三角形的边长为则由得到所
17、以的外界圆半径为当棱锥的高最大时三棱锥的体积最大此时过球心所以棱锥的高第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体17.(2019新课标新课标卷卷)已知三棱锥已知三棱锥PABC的四个顶点在球的四个顶点在球O的球面的球面上，上，PA=PB=PC，ABC是边长为是边长为2的正三角形，的正三角形，E，F分别是分别是PA，PB的中点，的中点，CEF=90，则球，则球O的体积为的体积为()A.8 6B.4 6C.2 6D.6第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体222.,90/,222DEPAACMPM BMACPMBPBACE FPA ABCEFEFPB EFECPBACPBECPBECPBPACACECCPAPBPCPABABPAlRlr因为 为中点，取中点连接易得平面，所以，由已知分别是的中点,所以,所以，由得到平面因为，为等腰直角三角形，有,得到侧棱，所以该三棱锥的外接球直【答案】【解析】径2223(2)6,2(2)()36446 66D2338RVR所以，所以外接球体积=，选.第3节 球的内接多面体第3节 球的内接多面体
