1、5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线教学目标：教学目标：理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；理解二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念；掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；掌握二次曲线的渐近方向、中心、渐近线的求法；能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。能根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。教学重点：教学重点：二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。二次曲线的渐近方向、中心、渐近线概念及求法。教学难点：教学难点：根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。根据渐近方向和中心对二次曲线进行分类。5.2 5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线1.
2、二次曲线的渐近方向二次曲线的渐近方向 定义定义5.2.1 满足条件满足条件(X,Y)=0的方向的方向X:Y叫做二叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向。事实上，事实上，YX:为渐近方向为渐近方向 0),(YX0222212211YaXYaXa事实上，事实上，YX:为渐近方向为渐近方向 0),(YX0222212211YaXYaXa)0(02)(112212211aaYXaYXa)0(:)(:1111212aaIaYX0222212211YaXYaXa)0(02)(221112222aaXYaXYa或或)0,0,0(012121112aaaXYa或或)0(
3、:)(:2222212aaIaXY或或)0,0,0()1:0(0:1:121112aaaYX或或或或2221001baI 0122ba12222byax可见，对椭圆可见，对椭圆，12222byax对双曲线对双曲线它有二不同实渐近方向；它有二不同实渐近方向；它有二相同的实渐近方向；它有二相同的实渐近方向；01222baI，001002I，它没有实渐近方向；它没有实渐近方向；pxy22对抛物线对抛物线1xy对双曲线对双曲线它也有二不同实渐近方向；它也有二不同实渐近方向；0412I，定义定义5.2.2 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的型的,有一个实渐近方向的二次曲
4、线叫做抛物线型的有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的,有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的。即即:椭圆型椭圆型:I20；抛物型；抛物型:I20；双曲型；双曲型:I202.二次曲线的中心与渐近线二次曲线的中心与渐近线 定义定义5.2.3 如果点如果点C是二次曲线的通过它的所有弦是二次曲线的通过它的所有弦的中点的中点(C是二次曲线的对称中心是二次曲线的对称中心)，那么点那么点C叫做二次叫做二次曲线的中心曲线的中心。定理定理5.2.1 点点C(x0,y0)是二次曲线是二次曲线(1)的中心的中心，其充其充要条件是要条件是：)12.5(*)(0),(0),(2
5、302201200213012011001ayaxayxFayaxayxF二次曲线二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：的的中心坐标由下方程组决定：)22.5(0),(0),(23221221312111ayaxayxFayaxayxF如果如果I20，则，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐标有唯一解，即为唯一中心坐标如果如果I20，分两种情况：，分两种情况：.)22.5(231322121211无无解解，没没有有中中心心时时，当当aaaaaa这这条条直直线线叫叫中中心心直直线线。都都是是二二次次曲曲线线的的中中心心，点点无无数数多多解解，直直线线上上所所有有时时，当当)22.5(231
6、322121211aaaaaa 定义定义5.2.45.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次曲线中心二次曲线,没有中心的二次曲线叫无心二次曲线无心二次曲线,有一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线线心二次曲线,无心二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线非中心二次曲线。二次曲线分类：二次曲线分类：渐近线求法渐近线求法：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐：求出中心，再求出渐近方向即可得到渐近线的参数方程。近线的参数方程。定义定义5.2.55.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线。可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线可见：椭圆型二次曲线没有实渐近线;双曲型二次曲线
7、双曲型二次曲线有二不同实渐近线有二不同实渐近线;而对抛物型二次曲线而对抛物型二次曲线,若其为无心的若其为无心的,则其没有渐近线则其没有渐近线,若其为线性的若其为线性的,则由于其渐近方向为则由于其渐近方向为2212:aaYX，而这正是中心直线的方向，而这正是中心直线的方向，它的渐近线即为中心直线。它的渐近线即为中心直线。定理定理5.2.25.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的交点，或者整条直线在这二次曲线上成为二次曲线的组成部分。组成部分。则则l与曲线不相交，与曲线不相交，5.3 二次曲线的直径1.二次曲
8、线的直径二次曲线的直径 在在5.1中我们已经讨论了直线与二次曲线相交中我们已经讨论了直线与二次曲线相交的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方的各种情况，当直线平行于二次曲线的某一非渐近方向时，这条直线与二次曲线总交于两点向时，这条直线与二次曲线总交于两点(两个不同实的，两个不同实的，两重合实的或一对共轭虚的两重合实的或一对共轭虚的),这两点决定了二次曲线的这两点决定了二次曲线的一条弦一条弦.现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹现在我们来研究二次曲线上一族平行弦的中点轨迹.求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹求二次曲线的一族平行弦的中点轨迹.即即 ，解解0),(YX而而 是平行于方向
9、是平行于方向 的弦的中点，的弦的中点，00(,)xy:X YYX:设设 是二次曲线的一个非渐近方向，是二次曲线的一个非渐近方向，:X Y那么过那么过 的弦的方程为的弦的方程为00(,)x y00,.xxXtyyYt它与二次曲线它与二次曲线 的两交点的两交点(即弦的两端点即弦的两端点)由下列二次方程由下列二次方程(,)0F x y 210020000(,)2(,)(,)(,)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)从而有从而有12(,)(,)0,XF x yYF x y(5.3-1)两根两根 与与 所决定所决定,因为因为 为弦的中点，所以有为弦的中点，所以有1t2t00(,)x y
10、120,tt100200(,)(,)0.XF x yYF x y这就是说平行于方向这就是说平行于方向 的弦的中点的弦的中点 的的坐标满足方程坐标满足方程,X Y00(,)xy即即111213122223()()0,X a xa yaY a xa ya(5.3-2)或或上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若上列方程的一次项系数不能全为零，这时因为若则则一条直线一条直线.(5.3-3)所以所以(5.3-3)或或(5.3-1)是一个二元一次方程，它是是一个二元一次方程，它是反过来，反过来，111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y111212220a Xa
11、Ya Xa Y2211122211121222(,)2()()0,X Ya Xa XYa Ya Xa Y Xa Xa Y Y这与这与 是非渐近方向的假设矛盾，是非渐近方向的假设矛盾，:X Y12(,)(,)0,XF x yYFx y(5.3-1)定理定理 5.3.1二次曲线的一族平行弦的中点二次曲线的一族平行弦的中点轨迹是一条直线轨迹是一条直线.),(00yx如果点如果点满足方程满足方程(5.3-1)100200(,)(,)0,XF xyYFxy(5.3-1)那么方程那么方程(1)中将有绝对值相等而符号相反的两个根，中将有绝对值相等而符号相反的两个根，210020000(,)2(,)(,)(,
12、)0X Y tXF x yYF x ytF x y(1)点点 就是具有方向就是具有方向 的弦的中点，的弦的中点，),(00yxYX,YX,因此方程因此方程(5.3-1)为一族平行于某一非渐近方向为一族平行于某一非渐近方向 的弦的中点轨迹方程的弦的中点轨迹方程.得到了结论定理！得到了结论定理！下面引进二次曲线直径的概念下面引进二次曲线直径的概念定义定义 5.3.1 二次曲线的平行弦中点的轨迹二次曲线的平行弦中点的轨迹叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫叫做这个二次曲线的直径，它所对应的平行弦，叫做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于做共轭于这条直径的共轭弦；而直径也叫做共轭于平行弦
13、方向的直径平行弦方向的直径.有多少条直径有多少条直径?（5.3-4）12(,)(,)0.XF x yYF x y推论推论 如果二次曲线的一族平行弦的方向为如果二次曲线的一族平行弦的方向为 ，那，那么共轭于这族平行弦的直径方程是么共轭于这族平行弦的直径方程是:X Y中心与非中心二次曲线的直径中心与非中心二次曲线的直径1.中心二次曲线中心二次曲线中心满足中心满足:(2)(3)直径方程直径方程:12(,)(,)0,XF x yYFx y所以所以,直径过中心直径过中心.所有直径都过中心所有直径都过中心1111213(,)0,F x ya x a y a2112223(,)0,F x ya x a y
14、a111213122223()()0,X a x a y aY a x a y a1.非中心二次曲线非中心二次曲线非中心二次曲线满足非中心二次曲线满足(2)(3)又分两种情形又分两种情形或或无心曲线：无心曲线：直径平行渐近方向直径平行渐近方向因直径方程因直径方程:12(,)(,)0,XF x yYF x y111213122223aaaaaa111213122223aaaaaa1111213(,)0,F x ya x a ya2112223(,)0,F x ya x a ya111213122223aaaaaa111212221323()()0.a X a Y xa X a Y y a X a
15、 Y方向矢量方向矢量12221112():()a Xa Ya Xa Y11121222aakaa22221212():()ka Xa Yka Xa Y2212:aa容易验证容易验证2212:aa是渐近方向是渐近方向;因为此时：因为此时：22111222(,)20X Ya Xa XYa Y线心曲线：线心曲线：直径就是其中心直线直径就是其中心直线可以化为可以化为因为直径方程因为直径方程131112122223aaakaaa111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y y a Xa Y111212221323()()0.a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y12(,)(,)
16、0,XF x yYF x y或或定理定理 5.3.2 中心二次曲线的直径通过曲线中心二次曲线的直径通过曲线中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向中心，无心二次曲线的直径平行于曲线的渐近方向,线心二次曲线的直径只有一条线心二次曲线的直径只有一条,就是曲线的中心直线就是曲线的中心直线.12(,)(,)0,XF x yYFx y1111213(,)0,Fx ya xaya11121222aaaa 因此当因此当 ，即二次曲线为中心曲线时，即二次曲线为中心曲线时,它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的它的全部直径属于一个中心直线束，这个直线束的中心就是二次曲线的中心；中心就是二次曲线的中心；
17、当当 ，即，即二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；二次曲线为无心曲线时，直径属于一个平行线束；111213122223aaaaaa0),(2322122ayaxayxF例例 1 求椭圆或双曲线求椭圆或双曲线 的直径的直径.解解12(,)(,)0,XF x yYF x y(5.3-1)显然，直径通过曲线的中心显然，直径通过曲线的中心22221xyab2222(,)10,xyF x yab 12(,),xF x ya22(,).yF x yb 220,XYxyab根据根据(5.3-1),共轭于非渐近方向共轭于非渐近方向 的直径方程是的直径方程是:X Y(0,0)例例 2 解解求抛物线求抛物
18、线 的直径的直径.pxy22,02),(2ypxyxF,),(1pyxF.),(2yyxF所以共轭于非渐近方向所以共轭于非渐近方向 的直径为的直径为YX:,0YyXp即即,pYXy 所以抛物线所以抛物线 的直径平行于它的渐近方向的直径平行于它的渐近方向pxy22.0:112(,)(,)0,XF x yYF x y(5.3-1)解解直径方程为直径方程为即即例例 3 求二次曲线求二次曲线的共轭于非渐近方向的共轭于非渐近方向 的直径的直径.:X Y1(,)1,F x yxy 2(,)1,F x yxy (1)(1)0,X x yY x y ()(1)0.XYxy因为已知曲线因为已知曲线 的渐近方向为
19、的渐近方向为0),(yxF:1:1,X Y 所以对于非渐近方向所以对于非渐近方向 一定有一定有 YX:,XY03222),(22yxyxyxyxF2.共轭方向与共轭直径共轭方向与共轭直径所以有所以有其中其中(4)12221112:():()XYa Xa Ya Xa Y 我们把二次曲线的与非渐近方向我们把二次曲线的与非渐近方向 共轭的直径方向共轭的直径方向:X YYX:叫做非渐近方向叫做非渐近方向 的共轭方向，的共轭方向，:X Y1222(),Xa Xa Y t1112(),Ya Xa Y t0t 10,xy因此曲线的共轭于非渐近方向因此曲线的共轭于非渐近方向 的直径为的直径为:X Y因此有因此
20、有所以所以另外又有另外又有 ，0t因此得以下结论因此得以下结论2 211122212122222 21112221112(,)()2()()()X Yaa Xa Y taa Xa Ya Xa Y taa Xa Y t222211 2212111222()(2)a aaa Xa XYa Y t22(,)IX Y t(,)0,X YYX:因为因为 为非渐近方向，为非渐近方向，:X Y这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然这就是说，中心二次曲线的非渐近方向的共轭方向仍然是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向是非渐近方向，而在非中心二次曲线的情形是渐近方向.(5.3-5)非渐近非渐
21、近方向方向当当 即二次曲线为中心曲线时，即二次曲线为中心曲线时，；20I(,)0X Y当当 即二次曲线为非中心曲线时，即二次曲线为非中心曲线时，20I(,)0.X Y111222()0.a XXaXYX Ya YY从从(5.3-5)式看出，两个方向式看出，两个方向 与与 是对称是对称的，因此对中心曲线来说，非渐近方向的，因此对中心曲线来说，非渐近方向 的共的共轭方向为轭方向为 ，而，而 的共轭方向就是的共轭方向就是:X Y:XY:XY:XY:X Y:X Y 由由(4)得二次曲线的非渐近方向得二次曲线的非渐近方向 与它的与它的共轭方向共轭方向 之间的关系之间的关系YX:YX(4)12221112
22、:():()XYa Xa Ya Xa Y22(,)IX Y t),(YX 中心曲线的一对具有相互共轭方向中心曲线的一对具有相互共轭方向的直径叫做一对共轭直径的直径叫做一对共轭直径.定义定义 5.3.2设设代入代入(5.3-5)，得，得(5.3-6)这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式这就是一对共轭直径的斜率满足的关系式.111222()0.a XXaXYX Ya YY,YkX,YkX221211()0,a kkakka(5.3-5),01122akkb即即.22abkk(5.3-7)有着关系有着关系12222byaxkk例如椭圆例如椭圆的一对共轭直径的斜率的一对共轭直径的斜率与与,0)(111
23、222akkakka而双曲线而双曲线 的一对共轭直径的斜率的一对共轭直径的斜率 与与 有着关系有着关系22221xyabkk.22abkk(5.3-8)在在(5.3-5)中，如果设中，如果设那么有那么有因此如果对二次曲线的共轭方向从因此如果对二次曲线的共轭方向从(5.3-5)作代数的推广作代数的推广,那么渐近方向可以看成与自己共轭的方向，从而渐近那么渐近方向可以看成与自己共轭的方向，从而渐近线也就可以看成与自己共轭的直径线也就可以看成与自己共轭的直径.(5.3-5)显然此时显然此时 为二次曲线的渐近方向为二次曲线的渐近方向.YX:111222()0.a XXaXYX Ya YY:,XYX Y2
24、211122220,a Xa XYa Y 二次曲线的垂线于其共轭弦的二次曲线的垂线于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直径叫做二次曲线的主直径，主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向.5.4 二次曲线的主直径与主方向二次曲线的主直径与主方向定义定义 5.4.1 显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主显然，主直径是二次曲线的对称轴，因此主直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做直径也叫做二次曲线的轴，轴与曲线的交点叫做曲线的顶点曲线的顶点.现在我们来求二次曲线现在我们来求二次曲线(1)的主方向与主直径的主方向与主直径.22
25、111222132333(,)2220F x ya xa xya ya xa ya，那么，那么(2)或或(3)（4）1.如果二次曲线如果二次曲线(1)为中心曲线为中心曲线那么与二次曲线那么与二次曲线(1)的非渐近方向的非渐近方向共轭的直径为共轭的直径为111212221323()()0a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y设直径的方向为设直径的方向为根据主方向的定义，根据主方向的定义，成为主方向的条件是它成为主方向的条件是它垂直与它的共轭方向垂直与它的共轭方向:,XY在直角坐标系下有在直角坐标系下有，即即12(,)(,)0XF x yYF x y12221112:():(),XYa Xa
26、 Ya Xa Y:XY:X Y:X Y0XXYY:XYY X 11121222:():(),X Ya Xa Ya Xa Y因此因此 成为中心二次曲线成为中心二次曲线(1)的主方向的条件是的主方向的条件是(5.4-1)或把它改写成或把它改写成 这是一个关于这是一个关于 的齐次线性方程组，而的齐次线性方程组，而 不能全为零，所以不能全为零，所以成立，其中成立，其中11121222:():(),X Ya Xa Ya Xa Y11121222,a Xa YXa Xa YY:X Y011121222()0,()0.aXa Ya XaY:X Y:X Y111212220aaaa(5.4-3)即即那么它的任
27、何直径的方向是它的惟一的渐近方向那么它的任何直径的方向是它的惟一的渐近方向而垂直于它的方向显然为而垂直于它的方向显然为2.如果二次曲线如果二次曲线(1)为非中心二次曲线为非中心二次曲线11121222,a Xa YXa Xa YY2120.II因此对于中心二次曲线来说，只要由因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.4-3)解出解出 ，再代入再代入(5.4-1)就能得到它的主方向就能得到它的主方向.1112112212:(),XYaaaa 2211121222:,XYaaaa(5.4-)所以非中心二次曲线所以非中心二次曲线(1)的主方向：的主方向：渐近主方向渐近主方向（5）非渐近主方向非渐近主方向
28、（6）正是非中心二次曲线的渐近主方向正是非中心二次曲线的渐近主方向(5)与非渐近主方向与非渐近主方向(6).20,I 注意到注意到此时方程此时方程(5.4-3)的两根为的两根为把它代入把它代入(5.4-1)所得到的主方向所得到的主方向1112112212:(),X Yaaaa2211121222:.X Yaaaa10,211122,Iaa2120.II11121222,a Xa YXa Xa YY(5.4-1)因此，一个方向因此，一个方向 成为二次曲线成为二次曲线(1)的主方向的主方向的条件是的条件是(5.4-1)成立，这里的成立，这里的 是方程是方程(5.4-2)或或(5.4-3)的根的根.
29、定义定义 5.4.2 方程方程(5.4-2)或或(5.4-3)叫做二次曲线叫做二次曲线(1)的特的特征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根征方程，特征方程的根叫做二次曲线的特征根.总结总结:1)从二次曲线从二次曲线(1)的特征方程的特征方程(5.4-3)求出特征根求出特征根 ,把它代入把它代入(5.4-1).我们就得到相应的主方向我们就得到相应的主方向.2)如果主方向为非渐近方向，那么根据如果主方向为非渐近方向，那么根据(5.4-1)就能就能得到共轭于它的主直径得到共轭于它的主直径.111212220aaaa111212221323()()0a Xa Y xa Xa Y ya Xa Y12(
30、,)(,)0XF x yYF x y11121222,a Xa YXa Xa YY2120.II:X Y(5.4-3)(5.4-5.4-)证证如果二次曲线的特征根全为零如果二次曲线的特征根全为零,那么得那么得因为特征方程的判别式因为特征方程的判别式所以二次曲线的特征根都是实数所以二次曲线的特征根都是实数.定理定理 5.4.2 二次曲线的特征根不能全为零二次曲线的特征根不能全为零.证证即即与与从而得从而得这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征这与二次曲线的定义矛盾，所以二次曲线的特征根不能全为零根不能全为零.定理定理 5.4.1 二次曲线的特征根都是实数二次曲线的特征根都是实数.2120.I
31、I222121122124()40.IIaaa 120,II11220aa21122120,a aa1112220,aaa 由二次曲线由二次曲线(1)的特征根的特征根 确定的主方确定的主方向向 ，当，当 时，为二次曲线的非渐近方向；时，为二次曲线的非渐近方向；当当 时，为二次曲线的渐近主方向时，为二次曲线的渐近主方向.定理定理 5.4.3证证 因为因为22111222(,)2X Ya Xa XYa Y所以由所以由(5.4-1)得得又因为又因为 不全为零，所以当不全为零，所以当 时，时，为二次曲线为二次曲线(1)的非渐近主方向的非渐近主方向;11121222()()a Xa Y Xa Xa Y
32、Y:X Y0011121222,a Xa YXa Xa YY2222(,)().X YXYXY,X Y0(,)0,X Y:X Y当当 时，时，为二次曲线为二次曲线(1)的的渐近主方向渐近主方向.定理定理 5.4.4 中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线至少有两条主直径，非中心二次曲线只有一条主直径中心二次曲线只有一条主直径.证证 由二次曲线由二次曲线(1)的特征方程的特征方程(5.4-3)解得两特征根为解得两特征根为 10 当二次曲线当二次曲线(1)为中心曲线时，为中心曲线时，.如果如果特征方程的判别式特征方程的判别式那么那么 这时的中心曲线为圆这时的中心曲线为圆(包括点包括点2222
33、(,)().X YXYXY0(,)0,X Y:X Y21121,24.2III222121122124()40IIaaa1122,aa120a 20I 圆和虚圆圆和虚圆)，它的特征根为一对二重根，它的特征根为一对二重根.把它代入把它代入(5.4-1)或或(5.4-1)，则得到两个恒等式，则得到两个恒等式，它被任何方向它被任何方向 所满足，所以任何实数方向都所满足，所以任何实数方向都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是圆的非渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直径是直径.而且都是圆的主直径而且都是圆的主直径.如果特征方程的判别式如果特征方程的判别式YYaXaXYaXa22121211
34、,那么特征根为两个不等的非零实根那么特征根为两个不等的非零实根 .将它们分将它们分别代入别代入(5.4-1)得相应的两非渐近主方向为得相应的两非渐近主方向为12,1122(0)aa:X Y22112212()40,aaa（7）（8）这两个方向相互垂直，它们又互相共轭，这两个方向相互垂直，它们又互相共轭，因此因此非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而又互相共轭的主直径又互相共轭的主直径.20 当二次曲线当二次曲线(1)为非中心曲线时，为非中心曲线时，这，这时两特征根为时两特征根为所以它只有一个非渐近的主方向，即与所以它只有一个非渐近的主方向，即与
35、 相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径.111211112212:()():,XYaaaa221221122212:()():.XYaaaa20I 11122,aa20.2120.II11122,aa例例 1 求求 的主方向的主方向与主直径与主直径.解解曲线为中心曲线，它的特征方程为曲线为中心曲线，它的特征方程为22(,)1 0F x yxxy y 11 12,I 211320.1412I2120.II2320,4解这个方程得两特征根为：解这个方程得两特征根为：由特征根由特征根 确定的主方向为确定的主方向为由特征根由特征根 确定的主方向为
36、确定的主方向为11,223.211,2111111:(1):()1:1,2222XY 221311:(1):1:1,2222XY 23.2111211112212:()():,XYaaaa又因为又因为所以曲线的主直径为所以曲线的主直径为与与即即与与12(,)(,)0XF x yYF x y22(,)1 0F x yxxyy 11(,),2F x yxy 21(,),2F x yxy11()()022xyxy 11()()0,22xyxy 0 xy0.xy例例 2 求曲线求曲线 的主方向与主直径的主方向与主直径.解解曲线为非中心曲线，它的特征方程为：曲线为非中心曲线，它的特征方程为：因此两特征根为因此两特征根为由这两特征根所确定的主方向为：由这两特征根所确定的主方向为：22(,)240F x yxxyyx11 1 2,I 2110,11I2120.II220,12,20.非渐近主方向非渐近主方向渐近主方向渐近主方向又因为又因为所以曲线的唯一主直径为所以曲线的唯一主直径为即即12(,)(,)0XF x yYF x y11:1:(2 1)1:1,X Y 22:1:(0 1)1:1,X Y 22(,)240F x yxxyyx1(,)2,F x yxy 2(,),F x yxy(2)()0,xyxy 10.xy 111211112212:()():,XYaaaa
