1、1-1 1-1 约束和广义坐标约束和广义坐标一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念一、牛顿力学的局限性和分析力学的建立：回顾几个概念(1)(1)物体受力物体受力主动力主动力:约束力约束力:促使物体运动或有运动趋势的力促使物体运动或有运动趋势的力,如如:重力、风力等重力、风力等限制限制物体运动或有运动趋势的力物体运动或有运动趋势的力,如如:123(2)(2)牛顿运动方程牛顿运动方程22d rmFdt合力 约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束力不能事先就给出确切的表达式，而是取决于约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。约束本身的性质、主动力和物体的运动状态。FR主动力约束
2、力难点难点4牛顿力学牛顿力学 局限一：局限一：必须知道作用在物体上的所有的力必须知道作用在物体上的所有的力合力合力22d rmFdt合力对于非自由质点，即对于非自由质点，即约束运动约束运动，运动方程为：，运动方程为：22d rmFRdt主动力约束力其显式的得到一般很困难！其显式的得到一般很困难！实际工程技术中迫实际工程技术中迫切需要解决的问题切需要解决的问题约束越多约束越多,列出的方程越多列出的方程越多!方程越不好解！方程越不好解！用约束方程表示约束情况用约束方程表示约束情况!约束方程约束方程联立联立求解求解5牛顿力学牛顿力学 局限二：局限二：力学现象力学现象非力学现象（如电磁学等）非力学现象
3、（如电磁学等）内在联系内在联系牛顿方程牛顿方程麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组表述方法不同表述方法不同不易找到内在联系不易找到内在联系综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式综上，很自然地促使人们探究力学的其他表述形式 分析力学分析力学6分析力学分析力学 优势一：优势一：约束越多约束越多自由度越少自由度越少独立坐标越少独立坐标越少广义坐标越少广义坐标越少满足的满足的动力学方程动力学方程越少越少拉格朗日方程拉格朗日方程方程越好解方程越好解问题越好解决问题越好解决（引入（引入广义坐标广义坐标）7分析力学分析力学 优势二：优势二：加速度、力等矢量加速度、力等矢量分析力学分析力学电动力学电动力学量子力
4、学量子力学统计物理统计物理相对论相对论动能、势能等能量动能、势能等能量牛顿主义牛顿主义力学特色力学特色8牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题牛顿力学以牛顿定律为基础，借助矢量和几何图形研究力学问题 优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂优点：直观性强。缺点：处理质点组问题，特别是受约束问题特别复杂 特点特点:注重力注重力 和加速度和加速度 运动微分方程运动微分方程 求解质点（质点组）求解质点（质点组）的运动规律的运动规律Fa分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题分析力学用严格的数学分析方法研究力学问题特点：注重具有广泛意义的特点：注重具有广泛意义的
5、“能量能量”，扩大坐标概念，引入，扩大坐标概念，引入“广义坐标广义坐标”便于研究受约束质点组的力学问题便于研究受约束质点组的力学问题优点：（优点：（1 1）巧妙的消去）巧妙的消去“理想约束理想约束”，减少了方程组中未知量的个数；，减少了方程组中未知量的个数；（2 2）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富）观点高，理论完整，涉及范围广，内容丰富 形成许多专门分支形成许多专门分支（3 3）“能量能量”，“广义坐标广义坐标”用于场的研究用于场的研究 量子力学，相对论，量子力学，相对论，统计物理统计物理9牛顿力学牛顿力学分析力学分析力学代表人物代表人物牛顿牛顿拉格朗日、哈密顿拉格朗日、哈密顿运动方程
6、运动方程牛顿方程牛顿方程拉格朗日方程拉格朗日方程哈密顿方程哈密顿方程计算方法计算方法矢量计算矢量计算数学分析数学分析描述系统运动状描述系统运动状态的量态的量坐标、动量坐标、动量广义坐标、广义动量广义坐标、广义动量研究约束运动时研究约束运动时给出约束力及约束方程给出约束力及约束方程无需给出约束力及约束无需给出约束力及约束方程方程基本物理量基本物理量加速度、力加速度、力能量或功能量或功与非力学系统的与非力学系统的联系联系不易看出不易看出易于推广易于推广10分析力学到底是什么样子地分析力学到底是什么样子地?从一个个新的概念入手从一个个新的概念入手,慢慢接近了解它慢慢接近了解它!那么那么,11二、约束
7、及分类二、约束及分类对于质点组对于质点组,或称为力学体系或称为力学体系:独立坐标数目独立坐标数目=3n=3n独立坐标数目独立坐标数目3n3nn n个自由质点个自由质点若受到约束若受到约束约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件约束：对力学体系中质点的位置和速度所施加的限制条件 约束方程：对限制条件的数学表达式约束方程：对限制条件的数学表达式根据限制条件的性质将约束进行分类根据限制条件的性质将约束进行分类:121 1、完整约束和非完整约束、完整约束和非完整约束（1 1）完整（几何）完整（几何）约束仅限制体系在空间的约束仅限制体系在空间的几何位置几何位置的约束的约束 约束方程：约束方程：
8、,0,0f x y zf x y z t或Example:单摆单摆22200 xylz几何约束几何约束位置位置约束约束完整约束完整约束完整系完整系l常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是常见的完整约束：质点被约束在某一曲线或曲面上运动，则约束方程就是该曲线或曲面的方程。该曲线或曲面的方程。xy与速度无关与速度无关13（2 2）非完整（非完整（运动运动）约束对体系的约束对体系的位置和速度位置和速度都进行限制的约束都进行限制的约束 约束方程：约束方程：,;,0,;,0f x y z x y zf x y z x y z t 或Example:圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯
9、滚动圆盘在竖直平面内沿水平直线的纯滚动cxR运动约束运动约束速度速度约束约束微分约束微分约束经积分可以消去坐标导数经积分可以消去坐标导数 几何约束（完整约束）几何约束（完整约束）不能经积分消去坐标导数不能经积分消去坐标导数 非完整约束非完整约束运动约束运动约束142 2、定常约束和不定常约束、定常约束和不定常约束（1 1）定常（定常（稳定稳定）约束：约束方程中不显含时间约束：约束方程中不显含时间,;,0f x y z x y z ,0f x y z（2 2）不）不定常（不定常（不稳定稳定）约束：约束方程中显含时间约束：约束方程中显含时间,;,;0f x y z x y z t ,0f x y
10、z t Example:单摆单摆 为定常约束为定常约束22200 xylz若悬点以匀速若悬点以匀速v v沿沿x x轴运动轴运动 为不定常约束为不定常约束22200 xvtylz153 3、双侧约束和单侧约束、双侧约束和单侧约束(1 1)双侧双侧(不可解不可解)约束：体系始终不可脱离的约束约束：体系始终不可脱离的约束（等式）（等式）(2)(2)单侧单侧(可解可解)约束：体系可在某个方向脱离的约束约束：体系可在某个方向脱离的约束(不等式不等式)Example:单摆中用柔绳代替刚性杆单摆中用柔绳代替刚性杆:22200 xylzExample:单摆单摆22200 xylz今后仅讨论今后仅讨论完整、不可
11、解约束完整、不可解约束力学体系的运动问题力学体系的运动问题.16体系体系 受到（完整）约束数目受到（完整）约束数目一个自由质点一个自由质点0n n个自由质点个自由质点0n n个非自由质点个非自由质点k自由度自由度33n3n-k=s33n3n-k三、广义坐标三、广义坐标独立坐标数目独立坐标数目17因此，我们完全可以用因此，我们完全可以用s s个独立坐标个独立坐标确切的描述力学体系的位确切的描述力学体系的位置置,这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种这些独立量不一定是质点的笛卡儿坐标，有时选择某一种其他坐标会更加方便其他坐标会更加方便,于是于是,人们提出了人们提出了广义坐标广义坐标的概
12、念的概念.广义坐标广义坐标:足以描述足以描述(具有具有s s个自由度的个自由度的)系统位置的任意量系统位置的任意量 称为该体系的广义坐标称为该体系的广义坐标.常记作常记作 .12,sq qq1,2,iq is 广义速度广义速度 ，广义加速度广义加速度 .iq iq 181.1.广义坐标中的广义坐标中的”坐标坐标”的含义已超出几何学的范畴的含义已超出几何学的范畴,它的真正含它的真正含义就是义就是”独立参量独立参量”；2.2.广义坐标可以是线坐标广义坐标可以是线坐标,也可以是角坐标或其他物理量也可以是角坐标或其他物理量,如面积、如面积、体积、电极化强度、磁化强度等；体积、电极化强度、磁化强度等；3
13、.3.相应的，广义速度相应的，广义速度 既可以是线速度，也可以是角速度，或者既可以是线速度，也可以是角速度，或者其他物理量对时间的变化；其他物理量对时间的变化；iq 4.4.为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许为描述同一系统，广义坐标的选择并不是唯一的，一般地，有许多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态多组广义坐标都可以完全确定一个给定系统的状态.如何选择最合适如何选择最合适的一组广义坐标的一组广义坐标多做练习积累经验。多做练习积累经验。说明说明195.n5.n个质点形成的力学体系的个质点形成的力学体系的3n3n个非独立坐标个非独立坐标(一般是笛卡儿坐标一般是笛卡儿坐
14、标)可以用可以用s s个独立的广义坐标表示出来个独立的广义坐标表示出来:121212,1,2,3,iisiisiisxx q qq tyy q qq tinsnzz q qq t或或:12,iisrr q qq t20故广义坐标个数为故广义坐标个数为:3321snk广义坐标可取为广义坐标可取为:x或或y或或等等例题例题1 1、给出单摆的广义坐标。、给出单摆的广义坐标。解：广义坐标个数为解：广义坐标个数为:3snk这里这里:质点个数质点个数1n 另外有约束方程另外有约束方程:22200 xylz故有故有:约束个数约束个数2k l21注意：在确定广义坐标时，首先要确定广义坐标的个数注意：在确定广义
15、坐标时，首先要确定广义坐标的个数s s，s s的确定的确定不一定非得使用：不一定非得使用：3snk还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标还可以判断该质点需要几个独立坐标即可确定其位置，则广义坐标的个数的个数s s即等于几。如下一例题。即等于几。如下一例题。22解：两个质点解：两个质点m1,m2m1,m2只分别需要只分别需要1 1个独立个独立坐标即可确定其位置，即整个体系只需坐标即可确定其位置，即整个体系只需2 2个广义坐标。个广义坐标。对于一个给定的系统对于一个给定的系统,广义坐标的数目广义坐标的数目是一定的是一定的,而广义坐标的选择不是唯一的而广义坐标的选择不是唯一的.12,12,x12,x x12,x2 2、给出在均匀重力场中平面双摆的广义坐标。两个绳长不变。、给出在均匀重力场中平面双摆的广义坐标。两个绳长不变。23
