1、 2023 北京西城高一（上）期末 数 学 2023.1 本试卷共 6 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合|51Axx=，2|9Bx x=，则AB=（A）5,3 （B）(3,1 （C）3,1)（D）3,3（2）已知命题:p1x，21x，则p为（A）1x,21x （B）1x,21x （C）1x,21x （D）1x,21x （3）如图，在平行四边形ABCD中，ACAB=（A）CB （B）AD（C）BD （
2、D）CD（4）若ab，则下列不等式一定成立的是（A）11ab（B）22ab（C）eeab（D）lnlnab（5）不等式2112xx+的解集为（A）3,2（B）(,3 （C）3,2)（D）(,3(2,)+（6）正方形ABCD的边长为 1，则|2|ABAD+=（A）1 （B）3 （C）3 （D）5（7）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离s（单位：km）之间满足的关系为80022000Css=+，则当C最小时，s的值为（A）20 （B）20 2 （C）40 （D）400（8）设2log 3a=，则1 22a+=（A）
3、8 （B）11 （C）12 （D）18 （9）已知a为单位向量，则“|1+=abb”是“存在0，使得b=a”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（10）近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失.在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x（单位：米）是影响疏散的重要因素.在特定条件下，疏散的影响程度k与能见度x满足函数关系：0.20.1,1.4,0.110,110,bxkaxxx=+，（,a b是常数）.如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b的值是（参考数据：lg30.48）（A）0.24 （B
4、）0.48 （C）0.24 （D）0.48 第二部分（非选择题共110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数2()log(1)f xxx=+的定义域是_.（12）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是12.5,25，样本数据分组为12.5,15)，15,17.5)，17.5,20)，20,22.5)，22.5,25.根据频率分布直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 20 小时的人数是_.（13）写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x=_.对12,(0,)x x+，有1212()()(
5、)f x xf xf x=+；当(4,)x+时，()1f x 恒成立.（14）已知函数2,0,(),0,xaxf xaxx+=若4a=，则()0f x 的解集为_；若x R，()0f x，则a的取值范围为_.（15）函数()f x的定义域为 R，且x R，都有1()()fxf x=，给出下列四个结论：(0)1f=或1；()f x一定不是偶函数；若()0f x，且()f x在(,0)上单调递增，则()f x在(0,)+上单调递增；若()f x有最大值，则()f x一定有最小值.其中，所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 1
6、3 分）某射手打靶命中9环10环的概率分别为0.25,0.2.如果他连续打靶两次，且每次打靶的命中结果互不影响.（）求该射手两次共命中20环的概率；（）求该射手两次共命中不少于19环的概率.（17）（本小题 15 分）已知函数2().1xf xx=+（）判断函数()f x的奇偶性，并证明你的结论；（）证明函数()f x在1,)+上是减函数；（）写出函数()f x在(,1 上的单调性（结论不要求证明）.（18）（本小题 14 分）甲和乙分别记录了从初中一年级（2017 年）到高中三年级（2022 年）每年的视力值，如下表所示.2017 年 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年
7、2022 年 甲 4.94 4.90 4.95 4.82 4.80 4.79 乙 4.86 4.90 4.86 4.84 4.74 4.72（）计算乙从 2017 年到 2022 年这 6 年的视力平均值；（）从 2017 年到 2022 年这 6 年中随机选取 2 年，求这两年甲的视力值都比乙高 0.05 以上的概率；（）甲和乙的视力平均值从哪年开始连续三年的方差最小？（结论不要求证明）（19）（本小题 15 分）函数()1lgf xxc=，其中cR.（）若0c=，求()f x的零点；（）若函数()f x有两个零点1212,()x xxx，求124xx+的取值范围.（20）（本小题 13 分
8、）某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知：在未来 20 天内，这种水果每箱的销售利润r（单位：元）与时间t（120t，tN，单位：天）之间的函数关系式为1104rt=+，且日销售量p(单位：箱)与时间t之间的函数关系式为1202pt=.（）求第几天的日销售利润最大？最大值是多少？（）在未来的这 20 天中，在保证每天不赔本的情况下，公司决定每销售 1 箱该水果就捐赠*()m mN元给“精准扶贫”对象，为保证销售积极性，要求捐赠之后每天的利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围.（21）（本小题 15 分）设函数()f x的定义域为D，对于区间,(,)Ia b ab ID=，若满足以下两条性质之
9、一，则称I为()f x的一个“区间”.性质 1：对任意xI，有()f xI；性质 2：对任意xI，有()f xI.（）分别判断区间1,2是否为下列两函数的“区间”（直接写出结论）；3yx=；3yx=；（）若0,(0)mm 是函数2()2f xxx=+的“区间”，求m的取值范围；（）已知定义在R上，且图象连续不断的函数()f x满足：对任意12,x x R，且12xx，有2121()()1f xf xxx.求证：()f x存在“区间”，且存在0 x R，使得0 x不属于()f x的所有“区间”.参考答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共
10、40 分分.1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.D 7.A 8.D 9.B 10.A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11.0,1)12.60 13.2log x（答案不唯一，对数函数的底数(1,4a 即可）14.(,0)(2,)+，10a 15.注：注：第 14 题第一问 2 分，第二问 3 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分.16
11、（本小题 13 分）解：记事件iA：某射手第i次打靶，命中 9 环，iB：某射手第i次打靶，命中 10 环，其中1,2i=，则12()()0.25P AP A=，12()()0.2P BP B=.（）因为12B B,相互独立，所以 1212()()()0.20.20.04P B BP BP B=.即连续打靶两次，命中 20 环的概率为 0.04.（）连续打靶两次，命中不少于 19 环，可能第一次命中 9 环，第二次命中 10 环，可能第一次命中 10 环，第二次命中 9 环，还可能两次都命中 10 环，即121212ABB AB B+.因为1A与2B，1B与2A，1B与2B相互独立，且12AB
12、，12B A，12B B互斥，因此 121212121212()()()()P ABB AB BP ABP B AP B B+=+121212()()()()()()P A P BP B P AP B P B=+0.250.20.20.250.20.20.14=+=.即连续打靶两次，命中不少于 19 环的概率为 0.14.17（本小题 15 分）解：（）因为函数的定义域为R，所以xR时，x R.又因为2()()1xfxf xx=+，所以函数()f x是奇函数.（）任取12,1,)x x+，且12xx，则 12122212()()11xxf xf xxx=+2212212212(1)(1)(1)
13、(1)x xxxxx+=+221212122212(1)(1)x xxx xxxx+=+12212212(1)()(1)(1)x xxxxx=+.因为121xx，所以210 xx，1210 x x ，所以12()()0f xf x，即12()()f xf x.根据函数单调性定义，2()1xf xx=+在1,)+上是减函数.（）()f x在(,1 上是减函数.18（本小题 14 分）解：（）乙从 2017 年到 2022 年这 6 年的视力平均值为 4.864.904.864.844.744.724.82.6+=（）甲的视力值比乙高 0.05 以上的年份有：2017 年、2019 年、2021
14、年、2022 年.从 2017 年到 2022 年这 6 年中随机选取 2 年，所有可能的结果有15种，它们是：(2017,2018),(2017,2019),(2017,2020),(2017,2021),(2017,2022),(2018,2019),(2018,2020),(2018,2021),(2018,2022),(2019,2020),(2019,2021),(2019,2022),(2020,2021),(2020,2022),(2021,2022).用A表示“这两年甲的视力值都比乙高 0.05 以上”这一事件，则A中的结果有 6 个，它们是：(2017,2019),(2017
15、,2021),(2017,2022),(2019,2021),(2019,2022),(2021,2022),所以，所求得概率62()155P A=.（）甲和乙的视力平均值从2017年开始连续三年的方差最小 19（本小题 15 分）解：（）当0c=时，()1lgf xx=，令1lg0 x=，解得10 x=，所以函数零点为10 x=.（）由已知，1lg,010,()lg1,10,xcxf xxcx=当0c 时，()f x有两个零点12,x x12()xx，11lgxc=，2lg1xc=，所以1110cx=，1210cx+=，所以11124044 101010 1010ccccxx+=+=+402
16、10 104010cc=.当且仅当4010 1010cc=，即lg2c=时，等号成立，所以12440,)xx+.20（本小题 13 分）解：（）设第t日的销售利润为()f t，则 1()(10)(1202)4f trptt=+211012002tt=+21(10)12502t=+.当10t=时，max()1250f t=.所以第 10 天的销售利润最大，最大值是 1250 元.（）设捐赠之后第t日的销售利润为()g t，则 1()(10)(1202)4g ttmt=+21(102)12001202tm tm=+.依题意，m应满足以下条件：mN；192010219.52m+=，即4.75m；11
17、04mt+对于120,ttN均成立，即10.25m.综上510m，且*mN.21（本小题 15 分）解：（）是，不是.（）记0,Im=，()|Sf xxI=，注意到(0)00,fm=，因此，若I为函数()f x的“区间”，则其不满足性质，必满足性质，即SI.22()2(1)1f xxxx=+=+.当01m时，()f x在I上单调递增，且()(1)0f mmm m=，所以0,()Sf m=不包含于0,Im=，不合题意；当12m时，(0),(1)0,10,SffmI=，合题意；当2m 时，()(2)(0)0f mff=，所以()f mI，不合题意.综上，1,2m.（）对于任意区间,()Ia b a
18、b=，记()|Sf xxI=，依题意，()f x在I上单调递减，则(),()Sf bf a=.因为()()1f bf aba，所以()()f af bba，即S的长度大于I的长度，故不满足性质.因此，如果I为()f x的“区间”，只能满足性质，即SI=，即只需存在aR使得()f aa，或存在bR使得()f bb.因为()f xx=不恒成立，所以上述条件满足，所以()f x一定存在“区间”.记()()g xf xx=，先证明函数()g x有唯一零点：因为()f x在R上单调递减，所以()g x在R上单调递减.若(0)0f=，则00 x=为()g x的唯一零点；若(0)0ft=，则()(0)f tft=，即(0)0g，()0g t，由零点存在定理，结合()g x单调性，可知存在唯一0(0,)xt，使得0()0g x=；若(0)0ft=，则()(0)f tft=，即(0)0g，()0g t，由零点存在定理，结合()g x单调性，可知存在唯一0(,0)xt，使得0()0g x=；综上，函数()g x有唯一零点0 x，即00()f xx=，已证()f x的所有“区间”I都满足条件，所以0 xI.
