1、数理统计数理统计第四节第四节 抽样分布抽样分布三个重要分布三个重要分布正态总体统计量的分布正态总体统计量的分布数理统计数理统计一、三个重要分布一、三个重要分布)(22n记为记为:1.2 2分布分布(chi-square distribution)定义定义:设设 X1,X2,Xn互相独立互相独立,都服从正态分布都服从正态分布 N(0,1),222212nXXX 2 2分布分布是由是由正态分布正态分布派生出来的一种分布派生出来的一种分布.则称随机变量：则称随机变量：所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n 的的 2 2分布分布.2 2分布的密度函数为分布的密度函数为:12221,0(;)2
2、(2)0,0nxnxexf x nnx 其中其中,伽玛函数伽玛函数(x)通过如下积分来定义通过如下积分来定义:10(),0.txxetdtx 数理统计数理统计Probability density function（概率密度函数）（概率密度函数）Cumulative distribution function（分布函数）（分布函数）数理统计数理统计),(2N1)设设 相互独立相互独立,都服从正态分布都服从正态分布nXXX,21则则:)()(121222nXnii).(:21221nnXX则),(),(222121nXnX这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.2分布的性质分布的性质2
3、2)设设 且且X1,X2相互独立，相互独立，数理统计数理统计E(2 2)=n,D(2 2)=2n.222)(),n 3 3 若若分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差2(0,1),()()1iiiXNE XD X213)()()(2242 iiiXEXEXD.2)()(,)()(122122nXDDnXEEniinii 4)若若近似正态分布近似正态分布 N(0,1).(应用中心极限定理可得应用中心极限定理可得),),(2充分大时则当nnX的的分分布布nnX2 数理统计数理统计25)分分布布的的分分位位点点:222()()()nPnf y dy 01,对对于于给给定定的的正正数数，称称满满足足
4、条条件件:22()().nn 的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点)(2n 220.1():(25)34.382.n 如如图图所所示示,可可通通过过查查表表求求，例例数理统计数理统计t(n)分布的概率密度函数为：分布的概率密度函数为：1/22(1)2()1,(2)nnth ttnnn 定义定义:设设XN(0,1),Y 2 2 n,且且X与与Y相互独立相互独立,则称变量则称变量:nYXT 所服从的分布为所服从的分布为自由度为自由度为 n的的 t 分布分布.2.t 分布分布(t-distribution)().Tt n记记为为:t分分布布又又称称为为学学生生氏氏分分布布.数理统计数理统计Pr
5、obability density functionCumulative distribution function数理统计数理统计分布的性质：分布的性质：t1)(),()0,()(2)(2).ntTt nE TD Tnnn 具具有有自自由由度度为为 的的 分分布布其其数数学学期期望望与与方方差差为为：222)0.,1lim().2tnttnh te 分分布布的的密密度度函函数数关关于于对对称称当当 充充分分大大时时 其其图图形形近近似似于于标标准准正正态态分分布布概概率率密密度度的的图图形形，再再由由 函函数数的的性性质质有有:(0,1).nTN近近似似即即:当当 足足够够大大时时,数理统计
6、数理统计()().tnt n 的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点)(nt ()()()tnP ttnh t dt 3):t分分布布的的分分位位点点)()(1ntntt 分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上0.025()(15)2.1315.ttnt 分分布布的的上上 分分位位点点可可查查表表求求得得,例例45().ntnz 当当时时,对对于于常常用用的的 的的值值,可可用用正正态态近近似似01,:对对于于给给定定的的，称称满满足足条条件件数理统计数理统计由定义可知由定义可知:3.F分布分布(F-distribution)22111(,).VnFnnFUn 定义定义:设设 U 2
7、 2 n1,V 2 2 n2,U 与与V 相互独立相互独立,服从服从自由度为自由度为n1及及 n2 的的F分布分布,n1称为称为第一自由度第一自由度,n2称为称为第二自由度第二自由度.21nVnUF 记作记作:FF(n1,n2).若若FF(n1,n2),F的概率密度为的概率密度为:1121211211221222222()()()1,0()()()0.0nnnnnnnnnnnnyyyyy 则称随机变量则称随机变量:数理统计数理统计Probability density functionCumulative distribution function数理统计数理统计),(21nnF 2)F分布的
8、分位点分布的分位点:01,对对于于给给定定的的，称称满满足足条条件件:1212(,)(,)()Fn nP FFn ny dy 1212(,)(,).Fn nF n n 的的点点为为分分布布的的上上 分分位位点点分位点的性质：分位点的性质：分布的上分布的上 F),(1),(12211nnFnnF 0.950.0511,(12,9)0.357.(9,12)2.80FFF 分分布布的的上上 分分位位点点可可查查表表求求得得.例例F 分分 布布 的的 性性 质质:1)F分布的数学期望为分布的数学期望为:2)(22 nnFE,若若n22.即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由
9、度n1.数理统计数理统计二、二、正态总体统计量的分布正态总体统计量的分布2122X,:nXXXXS设设总总体体 的的均均值值为为，方方差差为为，是是来来自自总总体体的的一一个个样样本本，则则样样本本均均值值 和和样样本本方方差差有有222(),(),().E XD XnE S 数理统计数理统计定理定理1(样本均值的分布样本均值的分布)设设 X1,X2,Xn 是来自正态总体是来自正态总体 N(,2)的样本的样本,则有则有:2,XNn 当总体为当总体为正态分布正态分布时时,给出几个重要的抽样分布定理给出几个重要的抽样分布定理.01(,).XNn n 取不同值时样本均值的分布取不同值时样本均值的分布
10、数理统计数理统计定理定理2(样本方差的分布样本方差的分布)222122()(1)(1)(1);niiXXnSn 设设X1,X2,Xn是来自正态总体是来自正态总体 N(,2)的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有:2(2).XS与与独独立立n取不同值时取不同值时 的分布的分布22)1(Sn数理统计数理统计定理定理3(样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体 N(,2)的样本的样本,2SX和分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有:)1(ntnSX 1 2t证证:由由定定理理、和和 分分布布的的定定义
11、义可可得得：22:(1).(1)(1)nXnt nnS 则则222(1)(0,1),(1),XnSNnn 且且相相互互独独立立，数理统计数理统计定理定理4(两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布)12122211221212()(2)(2).(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn ，设),(),(2221 NYNXYX和分别是这两个样本的样本均值，分别是这两个样本的样本均值，且且X与与Y独立独立,X1,X2,Xn1是来自是来自X的样本的样本,Y1,Y2,Yn2是取自是取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,则有则有:222
12、1SS 和211222(1)(1,1);SF nnS22221112122222(1,1);SF nnS 若若两两方方差差，则则数理统计数理统计例例1:220.15(12,),25,12.5.(1)2(2)5.57,(24)1.059.XNXSt 设设总总体体 服服从从正正态态分分布布抽抽取取容容量量为为的的样样本本 求求样样本本均均值值 大大于于的的概概率率如如果果已已知知；未未知知，但但已已知知样样本本方方差差解解:1212.512(1)12.5225225XP XP1063.0)25.1(125.14.012 XP 1212.512(2)12.55.57255.5725XP XP.15.
13、001(,)XNn )1(ntnSX 1.059P T数理统计数理统计例例2:211010211021(,0.5),.104;2()2.85.iiiiNXXPXPXX 从从正正态态总总体体中中抽抽取取样样本本（）已已知知，求求概概率率（）未未知知，求求概概率率解解:21021(1)00.5(0,1)(10).0.5iiiXXNU 由由，有有，则则：1010222211144160.50.5iiiiPXPXP U10220.101(10)16.40.10.iiPX 查查表表求求由由此此可可得得:数理统计数理统计21022221(2)2,91()(9)0.50.5iiSVXX 由由定定理理1010
14、22221112.85()2.85()0.50.5iiiiPXXPXX4.11VP由此可求得由此可求得查表得查表得,4.11)9(225.0 1021()2.850.25.iiPXX 222(1)(1)nSn 数理统计数理统计例例3:112(),(1,2(),()().nnXXXXE XD XE S 设设总总体体服服从从泊泊松松分分布布，是是一一个个样样本本：）写写出出的的概概率率分分布布；（）计计算算和和解解0;,2,1,0!1iixiixexxXPi）由于）由于（的概率分布为的概率分布为因此样本因此样本nXX,1niniixnixxeexniii11!1 niiixXP1nnXDXDXEX
15、EXDXE)()(,)()(,)()()2(则有则有由于由于 niiXXnESE122)(11)(数理统计数理统计)2(33312232123212 XXXXXXY分布的性质可知分布的性质可知由由.31 C故故解解:)1,0(3)3,0(321321NXXXNXXX 所以所以因为因为)1(322321 XXX从而从而)1(322654 XXX同理可知同理可知126221234562(0,1)6,()(),.XNXXXYXXXXXXCCY 若若总总体体，从从此此总总体体中中取取一一个个容容量量为为 的的样样本本,设设试试决决定定常常数数，使使随随机机变变量量服服从从分分布布例例4:数理统计数理统
16、计1222122,(0,1),().nniiXXNXnn 设设相相互互独独立立 且且均均服服从从正正态态分分布布，则则称称随随机机变变量量服服从从自自由由度度为为 的的分分布布记记为为:t分布分布:2(0,1)(),().XNYnXYXTntY nTt n 设设，且且 与与 相相互互独独立立，则则称称随随机机变变量量服服从从自自由由度度为为 的的 分分布布，记记为为:F分布分布:2212112212()(),(,).UnVnUVU nFn nV nFF n n 设设，与与相相互互独独立立，则则称称随随机机变变量量服服从从自自由由度度为为（）的的分分布布记记为为:小结小结:几个重要的抽样分布几个
17、重要的抽样分布:2 2分布分布:数理统计数理统计抽样分布定理抽样分布定理:样本均值的分布样本均值的分布:212(,),(,).nXNXXXXNn 设设，是是来来自自总总体体 的的样样本本，则则样样本本均均值值有有:样本方差、均值的分布样本方差、均值的分布:212,(,),:nXxNX S 设设是是来来自自总总体体的的样样本本，分分别别是是样样本本均均值值和和样样本本方方差差，则则有有)1()1()1(222nSn .)2(2独独立立与与SX)1()3(ntnSX数理统计数理统计两总体样本均值差、样本方差比的分布两总体样本均值差、样本方差比的分布:12221111222212,(,)(,).,:nnXXYYNNX YSS 设设与与分分别别来来自自总总体体和和的的样样本本，且且这这两两个个样样本本相相互互独独立立分分别别是是这这两两个个样样本本的的样样本本均均值值；分分别别是是这这两两个个样样本本的的样样本本方方差差，则则有有12122211221212()(2)(2).(1)(1)112XYt nnnSnSnnnn 211222(1)(1,1);SF nnS22221112122222(1,1);SF nnS 若若两两方方差差，则则数理统计数理统计作业习题6-4 3；4;7;9
