1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 常见分布常见分布 随机变量函数的分布随机变量函数的分布做一些随机试验做一些随机试验:2.1 随机变量随机变量(R.V)与分布函数与分布函数1,2,3,4,5,6 1.掷一粒骰子，观察其点数。掷一粒骰子，观察其点数。2.1 0,1 正品，废品一个产品，观察其质量。一个产品，观察其质量。2.检查某批产品，其中有正品，废品，从中任取检查某批产品，其中有正品，废品，从中任取一、随机变量的概念一、随机变量的概念3.袋中有四种颜色的球，红球，黄球，白球，蓝袋中有四种颜色的球，红球，黄球，白球，蓝4.观察某商场某段时间到达
2、顾客的人数。观察某商场某段时间到达顾客的人数。球，从中任取一只，观察其颜色。球，从中任取一只，观察其颜色。球球红球，黄球，白球。蓝红球，黄球，白球。蓝 0,1,2,3,n0,1,2,32.1 例、例、在一袋中装有编号分别在一袋中装有编号分别为为1,2,3的三个球的三个球.从袋中任从袋中任取一只球取一只球,放回放回,再取一只球再取一只球,记录他们的编号记录他们的编号.我们对抽我们对抽取的两只球的号码之和感兴取的两只球的号码之和感兴趣趣,而不关心各个球的号码而不关心各个球的号码.实验的样本空间实验的样本空间S=(i，j)|i，j=1,2,3 这里这里i，j 分别表示第一分别表示第一,第第二个取到的
3、球的号码二个取到的球的号码.以以X记记两球的号码之和两球的号码之和,对于样本对于样本空间的一个样本点空间的一个样本点w=（i，j），），X(w)=i+j.2.1 这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数数.R X().2.1 定义定义1 设设E是一个随机试验，它的样本空间是是一个随机试验，它的样本空间是，如果对于每一个样本点如果对于每一个样本点 ，都有惟一的实数都有惟一的实数)(X与它相对应，则称与它相对应，则称)(X为定义在为定义在 上的上的这个实值函数这个实值函数随机变量随机变量，简记为，简记为R.V.X。注注 随机变量是定义在样本空间的一个实
4、随机变量是定义在样本空间的一个实随机变量的随机性随机变量的随机性 随机变量的取值由试验结果而定，随机变量的取值由试验结果而定，由于试验由于试验结果是随机的，故在试验之前，随机变量结果是随机的，故在试验之前，随机变量X究究竟取何值事先无法确定竟取何值事先无法确定,只有在试验之后，才知只有在试验之后，才知道确切值。而随机试验的各个结果出现有一定道确切值。而随机试验的各个结果出现有一定概率，故事机变量取各个值有一定的概率概率，故事机变量取各个值有一定的概率值函数，但和普通函数又有本质的差异：值函数，但和普通函数又有本质的差异：2.1 而表示随机变量所取的值而表示随机变量所取的值时时,一般采用小写字母
5、一般采用小写字母x,y,z等等.随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等表示等表示2.1 例例1 掷一枚骰子，用掷一枚骰子，用X 表示出现的点数。表示出现的点数。例例2 观察某储蓄所一天的储蓄额，用观察某储蓄所一天的储蓄额，用X 表示表示 X 是一个随机变量。是一个随机变量。X 是一个随机变量。是一个随机变量。一天的储蓄额。一天的储蓄额。例例3 一射手向一目标射击，记一射手向一目标射击，记X 表示直到命中目表示直到命中目 X 是一个随机变量。是一个随机变量。标为止所需要的射击次数。标为止所需要的射击次数。2.1 二、二、随机变量的分布函数随机变量的分布函数
6、1.基本概念基本概念2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 随机变量随机变量X是定义在样本空间的一个实值函是定义在样本空间的一个实值函数，若数，若 由实数构成的集合，则可定义随由实数构成的集合，则可定义随机事件机事件BR|()XB 简记为简记为,。XB 例例1、将一枚硬币连续抛掷、将一枚硬币连续抛掷3次，观察正反面出现的情况次，观察正反面出现的情况因此样本空间因此样本空间=HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTTHTT,TTT，若以，若以 X X 记三次投掷中正面出现的次数。记三次投掷中正面出现的次数。则我们有则我们有样本点HHH HHT HTH THH TTH T
7、HT HTT TTTX的值 3 2 2 2 1 1 1 0X=1=TTH，THT，HTT;X=2=HHT，HTH，THH;X=3=HHH;X=0=TTT2.1 我们称我们称P(A)=P(HHT，HTH，THH)为为X=2的的概率，即概率，即 P(X=2)=P(A)=3/8.更一般的，若更一般的，若I是实数的集合，是实数的集合，X I 记为事件记为事件B，即，即X I=B=w|X(w)I 于是于是 P(X I)=P(B)=P(w|X(w)I).2.1 为了研究随机变量的概率规律，必需且只需为了研究随机变量的概率规律，必需且只需掌握掌握X各种取值的概率。由于各种取值的概率。由于aXba,bXXXc
8、Xc x|RxX )()(xXPxF称称F(x)为为 X 的分布函数的分布函数.记作记作 X F(x)。定义定义1 设设 X 是一个是一个 随机变量，如果对于随机变量，如果对于Rx 有有1）若将）若将 X 看作数轴上随机点的坐标，那看作数轴上随机点的坐标，那,(x的概率；的概率；么么分布分布函数函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间注注2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 因此，只需要知道事件因此，只需要知道事件 的概率就够的概率就够了。了。Xx 3）在）在 中，中，xxXPxF),()(X是随机变量是随机变量,x是参变量，是参变量，F(x)是随机变量是随机变量X取值不
9、大于取值不大于 x 的概率；的概率；P(x1X x2)=P(X x2)P(X x1)4）对任意实数）对任意实数 x1x2，随机点落在区间，随机点落在区间(x1,x2 的概率为：的概率为：2）分布函数的定义域为）分布函数的定义域为 ，分布函数的，分布函数的),(值域为值域为0，1；=F(x2)-F(x1)2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 分布函数是一个普通的函数，正是分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用微积分的工具来研通过它，我们可以用微积分的工具来研究随机变量究随机变量.xxXPxF),()(2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数5）分布函数分布函数 F(x)的引
10、进把对于随机变量的概的引进把对于随机变量的概率计算转化为对分布函数的数值计算率计算转化为对分布函数的数值计算。2.分布函数的性质分布函数的性质性质性质2 分布函数分布函数关于关于x是单调不减函数是单调不减函数;性质性质4)(xF至多有可列个间断点，且至多有可列个间断点，且)(xF)(xF在间断点上在间断点上 右连续。即右连续。即)()0(xFxF 。)(1)(0 xxF性质性质10)(lim,1)(lim xFxFxx性质性质32.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数例例2、验证函数验证函数1(x)ar
11、ctan,2Fxx ，满足分布函数的四个基本性质满足分布函数的四个基本性质(该分布函数该分布函数通常称为通常称为柯西分布柯西分布)。设随机变量设随机变量X仅有有限或可数多个可能的取仅有有限或可数多个可能的取值，则称这种随机变量为值，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。要知道随机变量要知道随机变量X的取值，而且还应知道的取值，而且还应知道X取每取每个个值的概率值的概率.三、离散型随机变量三、离散型随机变量 为了描述离散型随机变量为了描述离散型随机变量 X，我们不仅需，我们不仅需2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个这个随机变量取值的概
12、率规律随机变量取值的概率规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个随机变量是一个随机变量X可能取的值是可能取的值是0,1,2101)0(3533 CCXP106)1(351223 CCCXP103)2(352213 CCCXP例例1且且311iiXP)(随机变量随机变量X取每个值的概率为取每个值的概率为2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数,2,1,)(kpxXPkk,21xx定义定义1 设离散型随机变量设离散型随机变量X所有可能取值所有可能取值为为 ,称称 为离为离 散型随机变量散型随机变量X的分布律的分布律.1）其中其中 (k=1,2,)满足：满足：kp,0k
13、p k=1,2,（1）kkp1（2）用这两条性质判断用这两条性质判断一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数注注2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数2）离散型随机变量）离散型随机变量X的分布率表示形式的分布率表示形式（1）列表法：）列表法：（2）公式法）公式法2,1,0,)(35233 kCCCkXPkk再看例再看例1任取任取3 个球个球X为取到的白球数为取到的白球数X可能取的值可能取的值是是0,1,2Xp210X1011061032.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数例例1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为求求X的分布函数。的分布函数。0.2 0.5 0.3p0
14、1 2X3.0120 x2.07.05.0OOO1)(xF2-3例题2-3例1.ppt2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数一般地随机变量一般地随机变量X分布律为分布律为 1x2x3x1p2p 3p P X则它的分布函数为：则它的分布函数为：111322121110)(ikiikxxxpxxxppxxxpxxxF2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数例例2 向一半径为向一半径为2米的圆盘射击，设米的圆盘射击，设 击中盘上任一同心圆的概率与该击中盘上任一同心圆的概率与该 圆的面积成正比，并设射击都能圆的面积成正比，并设射击都能 击中圆盘击中圆盘,以以X表示弹着点与圆心表示弹着点与圆心
15、 的距离，求：的距离，求：(1)随机变量随机变量X的分布函数；的分布函数；)32(),21(),21(XPXPXP（2）x2-3例题2-3例2.ppt2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数例例3.设随机变量设随机变量X的概率函数为：的概率函数为：,!)(kakXPk k=0,1,2,0 求常数求常数a.2-2例题2-2例2.ppt2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数正品为止，求在取得正品以前已取出的废品正品为止，求在取得正品以前已取出的废品例例4 一批零件中有一批零件中有9个正品和个正品和3个废品，安装机器个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果取出的是时，从这批零件中任取
16、一个，如果取出的是废品不再放回，而再取一个零件，直到取到废品不再放回，而再取一个零件，直到取到数数X的分布律。的分布律。2-2例题2-2例3.ppt2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数四、连续型随机变量的概率密度四、连续型随机变量的概率密度通过给出所谓通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式.下面我们就来介绍对连续型随机变量下面我们就来介绍对连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量X 所有可能取值充满所有可能取值充满一个区间一个区间,对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量,不能不能象离散型随机变量那样象离散型随机变量那样,以指定它取每个以指定它取每个值概率的方式值概率的
17、方式,去给出其概率分布去给出其概率分布,而是而是的描述方法的描述方法.2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数一、基本概念一、基本概念()()()xF xP Xxf t dt(),f xx 定义定义1 对于随机变量对于随机变量 X,如果存在非负可积函数如果存在非负可积函数,使得对任意的使得对任意的 则称则称X为连续型为连续型R.V,称称 f(x)为为X 的的概率密概率密度函数度函数，简称为，简称为密度函数密度函数或或密度密度.(,)x 说明说明：随机变量：随机变量X概率密度不唯一概率密度不唯一.2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数注注 1）概率密度函数的简单性质概率密度函数的简单性
18、质1 o()0,f xx 2 o()1f x dx 这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个函数函数 f(x)是否为某是否为某R.V的的密度函数的充要条件密度函数的充要条件.O)(xfx0 x曲边梯形面积曲边梯形面积2）连续型随机变量）连续型随机变量X 的分的分以直线以直线 ，x 轴以及曲线轴以及曲线0 xx )(xfy 为边界的曲边梯形为边界的曲边梯形的面积的面积.)(0 xF布函数布函数 的几何意义是：的几何意义是：0)()(0 xdttfxF2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 badxxfbXaP)()(3)对连续型对连续型 随机变量随机变量X，有，有 f(x)xoab)(bX
19、aP 4）0F(x)1,表表示概率，而示概率，而 f(x)不是，但不是，但f(x)的大的大小，反映小，反映R.V取取值概率的大小值概率的大小.2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 若若x0是是 f(x)的连续点，则：的连续点，则：0000()()()limxF xxF xF xx 0000()lim()xxxxf t dtf xx 6)密度函数密度函数 f(x)与分布函数与分布函数F(x)的关系的关系000()limxP xXxxx 5)连续型随机变量的分布函数连续型随机变量的分布函数F(x)是连续的是连续的注意：密度函数注意：密度函数f(x)不一定连续不一定连续.2.1 随机变量与分
20、布函数随机变量与分布函数7）连续型）连续型R.V 取任一指定值的概率为取任一指定值的概率为0.即：即：()0,P Xaa为任一指定值为任一指定值,这说明：（这说明：（1）对于连续型随机变量）对于连续型随机变量X，有，有 但对于非连续型随机变量但对于非连续型随机变量X，在各种区间，在各种区间(如如开区间或闭区间开区间或闭区间)上取值的概率一般地是不相上取值的概率一般地是不相同的。同的。)()()()(bXaPbXaPbXaPbXaP 2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数8)由由P(X=a)=0 可推知可推知 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能事件并非不可能事件并
21、非必然事件并非必然事件aRX称称A为为几乎不可能事件几乎不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0,不能推出不能推出 A由由P(B)=1,不能推出不能推出 B=2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 000)(2xxexfx 确定常数确定常数，并计算，并计算aaXaXPXP(),2(),2(22 为任意常数）。为任意常数）。例例1 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的密度函数为：的密度函数为：例例2 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X)(xf 其它020)(xbaxxf 且且25.0)31(XP ，确定常数确定常数 ba,；求；求 )5.1(XP2-
22、4例题2-4例1.ppt2-4例题2-4例2.ppt2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数xBAxFarctan)(确定常数确定常数A、B，并求出其密度函数，并求出其密度函数.)(xf例例3 已知连续型随机变量已知连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为（3）随机变量）随机变量X的分布函数。的分布函数。2-4例题例题2-4例例4.ppt)()(xAexfx求求:(1)系数系数A；（；（2）)12(XP例例4 设连续型随机变量设连续型随机变量X的密度函数为，的密度函数为，2-4例题2-4例3.ppt2.1 随机变量与分布函数随机变量与分布函数 “收到的呼叫数收到的呼叫数”等等.随随机机变变
23、量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实实际中常遇到的际中常遇到的“测量误差测量误差”等等.全部可能取值不仅全部可能取值不仅无穷多，而且还不能无穷多，而且还不能一一列举，而是充满一一列举，而是充满一个或几个区间一个或几个区间.如如“取到次品的个数取到次品的个数”，非离散型随机变量非离散型随机变量非连续型随机变量非连续型随机变量2.2 常见分布常见分布一、几个常见的离散型随机变量的分布一、几个常见的离散型随机变量的分布2.01分布（伯努利分布分布（伯努利分布Bernoulli Dist
24、ibution）如果随机变量如果随机变量X 的分布律为的分布律为 p q P 1 0 X其中其中0p0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作X 。()P 2）泊松分布可以用来描述一些在大量试验中）泊松分布可以用来描述一些在大量试验中偶然出现的事件的概率分布模型。偶然出现的事件的概率分布模型。一放射性源放射出的一放射性源放射出的 粒子数；粒子数；某电话交换台收到的电话呼叫数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数一个售货员接待的顾客数;一台纺纱机的断头数一台纺纱机的断头数;都服从泊松分布都服从泊松
25、分布.2.2 常见分布常见分布单位时间单位时间例例9 9 设某城市在一周内发生交通事故次数服设某城市在一周内发生交通事故次数服 从参数为从参数为0.30.3的泊松分布的泊松分布,试问试问:(1)(1)在一周内恰好发生在一周内恰好发生2 2次交通事故的概率次交通事故的概率 为多少为多少?(2)(2)在一周内至少发生在一周内至少发生1 1次交通事故的概率次交通事故的概率 为多少为多少?2-22-2例题例题2-22-2例例8.ppt8.ppt2.2 常见分布常见分布!)1(keppCkknkkn 其中其中 np 2-2例题2-2定理1.ppt2.2 常见分布常见分布定理定理1（泊松定理）泊松定理）,
26、2,1,0,!)1(limkkeppCkknnknknn是常数，0,1p0(nplimnnn 假设假设，则对任一整数，则对任一整数0k有有n为任意整数）为任意整数）例例9 某保险公司发现索赔要求中有某保险公司发现索赔要求中有10%是因是因 被盗而提出的，现知道某年中，该公司共收到被盗而提出的，现知道某年中，该公司共收到 90个索赔要求个索赔要求,试求其中包含试求其中包含5个或个或5个以上被盗个以上被盗 索赔的概率。索赔的概率。2-2例题例题2-2例例9.ppt 2.2 常见分布常见分布例例10 为保障设备正常工作，需要配备一些维修为保障设备正常工作，需要配备一些维修 工，如果各台设备发生故障是
27、相互独立的，而工，如果各台设备发生故障是相互独立的，而 每台设备发生故障的概率都是每台设备发生故障的概率都是0.01，在以下情，在以下情 况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率。况下，求设备发生故障而不能及时修理的概率。（1）一名维修工负责）一名维修工负责20台设备；台设备；（2）3名维修工负责名维修工负责90台设备；台设备；（3）10名维修工负责名维修工负责500台设备；台设备；2.2 常见分布常见分布注意注意 此种情况下所求概率与此种情况下所求概率与(2)(2)中基本上中基本上一样，而一样，而1010名维修工负责名维修工负责500500台设备相当于每台设备相当于每个维修工负责个维修工负责
28、5050台设备，工作效率是台设备，工作效率是(2)(2)的的1.671.67倍，是倍，是(1)(1)中的中的2.52.5倍倍.由此可知由此可知 若干维修工共同负责大量设备的若干维修工共同负责大量设备的维修，将提高工作的效率维修，将提高工作的效率.2.2 常见分布常见分布（5 5）几何分布几何分布（6 6）超几何分布）超几何分布*（7 7）巴斯卡分布）巴斯卡分布*二、几个常见的连续型随机变量二、几个常见的连续型随机变量若若 R.V X 的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X U(a,b)其它其它01)(bxaabxf1.均匀分布
29、均匀分布)(xfabx2.2 常见分布常见分布注注 1）均匀分布的分布函数为）均匀分布的分布函数为 abcddXcP )(此式说明，随机变量此式说明，随机变量X在区间在区间 的任意的任意的子区间上取值的概率，与它的长度成正比的子区间上取值的概率，与它的长度成正比,与子区间的位置无关。这就是均匀分布的概与子区间的位置无关。这就是均匀分布的概率意义。率意义。),(ba),(),(badc 2）对于任意区间对于任意区间0()1xaxaF xaxbbaxb2.2 常见分布常见分布 公交线路上两辆公共汽车前公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等乘
30、客的候车时间等.3）均匀分布常见于下列情形）均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差；点后某一位小数引入的误差；2.2 常见分布常见分布例例5 某公共汽车站从上午某公共汽车站从上午7时时分布分布,试求他候车时间少于试求他候车时间少于5分钟的概率分钟的概率.时刻有汽车到达此站时刻有汽车到达此站,如果如果7:00，7:15，7:30,7:45等等起起,每每15分钟来一班车分钟来一班车,即即 乘客乘客到达此站时刻到达此站时刻 X 服从服从7:00到到7:30之间的均匀之间的均匀例例6 设观测值设观测值X服从服从(2，5)上
31、的均匀分布上的均匀分布,现现 对对X进行三次独立观测，求至少两次观测进行三次独立观测，求至少两次观测 值大于值大于3的概率。的概率。2.2 常见分布常见分布则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布.若若 R.V X具有概率密度具有概率密度0()00 xexf xx 0 2.指数分布指数分布注注 1）指数分布的分布函数为）指数分布的分布函数为00()10 xxF xex 2）指数分布常用于可靠性统计研究中，如）指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命元件的寿命.2.2 常见分布常见分布 例例7 一种电子元件的使用寿命一种电子元件的使用寿命X（单位：小时）（单位：小时）求（求（
32、1）该元件使用的寿命在）该元件使用的寿命在2000小时没有小时没有0005.0 服从参数为服从参数为的指数分布，的指数分布，损坏的概率；损坏的概率；（3）如果该元件使用了）如果该元件使用了1000小时没有坏，小时没有坏，问它可以继续再使用问它可以继续再使用2000小时的概率。小时的概率。（2）该元件使用的寿命在）该元件使用的寿命在2000到到3000小时小时之间的概率；之间的概率；2.2 常见分布常见分布指数分布的性质指数分布的性质ots ,0对于对于，则有，则有)()(sXPtXtsXP 如果将如果将X看成寿命，在已知寿命长于看成寿命，在已知寿命长于t 年的年的条件下，再活条件下，再活s年的
33、概率与年龄年的概率与年龄t 无关。因此有无关。因此有时又将指数分布风趣地称为时又将指数分布风趣地称为“永远年轻永远年轻”。2.2 常见分布常见分布3.正态分布正态分布 正态分布是应用最正态分布是应用最广泛的一种连续型分布广泛的一种连续型分布.正态分布在十九世纪前叶由正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广，所以通常称为高高斯加以推广，所以通常称为高斯分布斯分布.德莫佛德莫佛 德莫佛最早发现了二项分德莫佛最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式布的一个近似公式，这一公式被认为是被认为是正态分布的首次露面正态分布的首次露面.2.2 常见分布常见分布(1)正态分布的定义及图形特点正态分布的定义及图形特
34、点f(x)所确定的曲线叫作正态曲线所确定的曲线叫作正态曲线.若若R.V X的的概率密度为概率密度为),(2 NX记作记作 xexfx,21)(222)(其中其中 和和 都是常数，都是常数，任意，任意，0，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布.2.2 常见分布常见分布 2）正态分布）正态分布 的图形特点的图形特点),(2 N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟对称的钟形曲线形曲线.21)(max xf的最大值点的最大值点为为)(xfx 的拐点的拐点为为)(xfx 的拐点的拐点为为)(xfx X 轴为的轴为的f(x)水平渐近线水平渐近线2.2
35、常见分布常见分布 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置，决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度.正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2 N2.2 常见分布常见分布 设设X ,),(2 NX的分布函数是的分布函数是 xdtexFxt222)(21)(3)正态分布的分布函数正态分布的分布函数由此可见，计算正态分布的分布函数并不是由此可见，计算正态分布的分布函数并不是一件容易的事情，为此我们有如下的研究。一件容易的事情，为此我们有如下的研究。2.2 常见分布常见分布（2 2）标准正态分布）标准正态分布1,0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.xexx,21)
36、(22 其密度函数用其密度函数用 表示表示.)(x)(x 注注 1 1）的图形特点：的图形特点：)(x;21)(max)1(x轴对称；轴对称；关于关于yx)()2(.)(1)3(的拐点的拐点为为xx 2.2 常见分布常见分布3 3）标准正态分布表）标准正态分布表)(1)(xx dtexxt 2221)(表中给的是表中给的是x0时时,(x)的值的值.当当-x0时时,xxdte21)x(x2t2)(x 2）标准正态分布的分布函数用）标准正态分布的分布函数用 表示表示.2.2 常见分布常见分布若若 XN(0,1),01)(200)()4xxxxXP 0)(10)()(xxxxxXP2.2 常见分布常
37、见分布(3)一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系定理定理1 若随机变量若随机变量X ，则其分布函数，则其分布函数),(2 N)()(xxF例例8若若 XN(0,1），查标准正态分布表求：），查标准正态分布表求：;)0()5(XP.)0()6(XP;)86.1()4(XP;)5.2()3(XP);2()1(XP);31()2(XP2-4例题2-4例8.ppt2.2 常见分布常见分布)(bXaP )()(ab),(2 NX若若注注 1）则则 2 2）3 3 准则准则),(2 NX若若1)(2)(kkXP 可以认为，可以认为，X 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3
38、,3区间内区间内.这在统计学上称作这在统计学上称作“3 3 准则准则”（三倍标准差原则）（三倍标准差原则）2.2 常见分布常见分布例例9 若随机变量若随机变量X)2,3(2N).3();2(XPXP（2）试决定）试决定c,使得使得).()(cXPcXP （1）求）求);11();52(XPXP);2(XP例例1010 设某城市成年男子身高设某城市成年男子身高X近似服从正态分近似服从正态分 布布N(170,36),(170,36),(单位单位:厘米厘米),),问问:(1)(1)应如何设计公共汽车车门的高度应如何设计公共汽车车门的高度,使得男使得男 子与车门碰头的机会小于子与车门碰头的机会小于0.
39、01?0.01?(2)(2)若车门高若车门高182182厘米厘米,求求100100个男子中与车门个男子中与车门 碰头的人数不多余碰头的人数不多余2 2人的概率人的概率.2-42-4例题例题2-42-4例例10.ppt10.ppt2-4例题2-4例9.ppt2.2 常见分布常见分布 uux 1)(的图形的对称性可知的图形的对称性可知由由设设 ，若，若 满足条件满足条件)1,0(NX u uXP10 u，则称点，则称点 为标准正态分布的上为标准正态分布的上 分分 位点（如下图所示）位点（如下图所示）2.2 常见分布常见分布2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 在实际中，人们不仅对随机变量感
40、兴趣，在实际中，人们不仅对随机变量感兴趣，还对随机变量的函数感兴趣还对随机变量的函数感兴趣.42d求截面面积求截面面积 A=的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.一、基本概念一、基本概念 设随机变量设随机变量X 的分布已知，的分布已知，Y=g(X)(设设g是是连续函数），如何由连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？设函数设函数g g是定义在随机变量是定义在随机变量X的一切可能值的的一切可能值的集合
41、上的连续函数，如果集合上的连续函数，如果X取取x时，随机变量时，随机变量Y取取值值g(x)为，称随机变量为，称随机变量Y是随机变量是随机变量X的函数的函数.记作记作Y=g(X).2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布律二、离散型随机变量函数的分布律故故Y0.30.50.2 P 13 7 5 Y 求求 Y=2X+3 的分布律。的分布律。例例1设设X 0.30.50.2 P5 2 1 X 2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布例例2设设X 0.2 0.1 0.5 0.2 P-1 0 1 2 X求求 的分布律的分布律.12 XYY 0.1 0.7 0.2 P
42、1 2 5 Y2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 R.V X的分布律为的分布律为X P Xnxxx21nppp21Y=g(X)P Y)()()(21nxgxgxgnppp21则则如果如果 中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可.)(kxg2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布例例3 已知随机变量已知随机变量X 的分布律为：的分布律为：.3,2,1,21)(nnXPn求求)2sin(XY 的分布律。的分布律。Y 2/15 1/3 8/15 P -1 0 1 Y2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布三
43、、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 已知随机变量已知随机变量X)(xfX，求出，求出)(XgY 的密度函数，即的密度函数，即)(XgY .)(yfY例例4设设 X 其它其它0408/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的密度函数的密度函数.其它其它0168328)(yyyfY2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布由此可见，求连续型随机变量由此可见，求连续型随机变量Y的的函数的密函数的密数建立了一定的关系，然后利用分布函数与密数建立了一定的关系，然后利用分布函数与密度的方法是：首先将度的方法是：首先将Y的分布函数在的分布函数在y处的函处的函)(yFY转化为转化为X的分布函
44、数在的分布函数在28 y处的函数处的函数数值数值)28(yFX值值，这样将，这样将Y的分布函数与的分布函数与X的分布函的分布函称为称为“分布函数法分布函数法”。度函数的关系，求出度函数的关系，求出Y 的密度函数。这种方法的密度函数。这种方法2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 已知随机变量已知随机变量X)(xfX，求出，求出)(XgY 的密度函数，即的密度函数，即)(XgY )(yfY的步骤：的步骤：建立随机变量建立随机变量X的分布函数的分布函数 与随机与随机)(xFX变量变量Y的分布函数的分布函数 的关系式；的关系式；)(yFY 利用上述的关系式求随机变量利用上述的关系式求随机变量Y
45、 的密度的密度)()(yFyfYY函数函数 ，得到随机变量，得到随机变量X的的密度函数密度函数 与随机变量与随机变量Y的密度函数的密度函数)(xfX)(yfY的关系式；的关系式；2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布例例5 若若),(2 NX，求，求 XY的密度函数。的密度函数。将已知随机变量将已知随机变量X的密度函数代入上面的的密度函数代入上面的关系式关系式.2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布例例6.设随机变量设随机变量 ，令，令 ,求求Y的密度函数的密度函数 。(0,1)XUXYe(y)Yf2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布()(),()0,XYdh yfh yy
46、fydy其其它它其中，其中，),(minxgx ),(maxxgx 定理定理1 设设 X是一连续型随机变量，其密度函数是一连续型随机变量，其密度函数为为 f(x),又设又设y=g(x)处处可导，对于任意处处可导，对于任意x,恒有恒有 或者或者 (连续连续),则则 Y=g(X)是一个连续型随机变量，它的概率密度为是一个连续型随机变量，它的概率密度为0)(xg0)(xg)(yhx )(xgy 是是 的反函数。的反函数。()fx例例7 设随机变量设随机变量X在在(0,1)上服从均匀分布，上服从均匀分布，求求Y=-2lnX的概率密度的概率密度.即即Y服从参数为服从参数为1/2的指数分布的指数分布.2.3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布
