1、湖北省部分重点中学 2018-2019 学年度上学期新高三起点考试 理科数学试卷 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一一、选择题选择题（本题共本题共 12 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 60 分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目只有一项是符合题目 要求的要求的 ） ） 1已知集合 2 3 |320, |log (2)1Ax xxBxx，则AB ( ) A | 21xx B |12x xx或 C |1x x D 1答案：A 解析： 2 |320 |(1)(2)0 |12Ax xxxxxx xx或， 3
2、 |log (2)1 | 21Bxxxx ，则 | 21ABxx 2已知复数z满足(i) (1 i)2iz ，则z z（ ） A1 B 1 2 C 2 2 D2 2答案：B 解析： 2i2ii(1 i)2ii 111112 i, 1 i1 i1 i1 i1 i1 i1 i1 i22 zz ， 21 2 z zz 3设等差数列 n a的前n项和为 n S若 45 20,10Sa，则 16 a（ ） A32 B12 C16 D32 3答案： 解析： 3已知命题 0 3 00 :,3R x pxx，那么命题p为（ ） A 3 ,3R x xx B 0 3 00 ,3R x xx C 3 ,3R x
3、xx D 0 3 00 ,3R x xx 3答案：C 解析：特称命题的否定是全称命题，所以p为 3 ,3R x xx 4已知函数 1 ( )()ln1 1 xx x f xee x ，若( )1f a ，则()fa（ ） A1 B1 C3 D3 4答案：D 解析：设 1 ( )()ln 1 xx x g xee x ，则 1111 ()( )()ln()ln() lnln0 1111 xxxxxx xxxx gxg xeeeeee xxxx ， 所以函数( )g x为奇函数，且( )( ) 1f xg x， 由( )( ) 11,( )2,()( )2,()() 12 13f ag ag ag
4、ag afaga 5执行程序框图，假如输入的,S k的值分别为 1，2，那么输出的S （ ） A115 B15 C4 D17 5答案：C 解析： 16 2 1 1 1 k S kk ， 11 1 1(1)(1) kk kk kkkkkk ， 所以1( 21)( 32)( 43)( 1615)164S 6有 4 位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都 有人去游览的概率为（ ） A 3 4 B 9 16 C 8 9 D 4 9 6答案：D 解析：由题意知，4 位游客各从甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有 4 381种将 4 位游客 分为 3
5、组的分法有 2 4 C种，然后将这 3 组游客分到甲、乙、丙三个不同的景点，其分法有 3 3 A种，由分步乘 法计数原理知，每个景点都有人去游览的方法有 23 43 36C A 种于是所求概率为 364 819 P 7已知函数( )sin()0, 2 f xx ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，将函数 ( )yf x的图象向左平移 3 16 个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数( )yf x的图象（ ） A关于点,0 16 对称 B关于点,0 16 对称 C关于直线 16 x 对称 D关于直线 4 x 对称 7答案：B 解析：相邻两条对称轴之间的距离为 4 ，所以周期为 2 ，将
6、函数( )yf x的图象向左平移 3 16 个单位后， 得到的图象关于y轴对称，所以( )yf x的一条对称轴方程为 3 16 x ，故其对称轴方程为 3 , 416 k xk Z； 因为对称轴与对称中心之间的距离为 1 48 T ，所以( )yf x的一个对称中心为,0 16 8已知ABC的内角, ,A B C的对边分别是, ,a b c，且 222 sinsinsinsinsin coscos ABCAB caBbA ， 若4ab，则c的取值范围为（ ） A(0,4) B2,4) C1,4) D(2,4 8答案：B 解析：在ABC中，由三角函数的定义知coscosaBbAc，结合正弦定理和
7、已知，得： 222 abcab cc ，即 222 abcab，所以 2 222222 3() ()3()()4 44 ab cabababababab ，所以2c， 又4cab，所以c的取值范围是2,4) 9已知, x y满足约束条件 10 0 0 x xy xym ，若 1 y x 的最大值为 2，则m的值为（ ） A4 B5 C8 D9 9答案：B 解析：由题意知1,2xyx mxy，作出满足约束条件的平面区域如图所示，因为 1 y x 表示 定点( 1,0)P 与平面区域内的点( , )x y连线的斜率，由图可知，当直线经过平面区域内的顶点(1,1)Am 时，直线的斜率取得最大值 1
8、2 2 m ，解得5m O x y P A B C 10已知两点( ,0),(,0) (0)A aBaa，若圆 22 (3)(1)1xy上存在点P，使得90APB， 则正实数a的取值范围为（ ） A(0,3 B1,3 C2,3 D1,2 10答案：B 解析：由题意知，点P在以AB为直径的圆上，即圆 22 (3)(1)1xy与圆 222 xya有交点， 圆心距为 2，所以121aa ，解得13a 11如图，已知, ,A B C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦 点F，若BFAC且2 AFCF，则该双曲线的离心率是（ ） A 5 3 B
9、17 3 C 17 2 D 9 4 11答案：B 解析：设双曲线的左焦点为 F ，连接,AFBF CF，则由,OAOBOFOFBFAC知四边 形AFBF为矩形，设AFm，则2 ,23 ,2AFma ACAFAFm FCm ，则 222F CFCama，则在Rt AF C 中， 222 F CAFAC，即 222 (22 )(2 )(3 )mamam，解得 2 3 ma在Rt AF F 中， 222 F FAFAF， 即 222 4(2 )cmam，即 222 4(2 )cmam，即 22 2 22 42 33 caaa ， 整理得： 2 2 17 9 c a ，所以双曲线的离心率为 17 3
10、c e a ，故选 B C B A FF O 12己知函数( ) x x f x e ，若关于x的方程 2 ( )( )10f xmf xm 恰有 3 个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A(,2)(2,) B 1 1, e C 1 1,1 e D(1, ) e 12答案：C 解析：因为 2 1 ( ) () xx xx exex fx ee ，所以函数( )f x在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，则 max 1 ( )(1)f xf e ，且x 时，( )f x ，当x 时，( )0f x 且( )0f x ，由此作出函 数( )f x的简图，如图所示令( )tf x，
11、2 ( )1g ttmtm，由题意与图可知函数 2 ( )1g ttmtm有一个零点必在 1 0, e 内，另一个零点必为 1 e 或在(,0内 当( )g t的一个零点为 1 e ，另一个零点在 1 0, e 内时， 2 (0)10 11 10 1 0 2 gm m gm eee m e ，此不等式组无解， 当( )g t的一个零点在(,0内，另一个零点在 1 0, e 内时， 2 (0)10 11 10 gm m gm eee 或 2 (0)10 11 10 1 0 2 gm m gm eee m e ，解得 1 11m e 二二、填空题填空题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5
12、 分分，共共 20 分分） 13 5 2 2 x x 的展开式中 4 x项的系数为_ 13答案：40 解析：二项式展开式的通项 2 510 3 155 2 ()2 r rrrrr r TCxC x x ，令1034r，得2r ， 所以展开式中 4 x项的系数为 22 5 240C 14函数( )2sincos3sin2 44 f xxxx 的最小正周期为_ 14答案： 解析： ( )sin23sin2sin23sin2cos23sin22sin 2 426 f xxxxxxxx ， 所以其最小正周期 2 2 T 15如图所示，圆O及其内接正八边形已知 12 ,OAe OBe ，点P为正八边形边
13、上任意一点， 12, ,ROPee ，则的最大值为_ B B A A O O P P 15答案：21 解析：以O为原点建立如图所示平面直角坐标系，不妨设 12 1ee ，如图，/CDAB，由向量的等和 线定理可知，当点P位于线段CD上时， 取得最大值，不妨取点P为点C， 1 22 , 22 OAe 2 (0,1),(1,0)OPOBe ，由 12, ,ROPee ， 2 0 222 2 (0,1),(1,0),21 221 2 1 2 AD C O B 16某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为_ 2 3 44 4 2 3 正视图正视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 16答案：100 3
14、解析：该几何体为如图所示的三棱锥ABCD，因为AC 平面BCD，所以是圆柱模型，底面圆的半径 4 3 3 r ， 高2 3h ， 设外接球半径为R， 则 2 2222 8 364100 (2 )(2 )(2 3)12 333 Rrh ， 则外接球的表面积 2 100 (2 ) 3 SR A B C D 三三、解答题解答题（共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考每个试题考 生都必须作答生都必须作答第第 22、23 题为选考题题为选考题，考生根据要求考生根据要求作答作答 ） （一一）必考题必考题：共
15、共 60 分分 17已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ，且满足 1nn Sa （1）求数列 n a的通项 n a； （2）求数列 n na的前n项和 n T 17解： （1） 1nn Sa ，当1n 时， 2 1a ，当2n时， 1 2 nn Sa ， 11nnnnn aSSaa ，即 1 2(2) nn aan ， 又因为 12 1,1aa不满足上式，所以数列 n a是从第二项起的等比数列，其公比为 2； 所以 2 1,1 2,2 n n n a n 6 分 （2）当1n 时， 1 1T ，当2n时， 01232 12321 12 23 24 2(1) 22 222 23 2
16、4 2(1) 22 nn n nn n Tnn Tnn ，得 2321111 122222212(1) 21 nnnnn n Tnnn ， 1 (1) 21 n n Tn ， 当1n 时， 1 1T 也满足上式，所以 1 (1) 21() n n Tnn N12 分 18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形， DADP， BABP （1）求证： PABD； （2）若DADP， 60ABP， 2BABPBD，求二面角DPCB的正弦值 AB C D P 18解： （1）证明：取AP中点M，连,DM BM，DADP， BABP PADM， PABM，DMBMM PA 面DMB，又BD 面
17、DMB，PABD4 分 （2）DADP， BABP， DADP，60ABP， DAP是等腰直角三角形， ABP是等边三角形，2ABPBBD，1DM ， 3BM 222 BDMBMD，MDMB 以,MP MB MD所在直线分别为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，6 分 则( 1,0,0)A ， (0, 3,0)B， (1,0,0)P， (0,0,1)D 从而得(1,0, 1)DP ， )1, 3,0(DCAB ， (1,3,0)BP ， (1,0,1)BCAD 设平面DPC的法向量 1111 ( ,)nx y z ，则 11 11 3 0 0 n DP n D xz xCy ，可取 1 (3
18、,1,3)n ， 设平面PCB的法向量 2222 (,)nxyz ，则 22 22 0 30 n BCxz n BPxy ，可取 2 ( 3,1,3)n 12 12 12 1 cos, 7 n n n n nn 设二面角DPCB为， 2 12 4 3 sin1 cos, 7 n n 12 分 19已知, ,A B C为椭圆 2 2 :1 2 x Ey上三个不同的点，O为坐标原点，若O为ABC的重心 （1）如果直线ABOC、的斜率都存在，求证 ABOC kk为定值； （2）试判断ABC的面积是否为定值，如果是就求出这个定值，否则请说明理由 A B C Ox y 19解： （1）设直线:AB yk
19、xm，代入 2 2 :1 2 x Ey得： 222 (12)42(1)0kxkmxm， 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，则 2 1212 22 42(1) , 2121 kmm xxx x kk ； 由 2222 168(12)(1)0m kkm 得： 22 12mk 线段AB中点 22 2 (,) 21 21 kmm D kk ,因为O为ABC的重心， 所以 11 () 22 ABOCABOD kkkkk k 为定值 6 分 点差法求证相应给分 （2）设 33 (,)C xy，则 312312 22 42 (),() 2121 kmm xxxyyy kk ， 代入 2 2
20、1 2 x y得 22 124km，又 22 1212 1()4ABkxxx x ， 原点O到AB的距离 2 1 m d k ，于是 2 2 222 2222 221142(1)6 4123 2212121244 OAB mmkmm SAB dmkmm kkkm 所以 3 6 3 4 ABCOAB SS （定值） 12 分 20为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性， 将它们各自量化为 1、 2、 3 三个等级， 再用综合指标wxyz的值评定学生的数学核心素养， 若7w， 则数学核心素养为一级； 若56w， 则数学核心素养为二级； 若34
21、w， 则数学核心素养为三级， 为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数据： 学生编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 (x,y,z) (2,2,3) (3,2,3) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2) (1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率； (2)在这 10 名学生中任取三人， 其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X， 求随机变量X的分布列 及其数学期望 20解： 学生编号 A
22、1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 (x,y,z) (2,2,3) (3,2,3) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2) w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6 （1）由题可知：建模能力三级的学生是 9 A；建模能力二级的学生是 4710 ,AAA；建模能力一级的学生是 123568 ,A AAAAA 记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件B 则 222 322 22 36 ()5 (|) ( )18 CCCP AB P B A P
23、ACC 6 分 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: 123568 ,A AAAAA，非一级的学生为余下 4 人 X的所有可能取值为 0，1，2，3 03122131 64646464 3333 10101010 1311 (0),(1),(2),(3) 301026 C CC CC CC C P XP XP XP X CCCC 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 30 3 10 1 2 1 6 10 分 1311 01231.8 301026 EX 12 分 21设函数 2 1 11 ( )ln ,( ) x f xaxax g x xe ，其中,2.71828Ra
24、e为自然对数的底数 （1）讨论( )f x 的单调性； （2）证明：当1x 时，( )0g x ； （3）如果( )( )f xg x在区间(1,)内恒成立，求实数a的取值范围 21解： （1） 2 121 ( )2(0) ax fxaxx xx 1 分 当0a时，( )0fx， ( )f x在(0,)内单调递减 2 分 当0a 时，由( )0fx,得 1 2 x a 当 1 0, 2a x 时， ( )0,( )fxf x单调递减； 当 1 + 2 x a ，时， ( )0,( )fxf x单调递增 4 分 （2） 1 1 ( ) x x ex g x xe ，令 1 ( )exs xx ，
25、则 1 ( )e1 x s x 当1x 时， ( )0s x，所以( )s x单调递增，又(1)0s，( )0s x， 从而1x 时， 1 11 ( )0 ex g x x 7 分 （3）由（2） ，当1x 时， ( )0g x 当0a， 1x 时， 2 ( )(1)ln0f xa xx 故当( )( )f xg x在区间(1,)内恒成立时，必有0a 8 分 当 1 0 2 a时， 1 1 2a 由（）有 1 (1)0 2 ff a ,而 1 0 2 g a ， 所以此时( )( )f xg x在区间(1,)内不恒成立 10 分 当 1 2 a时，令( )( )( ) (1)h xf xg x
26、x 当1x 时， 32 1 2222 111112121 ( )2e0 x xxxx h xaxx xxxxxxx 因此， ( )h x在区间(1,)单调递增 又因为(1)0h，所以当1x 时，( )( )( )0h xf xg x，即( )( )f xg x恒成立 综上， 1 + 2 a ，12 分 （二二）选考题选考题：共共 10 分分请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答如果多做如果多做，则按所则按所做的第一题计分做的第一题计分 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是 26 xt yt （t是参数） ，以
27、原点O为极点，x轴正 半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2cos （1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）设( , )M x y为曲线C上任意一点，求xy的取值范围 22解： （）由 26 xt yt ，得26yx，故直线l的普通方程为260xy， 由2 2cos，得 2 2 2cos，所以 22 2 2xyx，即 22 (2)2xy， 故曲线C的普通方程为 22 (2)2xy 5 分 （）据题意设点( 22cos ,2sin )M， 则22cos2sin22sin 4 xy ， 所以xy的取值范围是 22,22 10 分 23选修 45：不等式
28、选讲（10 分） 已知函数( )1f xxax (1）若2a ，求不等式( )2f xx的解集； (2）如果关于x的不等式( )2f x 的解集不是空集，求实数a的取值范围 23解： （）当2a 时，知 21 (1) ( )3( 12) 21(2) xx f xx xx ，不等式( )2f xx 等价于 1 212 x xx 或 12 32 x x 或 2 212 x xx 解得：13xx或 故原不等式的解集为 |13x xx或 5 分 （）( )1()(1)1f xxaxxaxa，当()(1)0xa x时取等号 所以若关于x的不等式( )2f x 的解集不是空集，只需12a 解得31a ，即实数a的取值范围是( 3,1)10 分
