1、唐山市 20182019 学年度高三年级摸底考试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信1,1,5;1,1,7; 335 SanSanSan 1111 1,1,2119 35719 San 满足条件，退出循环，故该程序框图的功能是求 1111 1 35719 的值 10 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 和双曲线 22 :1E xy有相同的焦点 12 ,F F， 且离心率之积为 1， P为两曲线的一个交点，则 12 FPF的形状为（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D不能确定 10答案：B 解析：双曲线的离心率为2，所以椭圆的离心率 2 2 c e a
2、 ，又因为2c ，所以2,2ab， 由 121 122 43 21 PFPFPF PFPFPF ，又 12 2 2FF ，所以 222 1122 PFFFPF，所以 12 FPF是直角 三角形 11已知函数( )sinsin3 ,0,2 f xxx x，则( )f x的所有零点之和等于（ ） A5 B6 C7 D8 11答案：C 解析：解法一：由( )sinsin30f xxx，得sinsin3xx，在同一坐标系中作出函数sinyx与函 数sin3yx在0,2 x上的图象，由图可知，共有 7 个交点，且这 7 个交点关于点( ,0)对称， 所以( )f x的所有零点之和等于7 1 0.5 0.
3、5 1 3 2 3 4 3 5 3 2 解法二：( )sinsin3sin(2)sin(2)2cos2 sinf xxxxxxxxx ，令( )0f x ，得cos20x 或sin0x ；由cos20x ，得2, 224 ZZ k xkkxk ，又0,2 x， 357 4444 x 或或或； 由sin0x ，得02x 或 或， 357 027 4444 12已知三棱锥PABC的四个顶点都在半径为 3 的球面上，ABAC，则该三棱锥体积的最大值是 （ ） A16 3 B 32 3 C 64 3 D32 12答案：B 解析：设,ABa ACb，则 1 2 ABC Sbc ，ABC所在外接圆的半径
4、22 2 ab r ，球心O到平面 ABC的距离 22 22 9 4 ab dRr ，三棱锥体积最大时， 22 39 4 ab hRd ， 则 222222 11 3939 362124 P ABCABC ababab VShab （当且仅当ab时等号成 立） ，设 22 9 4 ab t ，则03t ， 2 32 91 ( )(3)(3927) 33 t V ttttt ， 2 ( )23(3)(1)V ttttt ， 当01t 时，( )0,( )V tV t单调递增，当13t 时，( )0,( )V tV t单调递减， 所以当1t ，即4abh时，三棱锥体积取得最大值 32 (1) 3
5、V 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知, x y满足 24 22 33 xy xy xy ，则2zxy的最大值为 13答案：2 解析：作出可行域为如图所示的ABC，其中(0,2),(1,0),(2,3)ABC，则2,2,1 ABC zzz ， max 2 B zz O x y A B C 14在 5 2 2 ax x 的展开式中， 4 x的系数为 5，则实数a的值为 14答案： 1 2 解析：由条件可知二项展开式的通项 2 5510 3 155 2 ()( 2) k kkkkkk k TCaxC ax x ，令1034k，得 2k ，故
6、22333 5 11 ( 2)405, 82 C aaaa 15已知直线:20l kxyk与圆 22 :270C xyy相交于,A B两点，则AB的最小值为 15答案：2 6 解析：直线l的方程为2(1)yk x，经过定点(1,2)P，由已知的圆C的标准方程为 22 (1)8xy， 可知圆心(0,1)C，半径2 2r ，由 22 2ABrd可知当直线l与CP垂直时弦长最小，此时 2dCP，故 22 min 2 (2 2)( 2)2 6AB 4 3 2 1 1 2 22 B A P C O 16ABC的垂心H在其内部，30 ,3AAH，则3BHCH的取值范围是 16答案：(1, 3) 解析：由已
7、知，得ABC为锐角三角形，如图，延长,AH BH CH分别交,BC AC AB于,E F D，因 为H是垂心，所以,AEBC BFAC CDAB，又30BAC，所以60ABFACD 设,(0 ,30 )BAH ，则30CAH，又3AH ， 所以在ABH中，由正弦定理得2sin sinsin60 BHAH BH ， 在ACH中，由正弦定理得2sin(30) sin(30)sin60 CHAH CH 所以32 3sin2sin(30)3sincos2sin(30)BHCH，因为(0 ,30 )， 所以30(30 ,60 )，所以 13 sin(30), 2sin(30)(1, 3) 22 ， 即3
8、(1, 3)BHCH A B C D E FH 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前n项和为 n S， 31 2 n n a S （1）求 n a； （2）若(1) nn bna，且数列 n b的前n项和为 n T，求 n T 17解析： （1）由已知可得，231 nn Sa， 所以 11 231 (2) nn San ， 得， 11 2()33 nnnn SSaa ， 化简为 1 3(2) n
9、n aan ，即 1 3(2) n n a n a ， 3 分 在中，令1n 可得 1 1a ， 4 分 所以数列 n a是以 1 为首项，3 为公比的等比数列， 从而有 1 3n n a 6 分 （2） 1 (1) 3n n bn ， 01221 1231 0 31 32 3(2) 3(1) 3 30 31 32 3(2) 3(1) 3 nn n nn n Tnn Tnn 得， 1231 23333(1) 3 nn n Tn 8 分 33(32 ) 33 (1) 3 1 32 nn n n n 10 分 所以， (23) 33 4 n n n T 12 分 18 （本小题满分 12 分） 甲
10、、乙两位工人分别用两种不同工艺生产同一种零件，已知尺寸在223, 228（单位：mm）内的零件为一 等品，其余为二等品甲、乙当天生产零件尺寸的茎叶图如图所示： 甲 乙 8 7 21 8 9 8 6 6 5 2 22 1 3 4 5 7 8 4 3 1 23 0 2 （1）从甲、乙两位工人当天生产的零件中各随机抽取 1 个零件，求抽取的 2 个零件等级互不相同的概率； （2）从工人甲当天生产的零件中随机抽取 3 个零件，记这 3 个零件中一等品数量为 X，求 X 的分布列和 数学期望 18解析： （1）由茎叶图可知，甲当天生产了 10 个零件，其中 4 个一等品，6 个二等品；乙当天生产了 10
11、 个零件，其中 5 个一等品，5 个二等品， 所以，抽取的 2 个零件等级互不相同的概率 4 56 51 10 102 P 5 分 （2）X 可取 0，1，2，3 6 分 03122130 46464646 3333 10101010 1131 (0);(1);(2),(3) 621030 C CC CC CC C P XP XP XP X CCCC ； 10 分 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 6 1 2 3 10 1 30 随机变量 X 的期望 11316 ()0123 6210305 E X 12 分 19 （本小题满分 12 分） 斜率为(0)k k 的直线l与抛物线 2
12、yx交于 1122 ( ,),(,)A x yB xy两点，O为坐标原点 （1）当 12 2xx时，求k； （2）若OBl，且3ABOB，求AB 19解析： （1）由已知可得， 22 1122 yxyx， 所以 22 1212121212 ()()2()yyxxxxxxxx， 此时，直线l的斜率 12 12 2 yy k xx 4 分 （2）因为OBl，所以 kOB 1 k ， 又因为 2 22 2 22 OB yx kx xx ，所以， 2 1 x k ， 6 分 又由（1）可知， 12 12 12 yy xxk xx ，从而有， 12 1 xkxk k ， 所以 22 12 2 11ABk
13、xxkk k ， 2 2224 2222 242 111k OBxyxx kkk 9 分 因为3ABOB，所以 2 2 2 23 1 1 k kk kk ， 化简得， 3 23kk |，解得，1k ， 所以， 2 2 13 2ABkk k 12 分 20 （本小题满分 12 分） 在直角三角形ABC中，2ABBC，D为AC的中点如图，以BD为折痕将ABD折起，使点A 到达点P的位置，且PBCD （1）求证：PD 平面BCD； （2）求PA与平面PBC所成角的正弦值 P A B C D 20解析： （1）直角三角形 ABC 中， ABBC2，D 为 AC 的中点， BDCD， 又PBCD，BDP
14、BB， CD平面 PBD， CDPD， 又ADBD， PDBD 又因为 BDCDD， PD平面 BCD 5 分 （2）以 D 为坐标原点，DA，DB，DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 Dxyz， 则( 2,0,0),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)ABCP， ( 2,0,2),(0,2,2),( 2,2,0)PAPBCB , 设平面 PBC 的法向量( , , )nx y z ， 由 220 220 n PByz n CBxy ，可取(1, 1, 1)n 9 分 6 cos, 3 PA n PA n PA n ，直线 PA 与平面 PBC 所成角的
15、正弦值为 6 3 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 1 ( )log(0 a f xxa x ，且1)a （1）当ae时，曲线( )yf x与直线ym相切，求m的值； （2）若( ) e f x a ，求a的取值范围 （1）当ae时， 1 ( )lnf xx x ，所以 22 111 ( ) x fx xxx 1 分 设切点为 00 (,()xf x，曲线( )yf x与ym相切，得 0 ()0fx， A B C P D x y z 解得 0 1x ，所以切点为(1,1) 3 分 所以1m 4 分 （2）依题意得(1) e f a ，所以1 e a ，从而ae 5 分 因为
16、2 ln ( ), ln xa fxae xa ， 所以当0lnxa时，( )0fx，( )f x单调递减；当lnxa时，( )0fx，( )f x单调递增， 所以当lnxa，( )f x取得最小值 1 log (ln ) ln a a a 7 分 设( )ln,g xexxxe e，则( )1 eex g x xx 0 0， 所以( )g x在 ,)e 单调递减，从而( )( )0g xg e ，所以lnexx 10 分 又ae，所以lneaa，从而 1 ln e aa ，当且仅当ae时等号成立 因为ln1a，所以log (ln )0 a a ，即 1 log (ln ) ln a e a
17、aa 综上，满足题设的a的取值范围为 ,)e 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，曲线C的方程为 2 2 2 sin40 4 ，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建 立平面直角坐标系xOy，直线 cos : sin xt l yt （t为参数，0） （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于,A B两点，求OAOB的取值范围 22 （1）由 2 2 2 sin40 4 得， 2 2cos2 sin40 所以 22 2240xyx
18、y曲线 C 的直角坐标方程为 22 (1)(1)6xy 5 分 （2）将直线 l 的参数方程代入 22 2240xyxy并整理得， 2 121 2 1212 2(sincos)40,2(sincos),40. 2(sincos)2 2sin 4 ttttt t OAOBtttt 因为0，所以 5 444 ，从而有22 2sin2 2 4 所以OAOB的取值范围是0,2 2 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知( )121f xxx （1）求不等式( )0f x 的解集； （2）若Rx时，不等式( )f xax恒成立，求a的取值范围 23 （1）由题意得121xx, 所以 22 121xx, 整理可得 2 20xx，解得02x，故原不等式的解集为 |02xx 5 分 （2）由已知可得，( )af xx恒成立， 设( )( )g xf xx，则 2,1 1 ( )2 ,1 2 1 22, 2 x g xxx xx 由( )g x的单调性可知， 1 2 x 时，( )g x取得最大值 1， 所以 a 的取值范围是1,) 10 分
