1、2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 |20, |21 x Ax xxBx，则（ ） AAB BRAB CBA DAB 1答案：D 解析： 2 |20 |02, |21 |0 x Ax xxxxBxx x，所以AB 2已知a为实数，若复数(i)(12i)a为实数，则a （ ） A2 B 1 2 C 1 2 D2 2答案：B 解析：(i)(12i)2(1 2 )ia
2、aa为实数，所以120a，解得 1 2 a 3已知双曲线 2 2 2 :1 y C x b 的一条渐近线过圆 22 :(2)(4)1Pxy的圆心，则C的离心率为 （ ） A 5 2 B 3 2 C5 D3 3答案：C 解析：圆心(2, 4)P，渐近线ybx 过点(2, 4)P，所以2b ，又1a ，所以 22 5cab， C的离心率为5 c e a 4刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中 首创“割圆术” 所围“割圆术” ，是用圆内接正多边形的面积去无限 逼近圆面积并以此求取圆周率的方法如图所示，圆内接正十二边形的 中心为圆心O，圆O的半径为 2，现随机向圆O内投放a粒豆子， 其中
3、有b粒豆子落在正十二边形内( ,)Na bba ， 则圆周率的近似值为（ ） A b a B a b C 3a b D 3b a 4答案：C 解析：正十二边形的面积为 1 122 2sin3012 2 ，圆的面积为 2 24，则根据题意可得： 12 4 b a ， 3 a b 2 O 5若等边三角形ABC的边长为 1，点M满足2CMCBCA ，则MA MB （ ） A3 B2 C2 3 D3 5答案：D 解析： 2 22MA MBCACMCBCMCACBCACACA CB 1 213 2 6 设 n S是等差数列 n a的前n项和， 若m为大于 1 的正整数， 且 2 11 1 mmm aaa
4、 ， 21 11 m S ， 则m （ ） A11 B10 C6 D5 6答案：C 解析： 11 2 mmm aaa ，由 2 11 1 mmm aaa ，得 2 21 mm aa，解得1 m a ， 所以 21 (21)2111 mm Smam ，解得6m 7如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔 打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T，若鱼缸水深为h时， 水流出所用时间为t，则函数( )hf t的图象大致是（ ） 7答案：B 解析：水深h随时间增加逐渐递减，排除 C，D，根据鱼缸的形状，水深h变化的速率在开始和结尾时较 快，在中间较慢，故选 B 8 35 (2)(
5、)xxa的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 4 x的系数是（ ） A5 B10 C15 D20 8答案：A 解析：令1x ，得各项系数和为 5 (1)32a，解得1a ，则 35 (2)(1)xx展开式中含 4 x的项为 14134144 55 2115C xx C xx，即展开式中 4 x的系数是 5 9已知函数( )cos() (0,0)f xx是奇函数，且在, 4 3 上单调递减，则的最大 值是（ ） A 1 2 B 2 3 C 3 2 D2 9答案：C 解析：( )f x过原点且在原点处单调递减，又因为0，所以 2 ， ( )cossin 2 f xxx ，又( )f x在,
6、4 3 上单调递减，所以 32 ，解得 3 2 10一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该几何体的 表面积为（ ） A13 2 B7 C15 2 D8 正视图正视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 10答案：B 解析：该几何体分为左右两部分，左边是一个四分之一球体，右边是一个圆柱体，其表面积 2222 111 411121 217 422 S 11 已知以F为焦点的抛物线 2 :4C yx上的两点,A B满足 1 3 3 AFFB ， 则弦AB的中点 到C的准线的距离的最大值是（ ） A2 B 8 3 C10 3 D4 11答案：B 解析：,A F B三
7、点共线，设AB中点为M，过, ,A B M三点分别作准线的垂线，垂足分别为 111 ,A B M， 则 1 MM为梯形 11 AAB B的中位线，所以 111 111 222 MMAABBAFBFAB， 设AFx，则 22 , 1 cos1cos AFBF ，由AFFB ，得 22 1 cos1 cos ， 得： 1 cos 1 ，所以 22 22222 4444(1)21 sin1 cos(1)(1) 1 1 1 AB 1 2 ，设 11 ( )2,3 3 f xxx x ，则 22 1(1)(1) ( )1 xx fx xx ，则当 1 ,1 3 x 时， ( )0,( )fxf x单调递
8、减，当(1,3)x时，( )0,( )fxf x单调递增，又因为 116 (3) 33 ff ， 所以AB的最大值为16 3 ，又 1 1 2 MMAB，所以 1 MM的最大值为 8 3 4 3 2 1 1 2 224 M1 M B1 A1 B OF A 12若函数 2 1, 1 ( ) ln(),1 x x f x x xax 的图象上存在关于直线1x 对称的不同两点，则实数a的取值范围 是（ ） A 2 (1,)e B 2 (1,)e C 2 (,1)e D 2 (,1)e 12答案：A 解析：由题意可知，当1x 时，函数 2 1x y x 与函数ln(2)yxa有交点， 设 2 11 (
9、 )ln(2)ln(2) (1) x h xxaxxax xx ，显然( )h x为单调递增函数，要使得方程 ( )0h x 在(1,)上有解，则(1)2ln(1)0ha，解得 2 1ae 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13设 n S是等比数列 n a的前n项和，若 36 3,27SS，则 1 a 13答案： 3 7 解析： 设 n a的公比为q， 则 33 63(1 )3(1)27SSqq， 解得2q ， 所以 31231 73Saaaa 解得 1 3 7 a 14若函数 3 ( )f xax x 的图象在点(1,(1)f处的切线过点(2,
10、4)，则a 14答案：2 解析： 2 3 (1)3,( ),(1)3fafxafa x ，所以函数图象在点(1,(1)f处的切线方程为 (3)(1)3yaxa，将点(2,4)代入，得：24a ，所以2a 15已知关于, x y的不等式组 21 0 20 0 0 xy xm y 表示的平面区域内存在点 00 (,)P xy，满足 00 22xy，则 m的取值范围是 15答案： 4 , 3 解析：作出不等式组 21 20 xy y 0 0 表示的平面区域如图所示，并作出直线22xy，与直线 210xy 交于点A，则 45 , 33 A ，有0xm，得xm，由题意可知 4 3 m， 所以 4 3 m
11、 x y O A 210xy 220xy 20y 16 已知直四棱柱 1111 ABCDABC D的所有棱长都是 1， 11111 60 ,ABCACBDO ACB DO， 点H在线段 1 OB上， 1 3OHHB，点M是线段BD上的动点，则三棱锥 11 MC O H的体积的最小值 为 16答案： 3 48 解析：如图，当点M到平面 11 C O H的距离最小时，三棱锥 11 MC O H的体积取到最小值，分析可知， 当点M位于点B时，到平面 11 C O H的距离最小，此时，设 11 OBO BD，由 1 3OHHB，可知H为 1 B D的中点，所以 111 11313 22228 O BH
12、O BB SS ，易证得 11 OC 平面 11 BB D D， 所以 1 1111 11 11313 338248 M C O HCO BHO BH VVSOC A B C D A1 B1 C1 D1 O1 O H D 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知cos(3)coscBabC （1）求sinC的值； （2）若2 6c ，2ba，求ABC的面积
13、17解析： （1）解法 1：因为cos(3)coscBabC， 由正弦定理得：sincos(3sinsin)cosCBABC，1 分 则sincossincos3sincosCBBCAC，所以sin()3sincosBCAC，2 分 由于ABC，得sin()sin()sinBCAA，则sin3sincosAAC3 分 因为0,sin0AA，所以 1 cos 3 C 4 分 因为0C，所以 2 2 2 sin1 cos 3 CC6 分 解法 2：因为cos(3)coscBabC， 由余弦定理得 222222 (3) 22 acbabc cab acab ，1 分 化简得 222 2 3 abca
14、b，2 分 所以 222 2 1 3 cos 223 ab abc C abab 4 分 因为0C，所以 2 2 2 sin1 cos 3 CC6 分 （2）解法 1：由余弦定理得： 222 2coscababC，7 分 因为 1 2 6,cos 3 cC，所以 22 2 24 3 abab8 分 即 2 4 ()24 3 abab 9 分 因为2ba，所以15ab 10 分 所以ABC的面积 112 2 sin155 2 223 SabC12 分 解法 2：由余弦定理得： 222 2coscababC，7 分 因为 1 2 6,cos 3 cC，所以 22 2 24 3 abab8 分 又2
15、ba，解得3,5ab10 分 所以ABC的面积 112 2 sin155 2 223 SabC12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥ABCD中，ABC是等边三角形，90BADBCD ，点P是AC的中点，连 接,BP DP （1）证明：平面ACD 平面BDP； （2）若6BD ，且二面角ABDC为120，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值 A B C P D 18 （1）证明：因为ABC是等边三角形，90BADBCD ， 所以RtRtABDBCD，可得ADCD1 分 因为点P是AC的中点，则,PDAC PBAC，2 分 因为,PDPBP PD平面PBD，PB 平面PBD，所以
16、AC 平面PBD3 分 所以平面ACD 平面PBD4 分 （2）解法 1：作CEBD，垂足为E，连接AE因为RtRtABDBCD，所以AEBD， AECE，AEC为二面角ABDC的平面角5 分 由已知二面角ABDC为120，故120AEC6 分 在等腰AEC中，由余弦定理可得3ACAE，7 分 因为ABC是等边三角形，则ACAB所以3ABAE 在RtABD中，由 11 22 AE BDAB AD，得3BDAD，因为6BD ，所以2AD 又 222 BDABAD，得2AB 则 2 36 , 33 AEED8 分 由上述可知BD 平面AEC，则平面AEC 平面BCD 过点A作AOCE，垂足为O，则
17、AO 平面BCD9 分 连接OD，则ADO为直线AD与平面BCD所成角10 分 在RtAEO中，60AEO，所以 3 1 2 AOAE，11 分 2 sin 2 AO ADO AD 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 2 2 12 分 A B C P D E A B C P D E O x y z 解法 2：作CEBD，垂足为E，连结AE因为RtRtABDBCD，所以AEBD， AECE，AEC为二面角ABDC的平面角5 分 由已知二面角ABDC为120，故120AEC6 分 在等腰AEC中，由余弦定理可得3ACAE，7 分 因为ABC是等边三角形，则ACAB所以3ABAE 在RtABD
18、中，由 11 22 AE BDAB AD，得3BDAD，因为6BD ，所以2AD 又 222 BDABAD，得2AB 则 2 36 , 33 AEED8 分 如图所示，以E为原点，以向量,EC ED 方向分别为x轴，y轴的正方向，与向量,EC ED 都垂直的方向 为z轴，建立空间直角坐标系Exyz，则 63 0,0 ,0,1 33 DA ， 向量 36 , 1 33 AD ，平面BCD的法向量为(0,0,1)m ，9 分 设直线AD与平面BCD所成角为， 则 12 cos, 22 1 m AD m AD mAD ，10 分 2 sincos, 2 m AD 11 分 所以直线AD与平面BCD所
19、成角的正弦值为 2 2 12 分 19 （本小题满分 12 分） 某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布 列为： 2 3 4 P 0.4 a b 其中01a，01b （1）求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率； （2）商场销售一件商品，若顾客选择分 2 期付款，则商场获得的利润为 200 元；若顾客选择分 3 期付款， 则商场获得的，则商场获得的利润为 250 元；若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为 300 元商场 销售两件该商品获得的利润记为 X（单位：元） （i）求 X 的分布列； （2）若(500
20、)0.8P X，求 X 的数学期望EX的最大值 19 （1）解：设购买该商品的 3 位顾客中，选择分 2 期付款的人数为，依题意，得(3, 0.4)B， 1 分 则 22 3 (2)0.4(1 0.4)0.288PC2 分 故购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率为 0.288 （2）解： （i）依题意，X 的取值分别为 400，450，500，550，6003 分 222 (400)0.4 0.40.16,(450)2 0.40.8 , (500)2 0.40.8,(550)2,(600) P XP Xaa P XbabaP Xab P Xb 5 分 所以 X 的分
21、布列为： X 400 450 500 550 600 P 0.16 0.8a 2 0.8ba 2ab 2 b 6 分 （ii） 2 (500)(400)(450)(500)0.160.8()P XP XP XP Xaba7 分 根据题意知0.41ab，得0.6ab，得0.6ba， 由(500)0.8P X ，得： 2 0.160.480.8a， 解得0.4a或0.4a，又0a ，则0.4a8 分 又0b ，得0.60a，解得0.6a ，所以0.4,0.6)a9 分 22 400 0.16450 0.8500 (0.8) 1100600EXabaabb10 分 52 100a11 分 当0.4a
22、 时，EX的最大值为 480所以 X 的数学期望EX的最大值为 48012 分 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点和两个顶点在圆 22 :1O xy上 （1）求椭圆C的方程； （2）若点F是C的左焦点，过点( ,0) (1)P mm作圆O的切线l，l交C于,A B两点，求ABF的面 积的最大值 20解析： （1）由椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 可知C的焦点在x轴上，因为圆O与x轴的两个交点的 坐标分别为( 1,0), (1,0)，与y轴的两个交点的坐标分别为(0,1),(0, 1)， 根据题意，可得1bc，1 分
23、 故 222 2abc2 分 所以椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y 3 分 （2）解法 1：因为点F是C的左焦点，则( 1,0)F 当1m 时，圆O的切线l的方程为1x ，此时，,A B的坐标为 22 1, 1, 22 ， 则2AB ，4 分 点F到l的距离为2d ，所以ABF的面积为 1 2 2 SAB d5 分 当1m 时，设圆O的切线l的方程为() (0)yk xmk，即0kxykm， 因为l是圆O的切线，则 2 1 1 km k ，即 222 1k mk 6 分 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，由 2 2 () 1 2 yk xm x y ，消去y得 22222
24、 (12)42(1)0kxk mxk m， 222222 (4)8(12)(1)80k mkk mk ，则 222 1212 22 42(1) , 1212 k mk m xxx x kk 7 分 故 2 222 222 1212 222 48(1)2 2 1()4(1) 12121 k mk mm ABkxxx xk kkm 8 分 点F到l的距离为 22 (1)1 11 kkmk mm d m kk 9 分 故ABF的面积为 22 112 212(1) 2211 mmm SAB d mmm 10 分 令 2 2(1) ( )(1) 1 m f mm m ，则 22 2222 2(1)2 2
25、(1)2(21) ( ) (1)(1) mmmmm fm mm ， 当1m 时，( )0fm，故( )(1)2f mf，即ABF的面积2S 11 分 由可知，ABF的面积的最大值为212 分 解法 2：设直线l的方程为xtym，由l于圆C相切得 2 1 1 m t ， 即 22 1mt，设 1122 ( ,),(,)A x yB xy， 由 2 2 1 2 xtym x y ，消去x得 222 (2)220tytmym，5 分 因为 222 (2)4(2)(2)80tmtm ，6 分 则 2 1212 22 22 , 22 tmm yyy y tt 7 分 所以ABF的面积为 12 1 2 S
26、PFyy 8 分 2 1212 1 (1) ()4 2 myyy y 9 分 2 2 222 124(2)2(1) (1) 2221 tmmm m ttm 10 分 以下同解法 1 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 22 ( ),R x f xeaxa （1）若( )f x在(0,)上单调递增，求a的取值范围； （2）若( )f x在(0,)上存在极大值M，证明： 4 a M 21 （1）解法 1：因为 22 ( ) x f xeax，所以 2 ( )22 x fxeax1 分 因为( )f x在(0,)上单调递增，所以( )0fx在(0,)上都成立， 即 2x e a x 在(0,)
27、上都成立2 分 设 2 ( ) x e g x x ，则 222 22 2(21) ( ) xxx xeexe g x xx 当 1 0 2 x时，( )0,( )g xg x在 1 0, 2 上单调递减； 当 1 2 x 时，( )0,( )g xg x在 1 , 2 上单调递增 故当 1 2 x 时，( )g x取得最小值，其值为 1 2 2 ge 3 分 所以2ae所以a的取值范围为(,2 e4 分 解法 2：当0a时，函数 22 ( ) x f xeax在(0,)上单调递增；1 分 当0a 时， 2 ( )22 x fxeax，令 2 ( )22 x h xeax，则 2 ( )42
28、x h xea， 若2a，则0x 时，( )420h xa，则( )h x在(0,)上单调递增 此时，( )(0)20h xh，即( )0fx，则( )f x在(0,)上单调递增；2 分 若2a ，令( )420h xa，得 1 ln 22 a x ， 当 1 0ln 22 a x时，( )0, ( )h xh x在 1 0,ln 22 a 上单调递减； 当 1 ln 22 a x 时，( )0h x，( )h x在 1 ln, 22 a 上单调递增； 则 1 ln 22 a x 时， ln 2 min ( )2lnln 22 a aa h xeaaa 当ln0 2 a aa，即2ae时，(
29、)0h x ，即( )0fx， 则( )f x在(0,)上单调递增故22ae3 分 综上所述，所求a的取值范围为(,2 e4 分 （2）证明：由（1）知，当2ae时，( )f x在(0,)上单调递增，则不存在极大值；5 分 当2ae时， 111 ln, lnln 22222 aa a， 由（1）知函数( )fx在 1 0,ln 22 a 上单调递减，在 1 ln, 22 a 上单调递增 又 1 (0)20,20 2 ffea ， 6 分 2ln (ln )22 ln2 (ln )0 a faeaaa aa（易证ln0aa） 故存在 1 1 0, 2 x ，使得 1 2 11 ()220 x f
30、xeax，7 分 存在 2 1 ,ln 2 xa ，使得 2 ()0fx8 分 则 1 (0,)xx时，( )0fx； 12 ( ,)xx x时，( )0fx， 2 (,)xx时，( )0fx 故( )f x在 1 (0,)x上单调递减，在 12 ( ,)x x上单调递减，在 2 (,)x 上单调递增 所以当 1 xx时，( )f x取得极大值，即 1 22 1 x Meax9 分 由 1 1 0 2 x，得 111 10,1xxx ，由 1 2 1 220 x eax，得 1 2 1 x eax， 故 1 222 111 x Meaxaxax 10 分 2 11 11 1 (1) 24 xx
31、a axxa 11 分 所以 4 a M 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 2 cos sin xt yt （t为参数） 以坐标原点为极点，x轴的正半轴 为极轴建立极坐标系，直线 2 C的极坐标方程为 1 (sincos )() 2 Raa （1）写出曲线 1 C的普通方程和直线 2 C的直角坐标方程； （2）若直线 2 C与曲线 1 C有两个不同交点，求a的取值范围 22解析： （1）曲线 1 C的普通方程
32、为 2 1( 11)yxx ，3 分 把cos ,sinxy代入 1 (sincos ) 2 a，得直线 2 C的直角坐标方程为 1 2 yax， 即 1 0 2 axy5 分 （2）解法 1：由直线 2 1 :0 2 Caxy，知直线 2 C恒过点 1 0, 2 M 6 分 由 2 1( 11)yxx ，当0y 时，得1x ，所以曲线 1 C过点( 1,0),(1,0)PQ7 分 则直线MP的斜率为 1 1 0 1 2 1 02 k ，8 分 直线MQ的斜率为 2 1 0 1 2 1 02 k 9 分 因为直线 2 C的斜率为a，且直线 2 C与曲线 1 C有两个不同交点，所以 21 kak
33、，即 11 22 a 所以a的取值范围是 1 1 , 2 2 10 分 M POQ 解法 2：由 2 1( 11) 1 0 2 yxx axy ，消去y得 2 1 0 2 xax， 依题意，得 2 1 0 2 xax在 1,1上有两个不相等实根6 分 设 2 1 ( ) 2 f xxax，则 2 20 11 2 1 ( 1)0 2 1 (1)0 2 a a fa fa ，9 分 解得 11 22 a所以a的取值范围是 1 1 , 2 2 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )21f xxax （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2
34、）若0a ，不等式( )1f x 对Rx都成立，求a的取值范围 23解析： （1）解法 1：当1a 时，( )0f x ，即1210xx，1 分 得121xx，2 分 两边平方，得： 22 (1)(21)xx，3 分 得3 (2)0x x，解得02x 4 分 所以不等式( )0f x 的解集为 |02xx5 分 解法 2：当1a 时，( )0f x ，即1210xx，1 分 当1x时，得(1)(12 )0xx，解得2x ，故x无解；2 分 当 1 1 2 x 时，得(1)(1 2 )0xx，即得0x ，故 1 0 2 x；3 分 当 1 2 x时，得(1)(21)0xx，解得2x ，故 1 2 2 x ；4 分 综上所述，不等式( )0f x 的解集为 |02xx5 分 （2）解法 1：由于0a ，则 1, 1 ( )31, 2 1 1, 2 xaxa f xxaax xax 7 分 由于函数( )f x在 1 , 2 上单调递增，在 1 , 2 上单调递减， 所以当 1 2 x 时，( )f x取得最大值，其值为 11 22 fa 8 分 若( )1f x 对Rx都成立，则 1 1 2 a，即 1 2 a 9 分 所以a的取值范围为 1 0, 2 10 分 解法 2： 11 ( )21 22 f xxaxxaxx6 分 11 22 xaxx
