1、南昌市重点中学 2019 届高三年级段考试题 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 2 |2, |1ZAxxBy yx ，则AB的子集个数为（ ） A4 B8 C16 D32 1答案：C 解析： 2, 1,0,1,2, |1, 2, 1,0,1,ABy yABAB 的子集个数为 4 216 2已知复数1 i是关于x的方程 2 20xmx的一个根，则实数m的值为（ ） A2 B2 C4 D4 2答案：A 解析：依题意得
2、 2 (1 i)(1 i)20m，即(2)(2)i0mm，因此20,2mm 方法二：实系数方程的虚数根是成对出现的，且互为共轭复数，所以 12 1 i,1 ixx ， 由韦达定理， 12 2,2xxmm 3已知tan1 6 ，则tan 6 （ ） A23 B23 C23 D23 3答案：D 解析： tantan 1363 tantan23 66313 1tantan 63 解法二：tan1 6 ，不妨取 64 ，则 12 ， tantantan(23)23 61212 4已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Eab ab 的两条渐近线分别为 12 ,l l，若E的一个焦点F关于 1 l
3、的对称 点 F 在 2 l上，则双曲线E的离心率为（ ） A5 B2 C 2 3 3 D 5 2 4答案：B 解析： 如图， 21 60F ODF ODFOF ， 所以tan603 b a ， 不妨设1a ， 则3,2bc， 离心率2 c e a D F F2F1 O 5一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每 个数字都由若干个全等的深色区域“”组成已知在一个显示数字 8 的显示池中随机取一点 A，点 A 落在深色区域内的概率为 1 2 若在一个显示数字 0 的显示池中随机取一点 B，则点 B 落在深色区域内的概 率为（ ） A 3 8 B 3
4、4 C 3 7 D 6 7 5答案：C 解析：依题意，设题中全等的深色区域的面积为s，相应的固定的矩形的面积为S，则有 71 2 s S ， 即14Ss，因此点B落在深色区域内的概率为 63 147 s s 6一个几何体挖去部分后的三视图如图所示，若其正视图和侧视图都是由三个边长为 2 的正三角形组成 的，则该几何体的表面积为（ ） A13 B12 C11 D2 3 6答案：B 解析：题中的几何体是从一个圆台中挖去一个圆锥得到的，其表面积等于原来大圆锥的表面积， 大圆锥的底面半径2r ，母线长4l ，所以 2 12Srrl 7记不等式组 1 50 210 x xy xy 的解集为D，若, x
5、yD，不等式2axy恒成立，则a的取值范围 是（ ） A(,3 B3,) C(,6 D(,8 7答案：C 解析：作出不等式组表示的平面区域如图所示，设2zxy，则2yxz ，作出直线2yx 并平 移， 当直线过点(1,4)A时， 直线在y轴上的截距取得最小值， 即2zxy的最小值为 6， 因为, x yD， 不等式2axy恒成立，所以6a O x y A 8执行完如图的程序框图后，S与i应满足的关系为（ ） A32Si B7(2)Si C81Si D9(2)Si 8答案：B 解析：1,13,37,515,731,9SiSiSiSiSi 否否否否 63,11Si是输出63,11Si，满足7(2)
6、Si 9已知函数( )sin()0, 2 f xx 在 2 , 63 上单调递减，且( )f x满足 11 0 1212 ff ，则( )f（ ） A 3 2 B 1 2 C 1 2 D 3 2 9答案：C 解析：依题意得 0 12 11 2 12 ，由此解得 2 6 ，( )sin 2 6 f xx ， 1 ( )sin 2sin 662 f 10设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点(0, ) (0)Ettb 已知动点P在 椭圆上，且点 2 ,P E F不共线，若 2 PEF的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为（ ） A 3 2 B
7、2 2 C 1 2 D 3 3 10答案：A 解析：如图，连接 11 ,BF PF，则 12 EFEF，所以 2 PEF的周长 221212 2lPEEFPFPEEFPFPFPFa，当且仅当 1 ,P E F三点共线时等号成 立，所以24ab，即2ab，不妨设1b ，则2,3ac，离心率 3 2 c e a Ox y P E F1F2 11在三棱锥PABC中，PA 平面ABC， 2 3 BAC ，3,2 3,APABQ是边BC上的一动 点，且直线PQ与平面ABC所成角的最大值为 3 ，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ） A45 B57 C63 D84 11答案：B 解析：因为PA 平面A
8、BC，所以AQP即为直线PQ与平面ABC所成的角，tan AP AQP AQ ， 所以当AQ最小， 即AQBC时，AQP取得最大值， 此时tan603 AP AQ ， 又3AP ，3AQ 2ABAQ， 6 ABC ， 6 ACB ， 设ABC的外接圆半径为r，则 2 3 4 32 ,2 3 1 sin 2 AB rr ACB ， 因为PA 平面ABC，所以是圆柱模型，2 3,3rh，外接球半径 2 2 57 22 h Rr ， 外接球的表面积为 2 457SR 12已知( )f x是定义在R上的奇函数，记( )f x的导函数为( )fx，当0x时，满足( )( )0fxf x. P A B C
9、 Q 若存在 2,)x ，使不等式 3 (33)() xx f exxf aex成立，则实数a的最小值为（ ） A 2 1 e B 2 2 e C 2 12e D 1 1 e 12答案：D 解析：因为( )f x是定义在R上的奇函数，且当0x时，满足( )( )0fxf x， 所以不妨设( ) xx f xee，因为( ) xx f xee是定义在R上的单调递增函数， 【另解，设 ( ) ( ),0 x f x g xx e ，则 ( )( ) ( )0 x fxf x g x e ，即( )g x在0,)上单调递增， 所以( )(0)0g xg，所以( )( ) x f xg x e在0,)
10、上单调递增，又因为( )f x是奇函数，所以( )f x是 R上的单调递增函数】 所以由 3 (33)() xx f exxf aex，得 3 (33) xx exxaex， 所以不等式 3 (33)0 xx exxaex在区间 2,)上有解，所以 3 33 x x axx e 在区间 2,)上有解，设 3 ( )33, 2,) x x g xxxx e ，则 2 11 ( )33(1) 33 xx x g xxxx ee ， 当 2,1)x 时，( )0,( )g xg x单调递减； 当(1,)x 时，( )0,( )g xg x单调递增，所以 1 ( )(1)1g xg e ，所以 1 1
11、a e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13已知定义在R上的偶函数( )f x，满足(2)( )f xf x，当0,1x时，( )1 x f xe，则 ( 2017)(2018)ff 13答案：1e 解析：函数( )f x是定义在R上的偶函数，且周期为 2，( 2017)(1)1ffe， 0 (2018)(0)10ffe ，( 2017)(2018)1ffe 14 6 (2)xy的展开式中 4 y的系数为 14答案：60 解析：公式：三项式()nabc展开式的通项公式为 xyxyn x y nn x C Ca b c 所以 6 (2)xy的展开
12、式中含 4 y的项为 040424 66 ()260C C xyy 15已知ABC中，4,5ABAC，点O为ABC所在平面内一点，满足OAOBOC ，则 OA BC 15答案： 9 2 解析： 通解： 因为OAOBOC ， 所以点O是ABC的外心， 取BC中点D， 连接OD， 则ODBC， 且OAODAD ， OA BCODDABCOD BCDA BCDA BC 221119 (25 16) 2222 ABACACABACAB ， 9 2 OA BC O D A B C 特解：因为OAOBOC ，所以点O是ABC的外心，不妨设ABAC，以A为原点建立如图所 示平面直角坐标系，则 5 (0,0)
13、,(0,4),(5,0),2 2 ABCO ， 5 , 2 ,(5, 4) 2 OABC ，所以 2599 8, 222 OA BCOA BC 16在圆内接四边形ABCD中，8,2,60ACABADBAD，则BCD的面积的最大值为 16答案：6 3 解析： 设ADt， 因为2,60ABADBAD， 由余弦定理得 2222 42 2cos603BDttttt ， 所以3BDt，所以 222 ABBDAD，所以90ADB，即AB为四边形ABCD外接圆的直径， 如图，设(060 )BAC ，因为 8 cos AB ，所以 4 3 cos BD ，又60CBD， 所以BCD的面积 14 3 8tans
14、in(60) (060 ) 2cos S ，所以 2 2 22 16 3sinsin(60)24sincos8 3sin 24tan8 3tan(060 ) coscos S ， 所以 3 tan 2 时，S取得最大值6 3 O C B A A B C D 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 n a是等差数列， n b是等比数列， 112233 1,2,7,13ababab （1）求 n a和 n b的通
15、项公式； （2）若 , , n n n an c bn 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和 2n S 17解析： （1）设数列 n a的公差为d，数列 n b的公比为(0)q q ， 依题意有 22 2 33 127 12213 abdq abdq ，解得 2 2 d q ，故21,2n nn anb6 分 （2） 21, 2 , n n nn c n 为奇数 为偶数 ， 所以 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线AC将ACD折起，使得点D在平面ABC内的射影恰好落在边 AB上 （1）求证：平面ACD 平面BCD； （2）当2 AB AD 时
16、，求二面角DACB的余弦值 AB C D D A B C 18 解析：（1） 如图， 设点D在平面ABC内的射影为点E， 连接DE， 则DE 平面ABC， 所以DEBC 又,BCABDEABE，所以BC 平面ABD，所以BCAD5 分 又,ADCD CDBCCAD平面BCD，而AD 平面ACD， 所以平面ACD 平面BCD6 分 AB C D D A E C B M M E （2）解法一：过点D作AC的垂线，垂足为M，连接ME因为DE 平面ABC，所以DEAC， 又DMDED，所以AC 平面DME，所以EMAC，所以DME为二面角DACB的平 面角8 分 设ADa，则2ABa在ADC中，易求出
17、 52 5 , 55 AMa DMa 在AEM中， 15 tan 210 EMa BACEM AM ，所以 1 cos 4 EM DME DM 12 分 解法二：以B为原点，线段BC所在的直线为x轴，线段AB所在的直线为y轴，建立如图所示空间直角 坐标系，设1AD ，则2AB ，因为ADBD，又2 AB AD ，所以30 ,60DBADAB ， 所以 11333 , 22222 AEADBEABAEDEAD，所以 33 0, 22 D ， 所以 13 0,( 1,2,0) 22 ADAC 设平面ACD的法向量为( , , )mx y z ， 则 13 03 22 2 20 m ADyzyz x
18、y m ACxy ， 取1z ，则3,2 3yx，(2 3, 3, 1)m 9 分 因为平面ABC的一个法向量为(0,0,1)n ， 所以 1 cos, 4 m n m n mn ，所以二面角DACB的余弦值为 1 4 12 分 D A E C B x y z 19 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2(0)C xpy p和定点(0,1)M，设过点M的动直线交抛物线C于,A B两点，抛物线C 在,A B处的切线的交点为N （1）若N在以AB为直径的圆上，求p的值； （2）若ABN的面积的最小值为 4，求抛物线C的方程 19解析：显然直线AB的斜率存在，设直线:1AB ykx，将直线A
19、B的方程代入抛物线C的方程得： 2 220xpkxp，则 1212 2,2xxpkx xp 3 分 （1）由 2 2 x y p ，得 x y p ，设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，则,A B处的切线斜率的乘积为 12 2 2x x pp ， 因为点N在以AB为直径的圆上， 2 ,1,2ANBNp p 6 分 （2）易得直线 1 11 :() x AN yyxx p ，直线 2 22 :() x BN yyxx p ， 联立得： 1 11 2 22 () () x yyxx p x yyxx p ，两式相减，得： 22 1212 21 xxxx yyx pp ， 又因为 22
20、 21 21 2 xx yy p ，代入上式得 12 2 xx xpk ，所以 2 112112 1 1 222 xxxxx x yx ppp ， 故(, 1)N pk 22222 1212 1()4148ABkxxx xkp kp ， 点N到直线:10AB kxy 的距离 2 2 2 1 pk d k ， 则ABN的面积 23 1 (2)2 2 2 ABN SAB dp pkp ，当0k 时，取等号 ABN的面积的最小值为 4，2 24,2pp，故抛物线C的方程为 2 4xy 12 分 20 （本小题满分 12 分） 某超市计划月订购一种冰激凌，每天进货量相同，进货成本为每桶 5 元，售价每
21、桶 7 元，未售出的冰激凌 以 3 元的价格当天全部处理完毕，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如 果最高气温不低于 25，需求量为 600 桶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 400 桶；如果最高气温 低于 20，需求量为 200 桶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下 面的频数分布表： 最高气温/ 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 （1）求六月份这种冰激凌一天的需求量 X（单位：桶）
22、的分布列； （2）设六月份一天销售这种冰激凌的利润为 Y（单位：元） ，当六月份这种冰激凌一天的进货量 n（单位： 桶）为多少时，Y 的数学期望取得最大值？ 20解析： （1）由已知得，X 的可能取值为 200，400，600，记六月份最高气温低于 20 为事件 A1，最高气 温位于区间20,25)为事件 A2，最高气温不低于 25 为事件 A3，根据题意，结合频数分布表，用频率估计概 率， 可知 123 181362362 (200)(),(400)(),(600)() 905905905 P XP AP XP AP XP A, 故六月份这种冰激凌一天的需求量 X 的分布列为： X 200
23、400 600 P 1 5 2 5 2 5 6 分 （2）结合题意得当200n时，( )2400E Yn， 当200400n时， 146 ( )200 2(200) ( 2)2160(400,640 555 E Ynnn ， 当400600n时， 1222 ( )200 2(200) ( 2)400 2(400) ( 2)2800560,640) 5555 E Ynnnn 当600n 时， 122 ( )200 2(200) ( 2)400 2(400) ( 2)600 2(600) ( 2) 555 E Ynnn 17602560n， 所以当400n 时，Y的数学期望( )E Y取得最大值
24、64012 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 33 ( )1ln2 () 42 f xaxaxxa R （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若0a ，求证： 1 ( )f x a 21解析： （1） 2 33 ( )1ln2 42 f xaxaxx ，定义域为(0,) 2 3313(32)2(32)(1) ( )1 2222 axaxaxx fxaxa xxx 2 分 若0a，则( )0fx恒成立，( )f x在(0,)上单调递减； 若0a ，由( )0fx，得 2 3 x a ；由( )0fx，得 2 0 3 x a ， 故( )f x在 2 , 3a 上单调递增，在
25、 2 0, 3a 上单调递减 综上，当0a时，( )f x的单调递减区间是(0,)，无单调递增区间； 当0a 时，( )f x的单调递增区间是 2 , 3a ，单调递减区间是 2 0, 3a 5 分 （2）若0a ，由（1）知，( )f x在 2 0, 3a 上单调递减，在 2 , 3a 上单调递增所以当 2 3 x a 时， ( )f x取得极小值，也是最小值，为 231 ln1 323 a f aa 7 分 要证明 1 ( )f x a ，即证明 311 ln1 23 a aa ，即证明 32 ln 23 a a 1 1，8 分 设 32 ( )ln(0) 23 a g aa a 1 1，
26、则 22 1232 ( ) 33 a g a aaa ， 所以当 2 0, 3 a 时，( )0g a，当 2 , 3 a 时，( )0g a， 所以( )g a在 2 0, 3 上单调递减，在 2 , 3 上单调递增，所以 min 2 ( )0 3 g ag ，10 分 所以( )0g a ，即 32 ln 23 a a 1 1，故 1 ( )f x a 成立12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 已知直线l的极坐标方程为sin2 2 4 ， 现以极点O为原点
27、， 极轴为x轴的非负半轴建立平面直 角坐标系，曲线 1 C的参数方程为 12cos 22sin x y （为参数） （1）求直线l的直角坐标方程和曲线 1 C的普通方程； （2）若曲线 2 C为曲线 1 C关于直线l的对称曲线，点,A B分别为曲线 1 C、曲线 2 C上的动点，点P的坐标 为(2,2)，求APBP的最小值 22 （1） 22 sin2 2,cossin2 2 422 ， 即cossin4，直线l的普通方程为40xy 由 12cos 22sin x y ，得 12cos 22sin x y ， 两式平方后再相加，得曲线 1 C的普通方程为 22 (1)(2)4xy5 分 （2）
28、点P在直线40xy上，根据对称性，AP的最小值与BP的最小值相等， 又曲线 1 C是以 1( 1, 2) C 为圆心，半径2r 的圆， 22 1 min (2 1)(22)23APPCr， 则APBP的最小值为2 36 10 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( )331,( )412f xxaxg xxx （1）求不等式( )6g x 的解集； （2）若存在 12 ,x x R，使得 1 ()f x和 2 ()g x互为相反数，求a的取值范围 23解析：由题意可得 33,2 1 ( )51,2 4 1 33, 4 xx g xxx xx ， 当2x时，3
29、36x，得1x ，无解； 当 1 2 4 x 时，516x ，得 7 5 x ，即 71 54 x； 当 1 4 x时，336x，得3x ，即 1 3 4 x 综上，( )6g x 的解集为 7 3 5 xx 5 分 （2）因为存在 12 ,x x R，使得 12 ()()f xg x 成立， 所以 |( ), |( ),y yf x xy yg x x RR 又( )331(33 )(31)31f xxaxxaxa， 由（1）可知， 9 ( ), 4 g x ，则 9 ( ), 4 g x ， 所以 9 31 4 a ，解得 135 1212 a，故a的取值范围为 13 5 , 12 12 10 分
