1、长沙市 2019 届高三年级统一模拟考试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1设集合 |41, |21,Mx xnnNx xnnZZ，则（ ） AMN BNM CMN DNM 1答案：A 解析： |41, |2 21, |21,Mx xnnx xnnNx xnnZZZ，故MN 2在复平面内表示复数 i i m m 的点位于第一象限，则实数m的取值范围是（ ） A(, 1) B(,0) C(0,) D(1,) 2答案：D 解
2、析： 22 22 i(i)12 i i(i)(i)11 mmmm mmmmm 位于第一象限，则 2 10 1 20 m m m 3在等比数列 n a中， “ 13 ,a a是方程 2 310xx 的两根”是“ 2 1a ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3答案：A 解析： 13 ,a a是方程 2 310xx 的两根，则 13 13 3 1 aa a a ， 2 2213 11aaa a ，所以“ 13 ,a a是 方程 2 310xx 的两根”是“ 2 1a ”的充分不必要条件 4下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ） A
3、( )sinf xxx B( )ln(1)ln(1)f xxx C( ) 2 xx ee f x D 1 ( ) 1 x x e f x e 4答案：D 解析：选项 A，( )sinf xxx，定义域为R，()sin()sin( )fxxxxxf x ，所以( )f x 是奇函数，图象关于原点对称，( )cos10fxx ，所以( )f x在定义域内单调递减； 选项 B，( )ln(1)ln(1)f xxx，定义域为 |1x x ，定义域不关于原点对称； 选项 C，( ) 2 xx ee f x ，定义域为R，()( ) 2 xx ee fxf x ，图象关于y轴对称； 选项 D， 1 ( )
4、 1 x x e f x e ，定义域为R， 11 ()( ) 11 xx xx ee fxf x ee ，图象关于原点对称， 且 1(1)22 ( )1 111 xx xxx ee f x eee ，所以( )f x在定义域内单调递增 5已知一种元件的使用寿命超过 1 年的概率为 0.8，超过 2 年的概率为 0.6，若一个这种元件使用到 1 年 时还未失效，则这个元件使用寿命超过 2 年的概率为（ ） A0.75 B0.6 C0.52 D0.48 5答案：A 解析：设一个这种元件使用 1 年的事件为 A，使用 2 年的事件为 B，则 ()0.6 (|)0.75 ( )0.8 P AB P
5、B A P A 6已知 12 ,F F是双曲线 22 :1C yx的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以 12 FF为直径的圆 经过点P，则 12 PFF的面积为（ ） A 2 2 B1 C2 D2 6答案：C 解析：不妨设点P在渐近线yx上，又 00 (,)P x x在圆 22 2xy上，所以 0 1x ， 1 2 1 2 2 12 2 PF F S 7在ABC中，10,6,8ABBCCA，且O是ABC的外心，则CA AO （ ） A16 B32 C16 D32 7答案：D 解析：以C为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，则(0,0),(8,0),(0,6),(4,3)CABO， 则(
6、8,0),( 4,3),(8,0) ( 4,3)32CAAOCA AO O B A C 8我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理： “缘幂势即同，则积不容异也” “幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立 方体体积相等已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同” ，则该不规则几何体的 体积为（ ） A 4 8 3 B8 C 2 8 3 D4 2 11 2 2 正视图正视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 8答案：B 解析：该三视图表示的几何体是棱长为 2 的正方体挖去一个底面半径为 1，高为 2 的半圆柱，故该不规则
7、 几何体的体积为8 9已知(1,2)P是函数( )sin() (0,0)f xAxA图象的一个最高点，,B C是与P相邻的两个 最低点设BPC，若 3 tan 24 ，则( )f x的图象对称中心可以是（ ） A(0,0) B(1,0) C 3 ,0 2 D 5 ,0 2 9答案：D 解析： 取BC的中点D， 连结PD， 则4PD ， 2 BPD ， 在RtPBD中， 由 3 tan 24 ， 得3BD 所以( 2, 2),(4, 2)BC ，,BP CP的中点都是( )f x图象的对称中心，故选 D 2 1 1 2 224 DCB P O 10已知( )11 x f xe ，若函数 2 (
8、) ( )(2) ( )2g xf xaf xa有三个零点，则实数a的取值范围 是（ ） A( 2, 1) B( 1,0) C(0,1) D(1,2) 10答案：A 解析：由 2 ( ) ( )(2) ( )2 ( )2 ( )0g xf xaf xaf xf xa，得( )2f x 或( )f xa ，由 图象知，方程( )2f x 有一个实根，所以方程( )f xa 有两个不等实根，则12a ， 所以( 2, 1)a 3 2 1 2 O 11已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为F，点,(0) 4 p Aaa 在C上，3AF ，若直线AF与 C交于另一点B，则AB的值是（ ） A
9、12 B10 C9 D45 11答案：C 解析： 3 3 424 ppp AF ，解得4p ， 112111 , 32AFBFpBF ，可得6BF ， 所以9ABAFBF 12设正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，E为 1 DD的中点，M为直线 1 BD上一点，N为平面AEC 内一点，则,M N两点间距离的最小值为（ ） A 6 3 B 6 6 C 3 4 D 3 6 12答案：B 解析：连接AC，交BD于点O，则 1 /OEBD，从而 1/ BD平面AEC，所以,M N两点间距离的最小 值等于直线 1 BD到平面AEC的距离，而B到平面AEC的距离等于D到平面AEC的距离， 1
10、1 ,ACBD ACDD BDDDD，所以AC 平面 1 BDD，过D作DHOE于点H， 又,DHAC OEACO，所以DH 平面AEC， 123 , 222 DEDOOE 6 6 DE DO DH EO AB C D D1 H E O A1 B1 C1 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13设等差数列 n a的前n项和为 n S，且 13 52S，则 489 aaa 13答案：12 解析： 113 13774897777 13() 1352,4,(3 )()(2 )312 2 aa Saaaaaadadada 不妨设等差数列 n a为常数列，
11、n aa，则 13489 1352,4,312Saaaaaa 14为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设, ,A B C D E F六门选修课程，学校规定每个学生 必须从这 6 门课程中选 3 门，且,A B两门课程至少要选 1 门，则学生甲共有 种不同的选法 14答案：16 解析： 分三类 选 A 不选 B， 共有 2 4 6C 种选法， 选 B 不选 A， 共有 2 4 6C 种选法， 选 A 且选 B， 共有 1 4 4C 种选法，故学生甲共有66416种选法 解法 2：从 6 门课程中选 3 门，共有 3 6 20C 种选法，其中,A B两门课程都不选共有 3 4 4C 种选法，
12、故学 生甲共有20416种选法 15在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点 13 , 22 ， 则cos 2 3 15答案：1 解析： 由已知得 13 cos,sin 22 ， 所以 22 13 cos2cossin,sin22sincos 22 ， 所以 1133 cos 2cos2 cossin2 sin1 3332222 解法 2：不妨取 3 ，则2 3 ，所以cos 2cos1 3 16已知二次函数 2 ( )f xaxbxc，且49ca，若不等式( )0f x 恒成立，则 (1) (0)( 1) f ff 的取 值范围是 16答案： 1 ,(3
13、,) 16 解析：由 2 0axbxc恒成立可知 2 0 4 a bac ，设, bc xy aa ，则 2 4 9 4 xy y ， 则 (1)12 1 (0)( 1)()11 fabcabcxyy ffcabcabxx ，令 2 1 y z x ，则z表示区域内的点 ( , )x y与(1, 2)P连线的斜率，因为 9 3, 4 A ，所以 9 2 17 4 416 PA k 设直线:(1)2PB yk x，联立 2 4 (1)2 xy yk x ，得 2 4480xkxk， 2 16163201,2kkkk ， 由图可知， 17 ,(2,) 16 z ，故 (1)1 ,(3,) (0)(
14、 1)16 f ff 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且sin()sin 2 BC aABc ； （1）求A； （2）若ABC的面积为3，周长为 8，求a 17解析： （1）由题设得sincos 2 A aCc2 分 由正弦定理得sincos 2 A A，4 分 所以 1 sin 22 A 5 分 故60A 6 分 （2） 1 sin3 2 ABC
15、SbcA ，从而4bc 8 分 由余弦定理得 2222222 2cos()3()12abcbcAbcbcbcbcbc10 分 又8abc，故 22 (8)12aa，解得 13 4 a 12 分 18 （本小题满分 12 分） 已知三棱锥PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD为边长等于2的正方形， ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中： （1）证明：平面PAC 平面ABC； （2）若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角PBCM的余弦 值 18解析： （1）设AC的中点为O，连接,BO PO由题意，得2,1PAPBPCPO， 1AOBOC
16、O，因为在PAC中，,PAPC O为AC的中点，所以POAC， 因为在POB中，1,1,2POOBPB， 222 POOBPB，所以POOB，3 分 因为ACOBO，所以PO 平面ABC 因为PO 平面PAC，所以平面PAC 平面ABC5 分 （2）由（1）知，,BOPO BOAC POACOBO平面PAC，所以BMO就是直线BM 与平面PAC所成的角且 1 tan BO BMO OMOM ，6 分 所以当OM最短时，即M是PA的中点时，BMO最大7 分 由PO 平面,ABC OBAC，所以,POOB POOC，于是以O为坐标原点，,OC OB OP所在 直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示
17、空间直角坐标系， 则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0), ( 1,0,0)OCBA ， 11 (0,0,1),0, 22 PM ， 31 (1, 1,0),(1,0, 1),0, 22 BCPCMC 8 分 设平面MBC的法向量为 111 ( ,)mx y z ，则 0 0 n BC n MC ，得 11 11 0 30 xy xz ，令 1 1x ，得 11 1,3yz， 即(1,1,3)m 9 分 设平面PBC的法向量为 222 (,)nxyz ，由 0 0 n BC n PC ，得 22 22 0 0 xy xz ， 令1x ，得1,1yz，即(1,1,1)n 10 分 1
18、1 355 33 cos, 3311333 m n n m mn 11 分 由图可知，二面角PBCM的余弦值为 5 33 33 12 分 A B C M P z y x O 19 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 3 ，左、右焦点分别为 12 FF、，A为椭圆C上一点， 1 AF 与y轴交于B， 2 4 , 3 ABF BOB （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的左、右顶点为 12 AA、，过 12 AA、分别作x轴的垂线 12 ll、，椭圆C的一条切线 :(0)l ykxm k与 12 ll、交于MN、两点，求证： 12 MF
19、NMF N 19解析： （1）连接 2 AF，由题意得 21 ABF BFB，所以BO为 12 F AF的中位线， 又因为 12 BOFF，所以 212 AFFF，且 2 2 8 2 3 b AFBO a ，3 分 又 1 3 c e a ， 222 abc，得 22 9,8ab，故所求椭圆方程为 22 1 98 xy 5 分 O A B x y F1 F2 （2）由题可知， 1 l的方程为3x ， 2 l的方程为3x 直线l与直线 12 ll、联立得( 3, 3)(3,3)MkmNkm、， 所以 11 ( 2, 3),(4,3)FMkmFNkm ，所以 22 12 89FM F Mmk 7
20、分 联立 22 1 98 xy ykxm ，得 222 (98)189720kxkmxm 因为直线l与椭圆C相切，所以 222 (18)4(98)(972)0kmkm ， 化简得 22 98mk9 分 所以 22 11 890FM FNmk ，所以 11 FMFN ，故 1 MFN为定值 2 10 分 同理 22 ( 4, 3),(2,3)F MkmF Nkm ，所以 222 , 2 F MF NMF N 故 12 MFNMF N 12 分 5 4 3 2 1 1 2 3 4224 M N A2 A1F1 O F2 20 （本小题满分 12 分） 某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划
21、，收集了近 6 个月广告投入量 x（单位：万元）和收 益 y（单位：万元）的数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 广告投入量 2 4 6 8 10 12 收益 14.21 20.31 31.8 31.18 37.83 44.67 他们分别用两种模型ybxa， bx yae分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得 到如图所示的残得到如图所示的残差图及一些统计量的值差图及一些统计量的值： x y 6 1 ii i x y 6 2 1 i i x 7 30 1464.24 364 （1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由； （2）残差绝对值大于 2 的数据被
22、认为是异常数据，需要剔除： （i）剔除异常数据后求出（1）中所选模型的回归方程； （ii）若投入广告量18x 时，该模型收益的预报值是多少？ 附：对于一组数据 1122 ( ,),(,), (,) nn x yxyxy，其回归直线 ybxa的斜率和截距的最小二乘估计分 别为： 11 222 11 ()() , () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynx y baybx xxxnx 20 （1）应该选择模型，因为模型残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明模型拟合精度越高， 回归方程的预报精度越高2 分 （2） （i）剔除异常数据，即月份为 3 的数据后，得 5 1 7
23、6630 631.8 7.2,29.64,1464.246 31.81273.44 55 ii i xyx y ， 5 22 1 3646328 i i x 6 分 5 1 5 22 1 1273.445 7.2 29.64206.4 3 3285 7.2 7.268.8 ii i i i x ynx y b xnx ； 29.643 7.28.04aybx ， 所以y关于x的线性回归方程为：38.04yx 9 分 （ii）把18x 代入回归方程得：3 188.0462.04y ， 故预报值约为62.04万元 12 分 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )(1ln ) x f xea
24、x，其中0a ，设( )fx为( )f x的导函数 （1）设( )( ) x g xefx ，若( )2g x 恒成立，求a的范围； （2）设函数( )f x的零点为 0 x，函数( )fx的极小值点为 1 x，当2a 时，求证： 01 xx 21 （1）由题可知，( )1ln(0) x a fxeaxx x ， 2 (1) ( )( )1ln ,( )(0) x aa x g xefxax g xx xx 2 分 当(0,1)x时，( )0,( )g xg x在区间(0,1)上单调递减， 当(1,)x时，( )0,( )g xg x在区间(1,)上单调递增， 故( )g x在1x 处取得最小
25、值，且(1)1ga ， 由于( )2g x 恒成立，所以12a，所以1a4 分 （2）设( )( )1ln x a h xfxeax x ，则 2 2 ( )1ln x aa h xeax xx 设 2 2 ( )1ln aa H xax xx ，则 2 233 22(22) ( )0 aaaa xx H x xxxx ， 故( )H x在(0,)上单调递增 6 分 因为2a ，所以 1 (1)10,1ln20 2 HaHa ，故存在 2 1 ,1 2 x ，使得 2 ()0H x， 则( )h x在区间 2 (0,)x上单调递减，在区间 2 (,)x 上单调递增， 故 2 x是( )h x的
26、极小值点，因此 21 xx 8 分 由（1）可知，当1a 时， 1 ln1x x 9 分 因此 11 11 1 ( )( )1ln(1)0 xx a h xh xeaxea x ，即( )f x单调递增 由于 1 ( )0H x，即 1 2 11 2 1ln0 aa ax xx ，即 1 2 11 2 1ln aa ax xx ， 所以 111 1 110 22 111 1 22 ()(1ln)0() xxx xaa f xeaxeaef x xxx 11 分 又由（1）可知，( )f x在(0,)单调递增，因此 10 xx 12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选
27、一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线M的参数方程 为 1 cos 1 sin x y （为参数） ，过原点O且倾斜角为的直线l交M于AB、两点 （1）求l和M的极坐标方程； （2）当0, 4 时，求OAOB的取值范围 22解析： （1）由题意可得，直线 1 l的极坐标方程为() R2 分 曲线M的普通方程为 22 (1)(1)1xy， 3 分 因为 222 cos ,sin ,xyxy，4 分 所以极坐标方程为 2 2(cossin )10 5 分
28、 （2）设 12 (,),(, )AB ，且 12 ,均为正数，将代入 2 2(cossin )10 ，6 分 得 2 2(cossin)10 ，当0, 4 时， 2 2 8sin40 4 ， 所以 12 2(cossin)， 8 分 根据极坐标的几何意义，,OAOB分别是,A B的极径 从而： 12 2(cossin)2 2sin 4 OAOB 当0, 4 时，, 44 2 ，故OAOB的取值范围是(2,2 210 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知函数( ),f xx xa aR （1）当(1)( 1)1ff，求a的取值范围； （2）若0a ，对,(, x
29、 ya ，都有不等式 5 ( ) 4 f xyya恒成立，求a的取值范围 23解析： （1）(1)( 1)111ffaa ， 1 分 若1a，则111aa ，得21，即1a时恒成立；2 分 若11a ，则1(1)1aa，得 1 2 a ，即 1 1 2 a ；3 分 若1a，则(1)(1)1aa，得21 ，此时不等式无解4 分 综上所述，a的取值范围是 1 , 2 5 分 （2）由题意知，要使不等式恒成立，只需max min 5 ( ) 4 f xyya 6 分 当(, xa 时， 2 2 max ( ),( ) 24 aa f xxaxf xf 7 分 因为 55 44 yyaa，所以当 5 , 4 ya 时， min 555 444 yyaaa 8 分 于是 2 5 44 a a，解得15a 9 分 结合0a ，所以a的取值范围是(0,5 10 分
