1、洛阳市 20182019 学年高中三年级第二次统一考试 理科数学 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 1,1, |ln0ABxx ，则AB （ ） A(0,1) B(0,1 C( 1,1) D 1,1 1答案：A 解析： 1,1, |ln0 |01,(0,1)ABxxxxAB 2 已知z的共轭复数是z， 且12izz （i为虚数单位） ， 则复数z在复平面内对应的点位于 （ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象
2、限 2答案：D 解析：设i ( ,)zaba bR，则izab，12izz ， 22 (1)(2)iabab， 22 3 1 2 20 2 a aba b b ，复数z在复平面内对应的点位于第四象限 3已知向量(1, 3),3ab ，且a 与b 的夹角为 3 ，则2ab （ ） A5 B37 C7 D37 3答案：B 解析：(1, 3),2,3aab ，a 与b 的夹角为 3 ，cos3 3 a bab ， 2 2 2 24+416 12937,237abaa bbab 4已知函数 2 ,0 ( ) 21,0 x ex f x xxx ，若 2 (1)(1)f afa，则实数a的取值范围是（
3、） A 2,1 B 1,2 C(, 21,) D(, 12,) 4答案：A 解析： 因为函数函数 2 ,0 ( ) 21,0 x ex f x xxx 在区间(,) 上单调递减， 由 2 (1)(1)f afa， 得 2 11aa，即 2 20,(2)(1)0aaaa，解得21a 5如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著数书九章中的“中国剩余定理”，比如已知正整数 n 被 3 除余 2，被 7 除余 4，被 8 除余 5，求 n 的最小值，执行程序框图，则输出的 n（ ） A62 B59 C53 D50 开始开始 123 112,120,105mmm 123 245nmmm n168?
4、输出输出n 结束结束 168nn 是是 否否 5答案：C 解析： 123 112,120,105,2 1124 1205 1051229mmmn ，由程序框图及题设中的 “中国剩余定理”得此程序的算法功能是“1229 被 168 除的余数是多少”，12297 16853，所以输出 的53n 6已知函数 13 ( )sincos 22 f xxx，将函数( )f x的图象向左平移(0)m m 个单位长度后，所得到的 图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 6答案：A 解析： 由题知( )sin 3 f xx ， 将其图象向左平移m个单位长度后得到函数( )sin
5、3 g xxm 的 图象， 因为函数( )g x的图象关于y轴对称，(),() 326 mkkmkk ZZ，0m ， m的最小值为 6 7如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A18 B12 C10 D9 3 3 2 4 22 7答案：D 解析：由三视图得该几何体是四棱锥PABCD（如图所示） ，其中底面ABCD是直角梯形，2CD ， 4AB 且/CDAB，与底垂直的腰3AD ，PA 底面ABCD且3PA，所以该几何体的体积是 1(24) 3 39 32 A B C D P 8已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，点(2, 3
6、)P在双曲线上，且 1122 ,PFFFPF成等差数列，则该双曲线的方程为（ ） A 22 1xy B 22 1 23 xy C 2 2 1 3 y x D 22 1 164 xy 8答案：A 解析： 1122 ,PFFFPF成等差数列， 1212 24PFPFFFc，又点P在第一象限， 12 2PFPFa， 22 121212 8PFPFPFPFPFPFac， 又 2222 22 1212 =(2)3,=(2)3,8PFcPFcPFPFc，1a， 将点(2, 3)P代入 2 2 2 1 y x b ，得 2 1b ，所以双曲线的方程为 22 1xy 9如图所示，三国时代数学家在周髀算经中利用
7、弦图，给出了勾股定理的绝妙证明，图中包含四个 全等的直角三角形及一个小正方形（阴影） ，设直角三角形有一个内角为30，若向图中随机抛掷 200 颗 米粒（大小忽略不计，取31.732） ，则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（ ） A20 B27 C54 D64 30 9答案：B 解析：设大正方形的边长为 2，则小正方形的边长为31，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正 方形（阴影）内的概率为 2 ( 31)3 1 42 ，向图中随机抛掷 200 颗米粒，则落在小正方形（阴影）内 的米粒数大约为 3 200127 2 10 如果点( , )P x y满足 220 210 20 xy xy
8、xy ， 点Q在曲线 22 (2)1xy上， 则PQ的取值范围是 （ ） A 51, 101 B 51, 101 C 101,5 D 51,5 10答案：D 解析：作可行域为如图所示的ABC，其中( 1,0),(0,2),(1,1)ABC，点Q所在圆的圆心为(0, 2)M， 半径为 1，当点P位于( 1,0)A 时，PM取得最小值5，当点P位于(0,2)B时，PM取得最大值 4， 所以PQ的取值范围是 51,5 3 2 1 1 2 3 22 M B A C O 11在四面体ABCD中，AD 平面,10,2ABCABACBC，若四面体ABCD的外接球的表 面积为 676 9 ，则四面体ABCD的
9、体积为（ ） A24 B12 C8 D4 11答案：C 解析：因为AD 平面ABC，所以是圆柱模型，设外接球半径为R，则 2 676 9 4 R ，解得 13 3 R ， 设ABC的外接圆半径为r，在ABC中，10,2ABACBC， 则 222 10 1044 cos 252 1010 ABACBC BAC ABAC ， 3 sin 5 BAC， 由正弦定理可得 105 2, sin33 BC rr BAC 1 sin3 2 ABC SABACBAC ， 设ADh，由 2 22 2 h Rr ，解得8h ，所以 11 3 88 33 D ABCABC VSh 12已知0a ，曲线 2 ( )3
10、4f xxax与曲线 2 ( )2lng xaxb有公共点，且在公共点处的切线相同， 则实数b的最小值为（ ） A0 B 2 1 e C 2 2 e D 2 4 e 12答案：B 解析：设公共点坐标为 00 (,)xy， 2 2 ( )64 ,( ) a fxxa g x x ， 2 0 0 2 64 a xa x ， 即 22 00 320xaxa， 0000 ()(3)0,0,0,xaxaaxxa， 又 22 000 342lnxaxaxb， 22 2lnbaaa ，设 22 ( )2ln(0)h aaaaa，则( )4 (ln1) (0)h aaaa， 当 1 0a e 时，( )0,
11、( )h ah a单调递减，当 1 a e 时，( )0, ( )h ah a单调递增， min 2 11 ( )h ah ee ，即b的最小值为 2 1 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上 13 10 3 3 1 3 x x 的展开式中含 2 x项的系数为 13答案：5 解析： 10 3 3 1 3 x x 展开式的通项公式为 10 2 10 3 3 11010 3 11 33 k k k k kk k TCxCx x ， 令 102 2 3 k ，得2k ，所以 10 3 3 1 3 x x 的展开式中含 2 x项的系数为 2 10 1 5
12、 9 C 14 在ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 若, ,a b c成等比数列， 且 3 tan 4 B ， 则 11 tantanAC 的值是 14答案： 5 3 解析：, ,a b c成等比数列， 2 bac，由正弦定理得 2 sinsinsinBAC， 11coscossincoscossinsin()sin1 tantansinsinsinsinsinsinsinsinsin ACCACACAB ACACACACACB ， 331115 tan,sin, 45tantansin3 BB ACB 15已知0,0xy，且 12 1 xy ，则xyxy的最小值
13、为 15答案：74 3 解析： 12 1,2,32xyxyxyxyxy xy ， 126262 32(32 )77274 3 xyxy xyxy xyyxyx ， xyxy的最小值为74 3 16已知过椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左顶点(,0)Aa作直线l交y轴于点P，交椭圆于点Q，若 AOP（O是坐标原点）是等腰三角形，且2PQQA ，则椭圆的离心率为 16答案： 2 5 5 解析：不妨设点P在x轴的上方，AOP是等腰直角三角形，(,0)Aa为椭圆的左顶点，(0, )Pa， 又2PQQA ， 2 , 33 a Qa ， 2222 2222 41 1,5, 995 aaab
14、 abba ， 所以椭圆的离心率 2 2 2 5 1 5 b e a Q P A O 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a的公差0d ，若 39 22aa，且 5813 ,aaa成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 1 (1) n n nn a b a a ，求数列 n b的前n项和 n S 17解析： （1）依题意可得 1 2 111 21022 (7 )(4 )(12
15、) ad adad ad ，2 分 解得 1 1,2ad，4 分 所以数列 n a的通项公式为21 n an5 分 （2） 2222 222 1 (1)44(41) 111 11 (21)(21)414141(21)(21) n n nn annn b a annnnnnn 111 1 2 2121nn ，9 分 11111111 11 2335212122121 n n Snnn nnnn 12 分 18 （本小题满分 12 分） 如图 1，平面多边形PABCD中，,224PAPD ADDCBC，/,ADBC ADDC E为PD的 中点，现将APD沿AD折起，如图 2，使2 2PC A B
16、C D E P P A BC D E 图图1图图2 （1）证明：/CE平面ABP； （2）求直线AE与平面ABP所成角的正弦值 18解析： （1）取PA中点H，连接,HE BH，如图，E为PD的中点，HE为APD的中位线， 1 2 HEAD ，又 1 2 BCAD ，HEBC ，所以四边形BCEH为平行四边形，/CEBH 又因为BH 平面ABP，CE 平面ABP，/CE平面ABP 5 分 （2）由题意知PAD为等腰直角三角形，四边形ABCD为直角梯形取AD中点F，连接,BF PF， 24,ADBC平面多边形PABCD中，,P F B三点共线，且2PFBF， 所以翻折后，,PFAD BFAD P
17、FBFFAD平面PBF，BC平面PBF， PB 平面PBF，BCPB6 分 在直角三角形PBC中，2 2,2,2,PCBCPBPBF为等边三角形7 分 取BF中点O，DC中点M，连接,PO OM，则POBF，DF 平面PBF，DFPO， 又,DFBFFPO平面ABCD以O为原点，,OB OM OP 的方向分别为, ,x y z轴的正方向， 建立如图所示空间直角坐标系，则 13 (1,0,0),( 1,2,0),(0,0, 3),( 1, 2,0),1, 22 BDPAE ， 13 ,3,(2,2,0),( 1,0, 3) 22 AEABBP 8 分 设平面ABP的法向量为( , , )nx y
18、 z ，则 220 30 n ABxy n BPxz ，故可取(3, 3, 3)n ，10 分 210 cos, 35 n AE n AE nAE ，11 分 所以直线AE与平面ABP所成角的正弦值为 210 35 12 分 P A BC D EH x y z F O 19 （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 :2(0)C ypx p，其焦点为F，O为坐标原点，直线l与抛物线C交于不同的两点,A B， M为AB的中点 （1）若2p ，M的坐标为(1,1)，求直线l的方程； （2）若直线l过焦点F，AB的垂直平分线交x轴于点N，试问： 2 2 MN FN 是否为定值？若为定值，试 求出此定
19、值；否则，说明理由 19解析： （1） 由题意知直线l的斜率存在且不为 0， 故设直线l的方程为1(1)xt y ，即1xtyt ， 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，由 2 1 4 xtyt yx ，得 2 4440ytyt，2 分 22 12 1616 1616(1)0,4ttttyyt ，3 分 42t，即 1 2 t 4 分 所以直线l的方程为210xy 5 分 （2） 2 2 MN FN 为定值2p，证明如下： 因为抛物线 2 :2(0)C ypx p，所以焦点F的坐标为,0 2 p 由题意知直线l的斜率存在且不为 0，又直线l过点F，故设直线的方程为(0) 2 p
20、xtyt， 设 1122 ( ,),(,)A x yB xy，由 2 2 2 p xty ypx ，得 22 20yptyp， 2 22 12 440,2p tpyypt ，7 分 22 1212 ()2, 2 p xxt yypptpMptpt 8 分 MN的方程为 2 2 p yptt xpt 9 分 令0y ，得 22 33 ,0 22 pp xptNpt ，10 分 2 22 222 3 , 22 p MNpp tFNptpptp，11 分 2 22 2 2 22() 2 MNpp t p FNptp 12 分 20 （本小题满分 12 分） 某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定
21、适宜的经营策略，该企业首先在已投放的乙市进行单车使 用情况调查调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段在随机问卷阶段，A，B 两个调查小 组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获得的有效问卷中，针对 15 至 45 岁的人群，按比例随机抽取了 300 份，进行数据统计，具体情况如下表： A 组统计结果 B 组统计结果 组别 年龄 经常使用单车 偶尔使用单车 经常使用单车 偶尔使用单车 15, 25) 27 人 13 人 40 人 20 人 25, 35) 23 人 17 人 35 人 25 人 35, 45 20 人 20 人 35 人 25 人 （1）先
22、用分层抽样的方法从上述 300 人中按“年龄是否达到 35 岁”抽出一个容量为 60 的样本，再用分 层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去， 求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数 为听取对发展共享单车的建议，调查小组专门组织所抽取的“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人员 召开座谈会会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人，每人 1 份（其余人员仅赠送骑行优惠券） 已知参加座 谈会的人员有且只有 4 人来自 A 组，求 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 的分布列和数学期望 （2）从统计数据可直观得出“经常使用共享单
23、车且年龄达到 m 岁”的有关结论在用独立性检验的方法 说明该结论成立时， 为使犯错误的概率尽可能小， 年龄 m 应取 25 还是 35？请通过比较 K2的观测值的大小 加以说明 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd 20解析： （1）从 300 人中抽取 60 人，其中“年龄达到 35 岁”的人数为 60 10020 300 ，再将这 20 人用分层抽样法按“是否经常使用单车”进行名额划分，其中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数 为 45 209 100 2 分 A 组这 4 人中得到礼品的人数 X 可能取值为 0，1，
24、2，3，相应概率为 312213 545454 3333 9999 51051 (0),(1),(2), (3) 42211421 CC CC CC P XP XP XP X CCCC 4 分 故其分布列为 X 0 1 2 3 P 5 42 10 21 5 14 1 21 510514 ()0123 422114213 E X 6 分 （2）按“年龄是否达到 35 岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 35 岁 125 75 200 达到 35 岁 55 45 100 合计 180 120 300 35m 时，可求得 2 K的观测值 22 1 300
25、(125 4575 55)300 150025 200 100 180 120200 100 180 12016 k 9 分 按“年龄是否达到 25 岁”对数据进行整理，得到如下列联表： 经常使用单车 偶尔使用单车 合计 未达到 25 岁 67 33 100 达到 25 岁 113 87 200 合计 180 120 300 25m 时，可求得 2 K的观测值 22 2 300 (67 8733 113)300 210049 100 200 180 120100 200 180 12016 k 10 分 21 kk，欲使犯错误的概率尽可能小，需取25m 12 分 21 （本小题满分 12 分）
26、 已知函数 2 ( )(1)(ln1) (2)f xxaxxa （1）讨论( )f x的极值点的个数； （2）若方程( )10f xa 在(0,2上有且只有一个实数根，求a的取值范围 21解析： （1）( )f x的定义域为(0,)， 1(1)(2) ( )2(1)1 xxa fxxa xx 1 分 由( )0fx，得1x 或 2 a x 当0a时，由( )0fx得1x ，由( )0fx得01x， ( )f x在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减，( )f x在1x 处取得极小值，无极大值3 分 当01 2 a ，即02a时，由( )0fx得1x 或0 2 a x，由( )0fx得1
27、2 a x， ( )f x在0, 2 a 上单调递增，在,1 2 a 上单调递减，在(1,)上单调递增， ( )f x在1x 处取得极小值，在 2 a x 处取得极大值4 分 综上，当0a时，( )f x有一个极值点；当02a时，( )f x有两个极值点5 分 （2）当2a 时，设 2 ( )1(1)(ln11( )gf xaxaxaxx ，则( )g x在(0,2上有且只有 一个零点显然函数( )g x与( )f x的单调性是一致的6 分 当0a时，由（1）知函数( )g x在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增，( )g x在(0,2上的最小 值为(1)1ga，由于 2 222 11
28、 110 a g eee ，要使( )g x在(0,2上有且只有一个零点，需满 足(1)0g或(2)0g，解得1a 或 2 ln2 a 8 分 当02a时，函数( )g x在0, 2 a 上单调递增，在,1 2 a 上单调递减，在(1,2上单调递增 (1)10,ga 当,2 2 a x 时，总有( )0g x 9 分 2222222222 12,(2)ln220 aaaaa aaaaa eag eeeaaea ， ( )g x在0, 2 a 上必有零点又( )g x在0, 2 a 上单调递增， 所以当02a时，( )g x在(0,2上有且只有一个零点11 分 综上，当02a或 2 ln2 a
29、或1a 时， 方程( )10f xa 在(0,2上有且只有一个实数根12 分 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所作的第一题计分 22 【选修 44：坐标系与参数方程】 （本小题满分 10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 12 2 xt yt （t为参数） ，以坐标原点为极点，x轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 4 13sin （1）求曲线 1 C的普通方程和曲线 2 C的直角坐标方程； （2） 设曲线 2 C经过伸缩变换 2xx yy 得到曲线 3 C，( , )M x y是曲线 3 C上任意
30、一点， 求点M到曲线 1 C的 距离的最大值 22解析： （1）根据 12 2 xt yt ，消去参数t可得曲线 1 C的普通方程250xy，2 分 2222 2 4 ,3sin4 1 3sin ，由 222, sinxyy可得： 22 44xy， 故曲线 2 C的直角坐标方程为 2 2 1 4 x y5 分 （2）曲线 2 2 2: 1 4 x Cy经过伸缩变换 2xx yy 得到曲线 3 C的方程为 2 2 1 16 x y ， 所以曲线 3 C的方程为 2 2 1 16 x y7 分 设(4cos,sin)M，则点M到曲线 1 C的距离 2 5sin()5 4cos2sin52sin4c
31、os52 55 25 5555 d ，9 分 其中tan2，所以点M到曲线 1 C的距离的最大值为2510 分 23 【选修 45：不等式选讲】 （本小题满分 10 分） 已知( )1,( )2f xxg xxa （1）当1a 时，求不等式( )( )f xg x的解集； （2）若存在 0 x R，使得 00 ()()f xg x成立，求a的取值范围 23解析： （1）当1a 时原不等式可化为121xx，设( )12xxx， 则 1,1 ( )31,10 1,0 xx xxx xx ，2 分 则 1 11 x x 或 10 311 x x 或 0 11 x x ， 解得或 2 0 3 x或02x即 2 2 3 x4 分 所以原不等式的解集为 2 2 3 xx 5 分 （2）存在 0 Rx ，使得 00 ()()f xg x成立，等价于12xxa有解，6 分 即( )xa有解，即 max ( )ax7 分 由（1）知( )x在(,0)上单调递增，在0,)上单调递减8 分 max ( )(0)1x，9 分 1a 10 分
