1、1 合肥市合肥市2019届高三第一次教学质量检测届高三第一次教学质量检测 数学试题数学试题(理科理科) (考试时间考试时间：120分钟分钟 满分满分：150分分) 第第卷卷 编辑：华附南海实验高中 李志刚 微信&QQ：46890730 微信公众号：华海数学 一一、选择题选择题：本大题共本大题共12小题小题，每小题每小题5分分在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知i为虚数单位， 4 1 i z ，则复数z的虚部为（ ） A2i B2i C2 D2 1答案：D 解析： 44(1 i) 22i 1 i(1 i)(1 i) z ，所以
2、复数z的虚部为2 2集合 2 |2, |10Ax xxBx x 0 0，则AB （ ） A |1x x B | 11xx C |2x x D | 21xx 2答案：C 解析： 2 |2 |(1)(2)0 | 12, |1Ax xxxxxxxBx x0 0， 所以 |2ABx x 3执行如图所示的程序框图，则输出n的值为（ ） A63 B47 C23 D7 3答案：C 解析：7,1ni 否2 71152ni 否，是15 1113ni 否，否 2 11 1234ni 是，输出23n 4已知正项等差数列 n a的前n项和为 n S(nN )， 2 576 0aaa，则 11 S的值为（ ） A11
3、B12 C20 D22 4答案：D 解析： 22 57666 20aaaaa，又因为 6 0a ，所以 6116 2,1122aSa 5已知偶函数( )f x在0)，上单调递增，则对实数ab， “ab”是“( )( )f af b”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5答案：A 2 解析：因为偶函数( )f x在0)，上单调递增，所以( )( )f af bab， 因为abab，而abab，所以“ab”是“( )( )f af b”的充分不必要条件 6某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行
4、业 者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ） 注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生 A互联网行业从业人员中90后占一半以上 B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20% C互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 D互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 6答案：D 解析：互联网行业从业人员中90后占56%，超过一半，A正确； 90后且从事技术岗位的人数占比为0.56 0.3960.221760.2，故互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人 数的20%，B正确； 90后且从事运营岗位的占比为0.56
5、0.170.09520.03， 所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前 多，C正确； 90后且从事技术岗位的人数占比为0.56 0.3960.221760.41，所以D错误 7平面外有两条直线a，b，它们在平面内的射影分别是直线m，n，则下列命题正确的是（ ） A若ab，则mn B若mn，则ab C若/ /mn，则/ab D若m和n相交，则a和b相交或异面 7答案：D 解析： 直线a在过直线m且垂直于平面的平面内， 直线b在过直线n且垂直于平面的平面内， 所以选项A， B， C显然错误，若m和n相交，则直线a和b分别在两个相交平面内，所以a和b相交或异面，D正确 8若 6 1 ax
6、x 展开式的常数项为60，则a的值为（ ） A4 B4 C2 D2 8答案：D 解析： 6 1 ax x 展开式中的常数项为 4 422 6 1 ()1560Caxa x ，解得2a 9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A2 54 210 B 4 3 C8 3 D16 3 9答案：C 3 解析：该几何体是一个三棱锥，其体积 118 (2 4) 2 323 V 10某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖 需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球
7、号码连号，则中奖，摸奖结束； 若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖按照这 样的规则摸奖，中奖的概率为（ ） A 4 5 B19 25 C 23 50 D 41 100 10答案：C 解析：第一次摸球中奖的概率为 1 2 5 42 5 P C ，第一次不中奖而第二次中奖的概率为 2 2 5 313 550 P C ， 所以所求概率 12 2323 55050 PPP 11设双曲线 22 22 :1 xy C ab (00ab，)的左、右焦点分别为 12 FF，过 1 F的直线分别交双曲线左右两支于 点MN，连结 22 MFNF，若 22 0
8、MFNF ， 22 MFNF ，则双曲线C的离心率为（ ） A2 B3 C5 D6 11答案：B 解析： 如图，设 1 MFt， 则 221 2 ,2 ,4 ,4MFta NFta MFta MNa ， 因为 2 MNF是等腰 直角三角形，所以42(2 )ata，解得(2 22)ta，在 12 MFF中，由余弦定理可得： 222 121212 2cos135FFMFMFMFMF，即 22222 4(128 2)8(8 28)12caaaa， 所以3ca，离心率3 c e a M F2 F1O N 12 已知函数 2 ( )2lnf xaxxx有两个不同的极值点 12 xx， 若不等式 12 (
9、)()f xf x恒成立， 则实数 的取值范围是（ ） A 3,) B(3,) C,)e D( ,)e 12答案：A 解析： 2 1221 ( )22(0) axx fxaxx xx ，因为( )f x有两个不同的极值点 12 ,x x，则方程 2 2210axx 有两个不同的正根， 4 则 12 12 480 11 00 2 1 0 2 a xxa a x x a ， 22 1122 11 , 22 axxaxx， 22 12111222111222 11 ()()2ln2ln2ln2ln 22 f xf xaxxxaxxxxxxxxx 1212 11 ()ln() 1ln21ln21xxx
10、 xaa aa ， 设 11 ( )ln(2 ) 1 (0) 2 g xxx x ，则 22 111 ( )0 x g x xxx ， 所以( )g x单调递减， 1 ( )3 2 g xg ， 1 ln213a a ， 因为 1 ln21a a 恒成立，所以的取值范围是 3,) 第第卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分本卷包括必考题和选考题两部分 第第13题题第第21题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答 第第22题题、 第第23题为选考题为选考 题题，考生根据要求作答考生根据要求作答 二二、填空题填空题：本大题共本大题共4小题小题，每小题每小题5分分把答案填在答题
11、卡把答案填在答题卡上上的相应位置的相应位置 13设xy，满足约束条件 0 0 10 30 x y xy xy ，则2zxy的取值范围为 13答案：( 1,6) 解析：作可行域为如图所示的四边形OABC（不包含边界） ，其中(3,0),(1,2),(0,1)ABC， 因为0,6,0,1 OABC zzzz ，所以z的取值范围是( 1,6) OA B C x y 14若非零向量, ab 满足 2aab ，则 ab b 14答案：1 解析：因为 2aab ，所以 2 220aabaa b ， 5 则 2 22 2 22 2 1,1 abab aa bbb bb bb 15在锐角ABC中，2BC ，s
12、insin2sinBCA，则中线AD长的取值范围是 15答案： 13 3 2 ， 解析：2a ，24bca，所以4(13)bcc， 因为ABC是锐角三角形，所以 222 222 222 abc bca acb ， 解得 35 22 c 222 222 2()1 () 1 42 bca ADbc ， 而 222222 17 (4)281622(2)88, 2 bcccccx ， 所以 222 113 () 13, 24 ADbc ，所以 13 3 2 AD ， 16在平面直角坐标系xOy中，点 1 2 () 2 n n n nn AnN ，记 21221nnn AA A 的面积为 n S，则 1
13、 n i i S 16答案： 22 24 33 n n 解析： 21221212121 212212121 (2,0),2 ,2,(2,0),223 2 nnnnnn nnnnn AAnAAA ， 所以 211 1 3 2264 2 nn n Snn ，设数列 n S的前n项和为 n T，则 221 231 6 12 4 18 46(1) 464 6 4 12 418 46(1) 464 nn n nn n Tnn Tnn 4 ，得 21 6(14 ) 366 46 46 46464(26 ) 42 1 4 n nnnn n Tnnn ， 所以 22 24 33 n n Tn 三三、解答题解答
14、题：解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17(本小题满分本小题满分12分分) 已知函数( )cos2sin 2 6 f xxx ()求函数( )f x的最小正周期； ()若0 2 ， ， 1 ( ) 3 f，求cos2 17解析：() 3131 cos2sin2cos2sin2cos2sin 2 22226 f xxxxxxx ， 6 函数 f x的最小正周期为T. 5分 ()由 1 ( ) 3 f可得， 1 sin 2 63 . 0, 2 ， 7 2 666 ，. 又 11 0sin 2 632 x ，2 62 ， 2 2 cos 2 63 ， 1 2
15、 6 cos2cos2cos 2cossin 2sin 6666666 .12分 18(本小题满分本小题满分12分分) 在四棱锥PABCD中，2 3BCBDDC， 2ADABPDPB ()若点E为PC的中点，求证：/BE平面PAD； ()当平面PBD 平面ABCD时，求二面角CPDB的余弦值 B D P C E A 18解析：()取CD的中点为M，连结EM，BM. 由已知得，BCD为等边三角形，BMCD. 2ADAB，2 3BD ， 30ADBABD ， 90 ,/ADCBMAD . 又BM 平面PAD，AD 平面PAD， /BM平面PAD. E为PC的中点，M为CD的中点，/EMPD. 又E
16、M 平面PAD，PD 平面PAD， /EM平面PAD. EMBMM，平面/BEM平面PAD. BE 平面BEM，/BE平面PAD. 5分 ()连结AC，交BD于点O，连结PO，由对称性知，O为BD的中点，且ACBD，POBD. 平面PBD 平面ABCD，POBD， PO 平面ABCD，1POAO，3CO . 以O为坐标原点，OC 的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz. 则(0,3,0),(3,0,0),(0,0,1)DCP. 易知平面PBD的一个法向量为 1 (1,0,0)n . 设平面PCD的法向量为 2 ( , , )nx y z ， 则 2 nDC ， 2 nDP ， 2 2
17、0 0 nDC nDP ， (3, 3,0),(0, 3,1)DCDP ， 330 30 xy yz . B D P C E M A 7 令3y ，得13xz ， 2 ( 1, 3, 3)n ， 12 12 12 113 cos 1313 n n n n nn ，. 设二面角CPDB的大小为，则 13 cos 13 . 12分 19(本小题满分本小题满分12分分) 每年3 月21 日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础为了做好今年的世界睡眠日宣传工作， 某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人， 通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位： 小时)， 并绘制出如右
18、的频率分布直方图： ()求这100人睡眠时间的平均数x(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)； ()由直方图可以认为，人的睡眠时间t近似服从正态分布 2 ( ,)N ，其中近似地等于样本平均数x， 2 近似 地等于样本方差 2 s， 2 33.6s 假设该辖区内这一年龄层次共有 10000 人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区 间(39.2,50.8)的人数 附： 33.65.8 若随机变量Z服从正态分布 2 ( ,)N ，则()0.6826PZ， (22 )0.9544PZ 19解析： ()0.06 340.18 380.20 420.28 460.16 500.10 540.
19、02 5844.7245x ； 5分 ()由题意得，39.2 50.8，39.250.80.6826Pt ， 所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.2 50.8，的人数约为10000 0.68266826(人)； 12分 20(本小题满分本小题满分12分分) 设椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab)的离心率为 2 2 ，圆 22 :2O xy与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处 的切线被椭圆C截得的弦长为2 2 ()求椭圆C的方程； ()设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN， 试判断PMPN是否为定值？若为定值， 求出该定值； 若不是定值，请说明理由 20解析：()设椭圆的半
20、焦距为c，由椭圆的离心率为 2 2 知， 2bc ab， 椭圆C的方程可设为 22 22 1 2 xy bb . 易求得( 2,0)A，点( 2 2)，在椭圆上， 22 22 1 2bb ， 8 解得 2 2 6 3 a b ，椭圆C的方程为 22 1 63 xy . 5分 ()当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 2x ，由()知， ( 2,2)( 2,2)MN， ( 2,2) ( 2,2) 0OMONOM ON ，OMON. 当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为ykxm， 1122 ( ,),(,)M x yN xy， 2 2 1 m k ，即 22
21、2(1)mk. 联立直线和椭圆的方程得 22 2()6xkxm， 222 (12)4260kxkmxm，得 222 12 2 2 12 2 (4)4(12)(26)0 4 21 26 21 kmkm km xx k m x x k . 1122 ( ,),(,)OMx yONxy ， 12121212 OM ONx xy yx xkxmkxm ， 2 2222 1212 22 264 (1)()(1) 2121 mkm kx xkm xxmkkmm kk 2222222222 222 (1)(26)4(21)3663(22)66 0 212121 kmk mmkmkkk kkk ， OMON.
22、 综上所述，圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于点MN，都有OMON. 在RtOMN中，由OMP与NOP相似得， 2 2OPPMPN为定值. 12分 21(本小题满分本小题满分12分分) 已知函数( )ln(1) x f xex(e为自然对数的底数) ()求函数( )f x的单调区间； ()若( )( )g xf xax，aR，试求函数( )g x极小值的最大值 21解析：()易知1x ，且 1 ( ) 1 x fxe x . 令 1 ( ) 1 x h xe x ，则 2 1 ( )0 (1) x h xe x ， 函数 1 ( ) 1 x h xe x 在( 1)x ，上单调递增，且(0)(
23、0)0h f . 可知，当( 1,0)x 时，( )( )0h xfx，( )ln(1) x f xex单调递减； 当(0,)x时，( )( )0h xfx，( )ln(1) x f xex单调递增. 函数( )f x的单调递减区间是( 1,0)，单调递增区间是(0,).5分 ()( )( )ln(1) x g xf xaxexax，( )( )g xfxa . 由()知，( )g x 在( 1)x ，上单调递增， 当1x 时，( )g x ；当x 时，( )g x ，则( )0g x有唯一解 0 x. 可知，当 0 ( 1,)xx 时，( )0g x，( )ln(1) x g xexax单调
24、递减； 9 当 0 ()xx，时，( )0g x，( )ln(1) x g xexax单调递增， 函数( )g x在 0 xx处取得极小值 0 000 ()ln(1) x g xexax，且 0 x满足 0 0 1 1 x ea x . 0 000 0 1 ()(1)ln(1) 1 1 x g xx ex x . 令 1 ( )(1)ln(1) 1 1 x xx ex x ，则 2 1 ( ) (1) x xx e x . 可知，当( 1,0)x 时，( )0x，( )x单调递增； 当(0,)x时，( )0x，( )x单调递减， max ( )(0)1x. 函数( )g x极小值的最大值为1.
25、 12分 请考生在第请考生在第22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答注意注意：只能做所选定的题目只能做所选定的题目，如果多做如果多做，则按所做的第一个题目计分则按所做的第一个题目计分，作答作答 时时，请用请用2B铅笔在答题卡上铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑将所选题号对应的方框涂黑 22(本小题满分本小题满分10分分)选修选修4-4：坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 C的方程为 cos sin x y (为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为=2cos ()求 1 C、 2 C交点的直角坐标； ()设
26、点A的极坐标为 3 4，点B是曲线 2 C上的点，求AOB面积的最大值 22解析：() 22 1: 1Cxy， 2: =2cosC， 2=2 cos， 22 2xyx. 联立方程组得 22 22 1 2 xy xyx ，解得 1 1 1 2 3 2 x y ， 2 2 1 2 3 2 x y ， 所求交点的坐标为 13 22 ， 13 22 ，.5分 ()设( , )B ，则=2cos. AOB 的面积 11 sin4 sin4cos sin 2233 SOA OBAOB 2cos 23 6 当 23 12 时， max 23S. 10分 23(本小题满分本小题满分10分分)选修选修4-5：不
27、等式选讲不等式选讲 设函数( )1f xx ()若( )22f xx，求实数x的取值范围； ()设( )( )()g xf xf ax(1a )，若( )g x的最小值为1 2 ，求a的值 23解析：()( )22f xx，即1 22xx 10 122 x xx 或 10 122 x xx 1 3 x， 10 实数x的取值范围是 1 3 ，. 5分 ()1a ， 1 1 a ， (1)2(1) 1 ( )(1)1 1 (1)2 axx g xa xx a axx a ， ， ， ， ， 易知函数( )g x在 1 x a ，时单调递减，在 1 x a ，时单调递增， min 11 ( )1g xg aa . 11 1 2a ，解得2a . 10分
