1、 2020 年 4 月高考数学试题精选模拟卷 02 数学（山东卷） （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_ 班级_ 考号_ 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4测试范围：高中全部内容. 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中
2、，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. 1已知全集U R，集合 |lg(1)Ax yx ， 1 |Bx y x 则 UA B （ ） A(1, ) B(0,1) C(0,) D1,) 【答案】D 【解析】10,1Axx ，0,B ，1, UA ， 1, UA B. 故选：D. 2若复数2ai 1 i (i为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数 a 为（ ） A2 B2 C 1 2 D 1 2 【答案】D 【解析】 2ai 1 i2a 12a 1 i在复平面内所对应的点在虚轴上， 2a 10 ，即 1 a 2 故选 D 3 红海行动是一部现代海军
3、题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事撤 侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须 排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A240 种 B188 种 C156 种 D120 种 【答案】D 【解析】当 E,F 排在前三位时， 223 1223 ()NA AA=24,当 E,F 排后三位时， 1222 23322 ()()NC AA A=72，当 E,F 排 3，4 位时， 1122 32322 ()NC A A A=24，N=120 种，选 D. 4已知向量a与向量4,6m 平行，
4、 5,1b ，且 14a b ，则a （ ） A4,6 B4, 6 C 2 13 3 13 , 1313 D 2 133 13 , 1313 【答案】B 【解析】设,ax y r ，且4,6m ，5,1b ， 由 /a m得6 4xy ，即32xy，由514a bxy ， 所以 32 514 xy xy ，解得 4 6 x y ，因此，4, 6a . 故选：B. 5在一个数列中，如果 * nN ，都有 12nnn a aak （k为常数） ，那么这个数列叫做等积数列，k叫做 这个数列的公积.已知数列 n a是等积数列， 且 1 1a ， 2 2a ， 公积为8， 则 122 0 2 0 a a
5、a （ ） A4711 B4712 C4713 D4715 【答案】B 【解析】由题意可知 12 8 nnn a aa ，则对任意的n N， 0 n a ，则 123 8a a a ， 3 12 8 4a a a ， 由 12 8 nnn a aa ，得 123 8 nnn aaa ， 12123nnnnnn a aaaaa ， 3nn aa ， 20203 673 1 ，因此， 1220201231 673673 7 14712aaaaaaa . 故选：B. 6 已知函数 1,(0) ( ) ln2,(0) x xex f x xxx ， 若函数 yf xa至多有2个零点， 则a的取值范围是
6、 （ ） A 1 ,1 e B 1 ,1(1,) e C 1 1,1 e D1,1 e 【答案】B 【解析】由( )0f xa，得 f xa， 1 x yxe 0x 1 x yxe ，当1x时，0y ， 当, 1x 时，0y，函数单调递减， 当1,0x 时，0y ，函数单调递增， 所以0x时，函数的最小值 1 11f e ，且 01f ln2yxx ， 0x， 1 1y x ，当1x 时， 0y ， 当0,1x时，0y，函数单调递减， 当1,x时，0y ，函数单调递增， 所以0x时，函数的最小值 11f ， 作出函数 yf x与y a 的图象，观察他们的交点情况，可知， 1 1a e 或1a
7、时，至多有两个交 点满足题意， 故选：B. 7设 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，过 2 F的直线交椭圆于A，B两点，且 1 2 0AFAF， 22 2AFF B，则椭圆E的离心率为( ) A 2 3 B 3 4 C 5 3 D 7 4 【答案】C 【解析】 22 2AFF B 设 2 BFx，则 2 2AFx 由椭圆的定义，可以得到 11 22 ,2AFax BFax 12 0AF AF, 12 AFAF 在 1 Rt AFB中，有 222 2232axxax，解得 3 a x 21 24 , 33 aa AFAF 在 12 RtAFF中
8、，有 22 242 2 33 aa c 整理得 2 2 5 = 9 c a ， 5 3 c e a 故选 C 项. 8我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意思是：两个等 高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线 2 :C yx， 直线l为曲线C在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形， 记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体： 图是底面直径和高均为1的圆锥； 图是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图是底面边长
9、和高均为1的正四棱锥； 图是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得 到的几何体. 根据祖暅原理，以上四个几何体中与T的体积相等的是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】几何体T是由阴影旋转得到，所以横截面为环形， 且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为 1 x，切线对应的横坐标为 2 x 2, 2f xxfxx， 12k f 切线为121yx ，即21yx， 2 12 1 , 2 y xy x 横截面面积 22 21 sxx 2 2 11 = 42 yy y 图中的圆锥高为 1，底面半径为 1 2 ，可以看成由直线21yx绕y轴旋转得到 横
10、截面的面积为 2 2 1 2 y sx . 所以几何体T和中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等， 故选 A 项. 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9若随机变量0,1N， x Px，其中0x，下列等式成立有( ) A 1xx B 22xx C 21Pxx D 2Pxx 【答案】AC 【解析】 随机变量服从标准正
11、态分布(0,1)N， 正态曲线关于0 对称， ( )(xPx ，0)x ，根据曲线的对称性可得： A.()()1( )xxx ，所以该命题正确； B.(2 )(2 ),2 ( )2 ()xxxx ，所以 22xx错误； C.(|)= ()1 2 ()1 21( )2 ( ) 1PxPxxxxx ，所以该命题正确； D.(|)(PxPx或)=1( )()1( ) 1( )22 ( )xxxxxx ，所以该命题错误 故选：AC 10若a、b、Rc，且 1ab bcca，则下列不等式成立的是（ ） A3abc B 2 3abc C 111 2 3 abc D 222 1abc 【答案】BD 【解析】
12、由基本不等式可得 22 2abab， 22 2bcbc ， 22 2caca ， 上述三个不等式全部相加得 222 222abcabbcca， 222 1abc，当且仅当 abc时，等号成立， 2 222 23abcabcabbcca， 3abc 或3abc ， 若 3 3 abc ，则 111 3 32 3 abc ， 因此，A、C 选项错误，B、D 选项正确. 故选：BD. 11将函数 sin 6 fxx 的图象上所有点的横坐标缩小为原来的 1 2 ，纵坐标不变，再将图象向右平 移 4 个单位，得到函数 g x的图象，则下列结论正确的是（ ） A 3 0 2 g B 5 12 x 是 g
13、x图象的一条对称轴 C 7 ,0 12 是 g x图象的一个对称中心 D g x在 5 , 26 上单调递减 【答案】BD 【解析】由题意知 sin 2sin 2 463 g xxx . 所以 3 0sin 32 g ，故 A 项错误； 因为 5 sin1 122 g ，所以 5 12 x 是函数 yg x图象的一条对称轴，B 项正确； 因为 73 sin1 122 g ，故 7 ,0 12 不是函数 yg x图象的对称中心，C 项错误； 当 5 , 26 x 时， 24 2, 333 x ，因为 sinyx 在 24 , 33 上单调递减，所以 yg x在 5 , 26 上单调递减，D 项正
14、确. 故选：BD. 12已知函数 2 ln,0 ,0 x x f x xmx x 和 g xa（aR且为常数） ，则下列结论正确的是（ ） A当4a时，存在实数m，使得关于x的方程 f xg x有四个不同的实数根 B存在3,4m，使得关于x的方程 f xg x有三个不同的实数根 C当0x时，若函数 2 h xfxbf xc恰有3个不同的零点 1 x、 2 x、 3 x，则 123 1x x x D 当4m 时， 且关于x的方程 f xg x有四个不同的实数根 1 x、 2 x、 3 x、 4 x 1234 xxxx， 若 f x在 2 34 ,xx 上的最大值为ln4，则 1234 221xx
15、xx 【答案】ACD 【解析】若0m ，则函数 2 f xxmx在区间,0上单调递增， 且当0x时， 00f xf，如下图所示： 如上图可知，此时关于x的方程 f xg x根的个数不大于2，B 选项不合乎题意； 若0m， 且当0x时， 函数 2 f xxmx在区间, 2 m 上单调递增， 在,0 2 m 上单调递减， 此时 2 max 24 mm f xf ， 当4a时，若关于x的方程 f xg x有四个不同的实数根，则 2 4 4 m ，解得4m，A 选项正 确； 设 tf x，由 2 0h xfxbf xc ，得 2 0tbtc， 当0x时， ln0tf xx， 设关于t的一元二次方程 2
16、 0tbtc的两根分别为1t、 212 ttt， 由于函数 yh x有三个零点，则 1 0t ， 2 0t ，设 123 xxx， 由 22 ln0tx，得 2 1x ，由图象可知， 13 01xx ， 由 113 lnlntxx，则 13 lnlnxx， 3 1 1 x x ，即 13 1x x ， 123 1x x x，C 选项正确； 当4m 时，若0x， 2 2 424f xxxx ， 此时，函数 yg x与函数 yf x在区间,0上的两个交点关于直线2x对称， 则 12 4xx . 如下图所示，当0x时，函数 yg x与函数 yf x的两个交点的横坐标 3 x、 4 x满足 34 01
17、xx ，且有 34 lnlnaxx，04a，则 34 lnlnaxx ， 3 a xe， 4 a xe，由图象可知，函数 lnf xx在 2 3,1 x 上单调递减，在 4 1,x上单调增， 222 3 ln2 aa f xf eea ， 4 ln aa fxf eea ， 所以，2ln42ln2a，ln2a ，则 ln2 3 1 2 xe， ln2 4 2xe， 所以， 1234 1 22422 21 2 xxxx ，D 选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知定义在R上的奇函数 3 ( )1f x
18、xxa ，则函数 f x在点( , ( )a f a 处的切线方程为 _ 【答案】220xy 【解析】 f x为R上的奇函数， 010fa ，解得：1a ， 3 f xxx， 2 31fxx， 13 12 f ，又 11 10f ， f x在 , a f a ，即在1,0处的切线方程为：021yx，即220xy. 故答案为：220xy. 14已知 n S为数列 n a的前n项和， 1 2a ， 2 4a ，平面内三个不共线的向量OA，OB，OC满足 * 11 12, nnn OCaOAaaOB nnN ， 若点A，B，C在同一直线上， 则 2019 S_. 【答案】8 【解析】因为OC （1a
19、n）OA（an1+an+1）OB（n2，nN*） ，A，B，C 在同一直线上， 则 an1+an+1+1an1，an1+an+1an， Sn为数列an的前 n 项和，a12，a24， 数列an为：2，4，2，2，4，2，2，4，2，2，4，2， 即数列an是以 6 为周期的周期数列，前 6 项为 2，4，2，2，4，2， 20196 336+3， S2019336 （2+4+2242）+2+4+28 故答案为：8 15 6 2 1 2x x 的展开式中，常数项为_；系数最大的项是_. 【答案】60 6 240x 【解析】 6 2 1 2x x 的展开式的通项为 6 2612 3 66 1 22
20、 k k kkkk CxCx x ， 令12 30k，得4k ，所以，展开式中的常数项为 42 6 260C ； 令 6 6 2,6 kk k aCkN k ，令 1 1 nn nn aa aa ，即 617 66 615 66 22 22 nnnn nnnn CC CC ， 解得 47 33 n，nNQ，2n ，因此，展开式中系数最大的项为 2466 6 2240Cxx. 故答案为：60； 6 240x. 16在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，PAD 是一个正三角形，若平面 PAD平 面 ABCD，则该四棱锥的外接球的表面积为_. 【答案】 112 3 . 【
21、解析】过 P 作PFAD交 AD 于 F，取 BC 的中点 G，连接 PG，FG，在 PF 的三等分点 H（PH HF） ，取 GF 的中点 E，在平面 PFG 过 E，F 分别作 GF，PF 的垂线，交于点 O 因为PAD为等边三角形，AF=FD，所以PFAD， 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD=AD，PF 平面 PAD 所以 PF平面 ABCD，GF 平面 ABCD，故 PFGF 又四边形 ABCD 为正方形，G，F 为 BC,AD 的中点，故 FG/CD，故 ADGF 因为ADPFFGF平面 PAD 在直角三角形 PGF 中，,/ /OEGF PFGFOEPF
22、OE平面 ABCD 同理 OH平面 PAD 因为 E 是正方形 ABCD 的中心，故球心在直线 OE 上， 因 H 是PAD的中心，故球心在直线 OH 上，故 O 为球心，OP 为球的半径 在直角三角形 PGF 中， 2234 3 4,2 3323 PHPFOHEF 故 162 21 4 33 OP 所以球的表面积为： 2 4 r 112 3 故答案为： 112 3 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c， 满足 3sin
23、cos0AA .有三个条件： 1a ； 3b ； 3 4 ABC S .其中三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题： （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积. 【答案】 （1）1； （2） 3 12 . 【解析】 （1）因为3sincos0AA，所以3tan10A ，得 3 tan 3 A ， 0A， 5 6 A ， A为钝角，与13ab 矛盾，故中仅有一个正确，正确. 显然 13 sin 24 ABC SbcA ，得3bc . 当正确时， 由 222 2cosabcbcA，得 22 2bc （无解） ； 当正确时，由于3bc ，3b ，得1c；
24、（2）如图，因为 5 6 A ， 2 CAD ，则 3 BAD ， 则 1 sin 1 2 1 2 sin 2 A AC BD D AB ADBAD S S AC ADCAD ， 11 23 33 341 ABDABC SS . 18已知数列 n a的前n项和为 n S，且22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 2 2log11 nn ba ，数列 n b的前n项和为 n T，求 n T的最小值及取得最小值时n的值 【答案】 （1）2n n a ； （2） 5 25T 【解析】 （1）当1n 时， 111 22Saa，解得 1 2a ， 当2n时， 111 222222
25、nnnnnnn aSSaaaa ， 所以 1 2 nn aa ， 所以 n a是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n a ； （2） 22 2log112log 211211 n nn ban， 所以 n b为等差数列， 所以 12 9211 10 22 n n n bbnn Tnn ， 所以当5n时， n T有最小值： 5 25T . 19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形， / /ADBC， 90ADC，平面PAD 底 面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点且3PMMC，2PAPD， 1 1 2 BCAD， =2CD. 1求证：平面PQB 平面以PAD； 2
26、求二面角M BQC 的大小. 【答案】 1证明见解析； 230. 【解析】 1/ /ADBC， 1 2 BCAD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，/ /CDBQ. 90ADC, 90AQB，即QBAD. 又平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD， BQ 平面PAD. BQ 平面PQB， 平面PQB 平面PAD. 2PAPD，Q为AD的中点， PQAD. 平面PAD 平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD， PQ 平面ABCD. 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系， 则平面BQC的一个法向量为0,0,1n ， 0,0,0Q，0,0, 3P，0,2,0B，1,2,
27、0C ， 设, ,M x y z，则, ,3PMx y z，1,2,MCxyz ， 3PMMC ， 31 3 2 33 xx yy zz ， 3 4 3 2 3 4 x y z ， 在平面MBQ中，0,2,0QB ， 3 33 , 4 24 QM ， 设平面MBQ的法向量为, ,mx y z， 则 0 0 m QB m QM ，即 20 333 0 424 y xyz ， 平面MQB的一个法向量为 1,0, 3m ， 1,0, 30,0,1 3 cos, 22 m n ， 由图知二面角为锐角，所以所求二面角大小为30. 20某学校为了解该校高三年级学生数学科学习情况，对一模考试数学成绩进行分析
28、，从中抽取了n名学生 的成绩作为样本进行统计，该校全体学生的成绩均在60140,，按照60,70，70,80，80,90， 90,100，100,110，110,120，120130,，130140,的分组作出频率分布直方图如图（1）所 示，样本中分数在70,90内的所有数据的茎叶图如图（2）所示根据上级统计划出预录分数线，有 下列分数与可能被录取院校层次对照表为表（3） 分数 50,85) 85,110) 110,150) 可能被录取院校层次 专科 本科 重本 图（3） （1）求n和频率分布直方图中的x，y的值； （2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中
29、任取 3 人，求 至少有一人是可能录取为重本层次院校的概率； （3）在选取的样本中，从可能录取为重本和专科两个层次的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用表 示所抽取的 3 名学生中为重本的人数，求随机变量的分布列和数学期望 【答案】 （1）50n，001x ，0 014y ； （2） 657 1000 （3）分布列见解析， 45 22 E 【解析】 （1）由题意可知，样本容量 3 50 0.006 10 n ， 解得 5 001 50 10 x ， 1004006 201 20203 0014 10 y （2）成绩能被重点大学录取的人数为500014001 000615人， 抽取的 50 人
30、中成绩能被重点大学录取的频率是 153 5010 ， 故从该校高三年级学生中任取 1 人为重本的概率为 3 10 记该校高三年级学生中任取 3 人，至少有一人能被重点大学录取的事件为E； 则 3 3657 11 101000 P E （3） 成绩能被重点大学录取的人数为15 人， 成绩能被专科学校录取的人数500004000627 人，故随机变量的所有可能取值为 0，1，2，3 所以， 3 7 3 22 1 0 44 C P C ； 21 715 3 22 9 1 44 C C P C ； 12 715 3 22 21 2 44 C C P C ； 03 715 3 22 13 3 44 C
31、C P C ； 故随机变量的分布列为 0 1 2 3 P 1 44 9 44 21 44 13 44 随机变量的数学期望 19211345 0123 4444444422 E 21已知椭圆 22 22 10 xy ab ab 的右焦点为 2 3,0F，离心率为e. （1）若 3 2 e ，求椭圆的方程； （2）设直线y kx 与椭圆相交于A、B两点，M、N分别为线段 2 AF、 2 BF的中点，若坐标原点O 在以MN为直径的圆上，且 23 22 e，求k的取值范围. 【答案】 （1） 22 1 123 xy ； （2） 22 , 44 . 【解析】 （1）由题意得3c ， 3 2 c a ，2
32、 3a . 又因为 222 abc， 2 3b，所以椭圆的方程为 22 1 123 xy ； （2）由 22 22 1 xy ab ykx ，得 222222 0ba kxa b. 设 11 ,A x y、 22 ,B x y，所以 12 0xx， 22 12 222 a b x x ba k ， 依题意，OMON，易知，四边形 2 OMF N为平行四边形，所以 22 AFBF. 因为 211 3,F Axy， 222 3,F Bxy， 所以 2 22121212 33190F A F Bxxy ykx x. 即 222 222 9 1 90 9 aak a ka ，将其整理为 42 2 42
33、42 188181 1 1818 aa k aaaa . 因为 23 22 e，所以2 33 2a， 2 1218a . 所以 2 1 8 k ，即 22 ,+ 44 k . 22已知函数 lnf xmxnx在 1 3 x 处有极值ln3 1 （1）求 f x的解析式； （2）若关于x的不等式 2 2281f xaxax恒成立，求实数a的取值范围 【答案】 （1） ln3f xxx； （2）1,. 【解析】 （1） lnf xmxnx， m fxn x ， 因为函数 yf x在 1 3 x 处有极值ln3 1， 得 1 30 3 fmn ， 111 lnln31 333 fmn ，解得1m，3
34、n， 所以 ln3f xxx； （2）不等式 2 2281f xaxax恒成立， 即不等式 2 22810f xaxax 恒成立， 令 22 22812ln221g xf xaxaxxaxa x ， 则不等式 0g x 对任意的0,x恒成立，则 max0g x. 2 22222112 222 axa xxax gxaxa xxx 又函数 yg x的定义域为0,. 当0a 时，对任意的0x， 0g x ，则函数 yg x在0,上单调递增 又 13 10ga，所以不等式 2 2281f xaxax不恒成立； 当0a时， 1 21a xx a gx x 令 0g x ，得 1 x a ，当 1 0,x a 时， 0g x ；当 1 ,x a 时， 0g x 因此，函数 yg x在 1 0, a 上单调递增，在 1 , a 上单调递减 故函数 yg x的最大值为 11 2ln1ga aa ，由题意得需 11 2ln10ga aa . 令 1 2ln1h aa a ，函数 yh a在0,上单调递减， 又 10h，由 0h a ，得 1h ah，1a ， 因此，实数a的取值范围是1,.
