1、1.1 模型及基态性质模型及基态性质一、一、模型和电子密度模型和电子密度二、二、单电子本征态和本征能量单电子本征态和本征能量三、三、基态和基态的能量基态和基态的能量本节主要内容：本节主要内容：一、索末菲模型和电子密度索末菲模型和电子密度(1)(1)忽略金属中的忽略金属中的电子和离子实电子和离子实之间的相互作用之间的相互作用自由电子假设自由电子假设 (free electron approximation)free electron approximation)1.1 自由电子气体模型及基态性质1.模型（基本假设）自由电子气自由电子气(自由电子费米气体自由电子费米气体)：自由的：自由的、无相互作
2、用无相互作用的的 、遵从泡利原理的电子气。遵从泡利原理的电子气。(2)(2)忽略金属中的忽略金属中的电子和电子电子和电子之间的相互作用之间的相互作用独立电子假设独立电子假设 (independent electron approximation)independent electron approximation)(3)(3)价电子速度服从价电子速度服从费米费米狄拉克分布狄拉克分布自由电子费米气体自由电子费米气体 （free electron fermi gas)free electron fermi gas)(4)(4)不考虑电子和金属离子之间的碰撞不考虑电子和金属离子之间的碰撞(No co
3、llision)No collision)2.电子密度 理想气体在温度恒定下可用气体密度来描述，与此类似，自由电子气体模型也可用电子密度n来描述，而且，n是唯一的一个独立的参量。后面大家会看到，电子的能量、动量、速度等都可以写成n的函数。电子密度n有两种常用的表示方法：a).单位体积中的平均电子数n;b).电子球的半径 rsa).电子密度电子密度n=单位体积物质的摩尔数单位体积物质的摩尔数阿伏伽德罗常数阿伏伽德罗常数原子的价电子数原子的价电子数mAnNZA其中：m是元素的质量密度；NA=6.022 ;A是元素的相对原子量；Z是单个原子提供的传导电子数2310例如：对于3价铁组成的金属晶体，电子
4、密度为：232333 7.86.022 102.52 10/56mAnNZcmAb).表示法2 将每个电子平均占据的体积等效成球，用球的半径rs来来表示电子密度的大小。表示电子密度的大小。133143,34ssVrrnNnrs的大小约为的大小约为0.1 nm量子力学中常用玻尔半径（量子力学中常用玻尔半径（Bohr radius)作为原子半径的量度单位作为原子半径的量度单位玻尔半径：玻尔半径：2100240.52910anmmeSee P4 表1.1 二、单电子本征态和本征能量 下面我们在上述自由电子费米气体模型自由电子费米气体模型的基础上讨论的基础上讨论单电子本征态和本征能量1.1.薛定谔方程
5、及其解薛定谔方程及其解 我们为计算方便设金属是边长为我们为计算方便设金属是边长为 L L 的立方体的立方体,则金属则金属的的体积体积:V=LV=L3 3,自由电子数目自由电子数目：N N,由于忽略了电子和离子实由于忽略了电子和离子实以及电子与电子之间的相互作用，则以及电子与电子之间的相互作用，则 N N 个电子的多体问题个电子的多体问题转化为转化为单电子问题单电子问题。按照量子力学假设，单电子的状态用波函数 描述()r()r满足薛定谔方程：)()()(222rrrVmLzyxzyxV ,0;0),(LzyxzyxzyxV ,0,),(以及以及因而因而薛定谔方程薛定谔方程变为：变为：22()()
6、2rrm-电子的本征能量电子的本征能量-电子的波函数电子的波函数(是电子位矢是电子位矢 的函数的函数)r 对边长为对边长为L L的的立方体立方体，在，在凝胶模型凝胶模型下可设势阱的深度是无下可设势阱的深度是无限的。取坐标轴沿着立方体的三个边，则粒子势能可表示为：限的。取坐标轴沿着立方体的三个边，则粒子势能可表示为：其中：其中：V(r)为电子在金属中的为电子在金属中的势能势能，为电子的为电子的本征能量本征能量这和电子在自由空间运动的方程一样，方程有平面波解：()ik rkrCeC C 为归一化常数，为归一化常数，由正交归一化条件：由正交归一化条件：1)(2 drrVk 31,CVVL所以，波函数
7、可写为波函数可写为：1()ik rkreVk波矢波矢，K 的方向为平面波的传播方向K与电子的电子的德布罗意波长德布罗意波长的关系为：的关系为：2k把波函数把波函数1()ik rkreV代回薛定谔方程得到电子的本征能量电子的本征能量为：222km)(22222zyxkkkm 2.电子的动量将动量算符 pi 作用于电子的波函数得1)()()(ik rkkierVirkr 所以也是动量算符的本征态电子处在1()ik rkreV时，电子有确定的动量pk3.电子的速度电子的速度pkvmm相应的能量22222212122kkmmvmm 即电子的能量和动量都有经典对应，但是，经典中的平面波矢k可取任意实数，
8、对于电子来说，波矢k应取什么值呢？4.波矢波矢k的取值的取值波矢k的取值应由边界条件来确定边界条件的选取，一方面要考虑电子的实际运动情况（表面和内部）；另一方面要考虑数学上可解。常用边界条件常用边界条件驻波边界条件驻波边界条件周期性边界条件人们广泛使用的是周期性边界条件（周期性边界条件（periodic boundary condition),又称为又称为波恩波恩-卡门（卡门（Born-von Karman)边条件边条件,x y zxy zx yLzx yzx y zx y zLL亦即：对于一维()()xLx 相当于首尾相接成环，从而既有有限尺寸，又消除了边界的存在。一维晶体周期性边界条件一维
9、晶体周期性边界条件无限多个线度无限多个线度都是都是L的势阱连接起来。在各个势阱相应的的势阱连接起来。在各个势阱相应的位置上电子的状态相同。位置上电子的状态相同。xOLL2L3L L2 三维三维情形，可想象成情形，可想象成L L3 3的立方体在三个方向平移，填满的立方体在三个方向平移，填满了整个空间，从而了整个空间，从而当一个电子运动到表面时并不被反射回来，当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是进入相对表面的对应点而是进入相对表面的对应点。波函数为行波波函数为行波，表示，表示当一个电子运动到表面时并不被反当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面射回来
10、，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来的对应点进入金属中来。二者的一致性，表明周期性边条件的合理性由周期性边界条件：由周期性边界条件：（讲解以下推导过程）（讲解以下推导过程）,x L y zx y zx y L zx y zx y z Lx y z 111LikLikLikZYxeee2;2;2;xxyyzznkLnkLnkLWhere the quantity nx,ny,nz are any integer(整数）LnknLkeAeAexLxxxxxLkixkiLkxkixxxx 2210,0,0,0,利利用用边边界界条条件件：LnkLnkzzyy 22 ；同同
11、理理可可得得：zkykxkirk izyxAeAer nx,ny,nz取值为整数，意味着波矢k取值是量子化的。所以，周期性边条件的选取，导致了波矢k取值的量子化，从而，单电子的本征能量也取分立值，形成能级。222km)(22222zyxkkkm 5.波矢波矢k空间空间(k-space)和和k空间的态密度空间的态密度 以波矢以波矢 的三个分量的三个分量 为为坐标轴坐标轴的空间称为的空间称为波矢波矢空间空间或或 空间空间。k,xyzk kkk 由于波矢k取值是量子化的，它是描述金属中单电子态的适当量子数，所以，在k空间中许可的k值是用分立的点来表示的。每个点表示一个允许的单电子态。金属中自由电子波
12、矢：金属中自由电子波矢：Lnk,Lnk,Lnkzzyyxx222 nx,ny,nz取值为整数所以，每个代表点（单电子态）在k空间是均匀分布的。由此：(1)(1)在在波矢空间波矢空间每个每个(波矢波矢)状态代表点占有的体积为：状态代表点占有的体积为：3322(22(2)xyzkkkLLLVLk(2)(2)波矢空间波矢空间状态密度状态密度(单位体积单位体积中的中的状态代表点数状态代表点数):):333312(2)()18kLVkL注意量纲三、基态和基态能量三、基态和基态能量 电子电子的分布的分布满足：满足：能量最小原理能量最小原理 和和 泡利不相容原理泡利不相容原理1.N个电子的基态、费米球、费米
13、面 我们已知在波矢空间波矢空间状态密度：状态密度：381kVk考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，则单位相体积可容纳的电子数为：332284kVV N个电子的个电子的基态基态(T=0K)，可从可从能量最低能量最低的的 k=0 态开始，态开始，从从低到高，依次填充而得到低到高，依次填充而得到,每个每个k态两个电子。态两个电子。我们已知自由电子费米气体的单电子能级的能量2 22222()()22xyzkkkkkmm22222xyzmkkk 在k空间中，具有相同能量的代表点所构成的面称为等能面，显然，由上式可知，等能面为球面。由于N很大
14、，在k空间中，N个电子的占据区最后形成一个球，即所谓的费米球（费米球（Fermi sphere)。（见（见P7图图1.2）费米球费米球相对应的相对应的半径半径称为称为费米波矢（费米波矢（Fermi wave vector).用用 kF 来表示。来表示。在k空间中，把N个电子的占据区和非占据区分开的界面叫做费米面费米面(Feimi surface)基态时(T=0k)，电子填充的最高能级,称为费米能级费米能级 F费米面示意图 =F 的等能面称为费米面费米面。(a)a)T=0k=0k 在绝对零度时，费米面以内在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有的状态都被电子占据，球外没有电子。电子。
15、(b)b)K0 T T 0时，费米球面的半径时，费米球面的半径kF比绝对零度时费米面半径小，比绝对零度时费米面半径小，此时费米面以内能量离此时费米面以内能量离 F约约kBT范围的能级上的电子被激发到范围的能级上的电子被激发到 F之上约之上约kBT范围的能级。范围的能级。EF费米能级费米能级0F基态时(T=0k)，N个电子填满整个费米球，所以：334238FkNV单位相体积可容纳的电子数费米球体积=N即：所以，费米波矢所以，费米波矢kF为为:32233FNknVn为电子密度 从而，相关的电子的费米能量费米能量 F、费米动量费米动量 pF、费米速费米速度度F、费密温度费密温度TF等都可以表示为电子
16、密度n的函数,这也就是前面我们所提到的自由电子气体模型可用电子密度n来描述，而且，n是仅有的一个独立参量的原因。22 22230(3);22FFknmm;FFFFFFBkpk vTmk0d()dlimEZZN2.能态密度(1)(1)定义定义:(2)(2)计算计算:波矢密波矢密度度两个等能面间两个等能面间的波矢状态数的波矢状态数两等能面间的两等能面间的电子状态数电子状态数能态能态密度密度 )d(23两两等等能能面面间间的的体体积积空空间间EEEkVC 两等能面间的波矢状态数两等能面间的波矢状态数：EEEd 若在能量EEEd 范围内存在Z个单电子态，则能态密度N()定义为：在在k空间空间,代表点均
17、匀分布代表点均匀分布,则求出能量分别为则求出能量分别为E和和E+E两个两个等能面之间的等能面之间的相体积相体积,乘以乘以代表点密度代表点密度和和自旋因子自旋因子2，便得到能量间隔在，便得到能量间隔在EE+E范围内的范围内的电子态数目电子态数目 Z考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，)d(22d3两两等等能能面面间间的的体体积积空空间间EEEkVZC ksVCdd2233d2d2kEVs kykxsdkdEEd Edd()ddKKkk 能态密度能态密度:d()dZN3d22kEVs2ddkkm例例1 1：求金属自由电子气的能态密度：
18、求金属自由电子气的能态密度222km)(22222zyxkkkm 金属中自由电子的能量金属中自由电子的能量2kdkdkm法1.3242(2)Vmk22342(2)()VkmNk3242(22)Vmmd()dZN3d22kEVs3 21 23(2)4mVh1 2CddZ mkE222 222mEk 法2.金属中自由电子的能量金属中自由电子的能量32422(2)Vmm23d24 k d k2VZ 所以，自由电子气的能态密度所以，自由电子气的能态密度12()dZNCdkykxEEd E23d24 k d k2VZ 3222md24d22VmZm3 21 2334(2m)d2V3212224dhmV其
19、中其中3 2224mVhC12()dZNCd在半径为在半径为k的球体积内电子的状态数为：的球体积内电子的状态数为：3324(2)3VZk3 22223Vm自由电子气的能态密度：自由电子气的能态密度：法3.d()dZN1 2C3 21 2224hmV其中其中3 2224mCVh在在k空间自由电子的等能面是半径空间自由电子的等能面是半径mEk2 的球面，的球面，注意:教材p7-8给出的是单位体积的能态密度g()()()NgV3 2224ChVm对于g()3 2224mhC只不过对于N()由于V只出现在系数C中，所以g()和N()形式一样，都和能能级的平方根级的平方根成正比12()利用能态密度，可以
20、求出自由电子气在基态时的总能量U03.基态能量基态能量自由电子气在基态时的总能量U0(费米球内所有单电子能级和）：00150020202()()5FFFUddNCC223502223202 52022435()()52510FFFFFkmUVhmVmNVkk 将3 2224;VmhC2 20;2FFkm代入323FVkN利用自由电子气在基态时的总能量U0的表示式2 50023105FFkmUVN可求得单位体积自由电子气体的基态能：基态(T=0K)时每个电子的平均能量：2052101FUkmV(1.1.24)0035FNU(1.1.25)金属中一般金属中一般 n 10102828m m-3-3，
21、电子质量电子质量m=9=91010-31-31kgkg，0F几个电子伏。几个电子伏。由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能由此可以看出即使在绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。量，这与经典的结果是截然不同的。按照按照经典的经典的自由电子气体（自由电子气体（Drude)Drude)的模型，电子的平均能的模型，电子的平均能量为量为3,02Bk TTK时，显然为零。时，显然为零。在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性在统计物理中，把体系与经典行为的偏离，称为简并性(degeneracy).因此，在因此，在T=0K时，金属自由电子气是完全简并时，金属自由电子气是完全简并的。的。这一节主要讨论了自由电子费米气体在基态这一节主要讨论了自由电子费米气体在基态(T=0K)时的时的一些性质。当一些性质。当T 0K时，电子将受到热激发，此时，时，电子将受到热激发，此时，自由电子自由电子费米气体的性质如何呢？费米气体的性质如何呢？
