1、4.3 隐函数与参数式函数的求导法则一、隐函数求导法则二、由参数方程确定的函数的求导法则三、极坐标式求导四、相关变化率问题一、隐函数求导法则31yx若由方程(,)0F x y 可确定y是x的函数,由()yf x表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,310 xy 可确定显函数57230yyxx可确定y是x的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此(,)0F x y()yf x隐函数的显化隐函数的显化再如再如,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.隐函数求导方法求导方法:0),(yxF0),(ddyxFx两边对x 求导(含导数
2、的方程)y解:方程两边对x求导得例2.求由方程03275xxyy)(xyy 在x=0处的导数.0ddxxy解:方程两边对x求导)32(dd75xxyyx得xyydd54xydd21621x025211dd46yxxy因x=0时y=0,故210ddxxy0确定的隐函数例3.求椭圆191622yx在点)3,2(23处的解:椭圆方程两边对 x 求导8xyy920y2323xyyx1692323xy43故切线方程为323y43)2(x切线方程,法线方程.法线斜率为即03843 yx法线方程为即解:解法1 应用隐函数的求导方法，得于是上式两边再对x求导，得解法2（4.15）由(4.15)两边再对x求导，
3、得联合（4.15）解得例例5.5.求)0(sinxxyx的导数.解解:解法解法1 1 两边取对数,化为隐式xxylnsinln两边对 x 求导yy1xx lncos xxsin)sinlncos(sinxxxxxyx解法解法2 2sinxyx由复合函数求导 1)对幂指函数vuy 可用对数求导法求导:uvylnlnyy1uv lnuvu)ln(uvuuvuyvvuuyvlnuuvv1说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意:2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如,)1,0,0(babaaxxbbaybax两边取对数yln两边对 x 求导yybalnxaxb baxaxxbbaybalnx
4、axbbaxlnlnlnxbalnlnaxb又如又如,)4)(3()2)(1(xxxxyuuu)ln(21lny对 x 求导21yy)4)(3()2)(1(21xxxxy41312111xxxx两边取对数2ln1lnxx4ln3lnxx11x21x31x41x例6 求下列函数的导数：(1)解:两边取对数对 x 求导(2)定义域为解:，两边取对数，得两边对 x 求导二、由参数方程确定的函数的求导法则若参数方程)()(tytx可确定一个y与x之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为由该参数方程所确定的函数，简称参变量函数.定理1（参变量函数求导法则）假设)(,)(tt在,0)()(22tt则0
5、)(t时,有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt(此时看成x是y的函数)()(tt0)(t时,有yxddyttxddddtytxdd1dd若上述参数方程中)(,)(tt二阶可导,且,0)(t则由它确定的函数)(xfy 可求二阶导数.22ddxy)dd(ddxyx)(2t)()(tt)()(tt)(t)()()()()(3ttttt )dd(ddxyttxdd)()(ddttxy)(tx利用新的参数方程,可得)()(dd22ttxy,)()(ttxydd?已知注意注意 :例例7.7.设设)(tfx,且且,0)(tf求求.dd22xy ddxy)(tft)(tf ,t dd22x
6、y1)(tf 解解:)()(tftfty例例8.8.已知已知或得即例例8.8.抛射体运动轨迹的参数方程为 1tvx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.解解:先求速度大小:速度的水平分量为,dd1vtx垂直分量为,dd2tgvty故抛射体速度大小22)dd()dd(tytxv2221)(gtvv再求速度方向(即轨迹的切线方向):设 为切线倾角,tanxyddtyddtxdd12vtgv 则yxo2212tgtvy抛射体轨迹的参数方程22121 tgtvytvx速度的水平分量,dd1vtx垂直分量,dd2tgvtytan12vt gv 在刚射出(即t=0)时,倾角为12arctanvv达
7、到最高点的时刻,2gvt 高度ygv2221落地时刻,22gvt 抛射最远距离xgvv212速度的方向yxo2vt g22vt g解解:这条曲线称为旋轮线 求由三、极坐标式求导给出，其中称为极径，称为极角，的极坐标代入，得曲线的参数方程解：，则四、相关变化率问题)(,)(tyytxx为两可导函数yx,之间有联系tytxdd,dd之间也有联系称为相关变化率相关变化率相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式对t求导得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率例11 钓鱼者站在离水面高10米的桥上，他的鱼线末端有一条鱼，设鱼在水的表面，若钓鱼者以每秒2米的速率卷起他的鱼线，试问当鱼线的长度为15米时
8、，鱼在水面移动的速率是多少？xs10由勾股定理得等式两端关于t求导数，得例12 落在平静水面的石头使水面产生同心圆水纹若最外圈的半径增长率是米秒，问在秒末时被扰动水面面积的增长率是多少？(m2秒)例例13.13.一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,其速率为,minm140当气球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少?500h解解:设气球上升t分后其高度为h,仰角为,则tan500h两边对 t 求导2sectddthdd5001已知,minm140ddth h=500m时,1tan22tan1sec,2sec2tdd14050012114.0)minrad/(思考题思考题:当
9、气球升至500 m 时停住,有一观测者以100 mmin的速率向气球出发点走来,当距离为500m 时,仰角的增加率是多少?提示提示:tanx500对 t 求导2sectddtxxdd5002已知,minm100ddtx.ddtx500,m500 x求试求当容器内水Rhxhr例例13.13.有一底半径为Rcm,高为hcm 的圆锥容器,今以 自顶部向容器内注水,scm253位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻 t 容器内水面高度为x,水的VhR231)(231xhrxrh)(33322xhhhR两边对 t 求导tVdd22hR2)(xh,ddtx而,)(25222xhRhhxhRr故tx
10、dd)scm(25dd3tV)scm(100dd2Rtx体积为 V,则R内容小结内容小结1.隐函数求导法则直接对方程两边求导2.对数求导法:适用于幂指函数及某些用连乘,连除表示的函数3.参数方程求导法极坐标方程求导4.相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式对 t 求导相关变化率之间的关系式转化转化求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式思考与练习思考与练习1.1.求螺线r在对应于的点处的切线方程.解解:化为参数方程sincosryrxcossinxyddddyddxcossinsincos当时对应点斜率xykdd222,),0(2M 切线方程为22xy22.设,)2(2)(sin32lntanxxxxxyxx求.y1y2y提示提示:分别用对数微分法求.,21yy答案答案:21yyy)1sinln(sec)(sin2tanxxxx32ln)2(31xxxx)2(32)2(3ln21xxxxx3.3.设)(xyy 由方程eyxey确定,)0(y解解:方程两边对 x 求,得0yxyyey再求导,得2yey yxey)(02 y当0 x时,1y故由 得ey1)0(再代入 得21)0(ey 求.)0(y
