1、随机变量数字特征随机变量数字特征第3章随机变量的数字特征【数字特征简介】随机变量的数字特征是概率论研究的一个既古老又年轻的重要内容。概率论的产生，其中一个主要的推动力就是对数字特征中数学期望的探究：赌金的分配问题。十七世纪中叶，两个赌徒赌博掷骰子，由于中途停止，对于赌金的分配存在异议，于是就写信向当时法国的著名的数学家帕斯卡请教。帕斯卡经过长时间的思考，终于有了进展，于是写信给数学家费马讨论，最终取得了一致的意见。这时荷兰的数学家惠更斯了解到这件事，也参加了他们的讨论。通过这次讨论，开始形成了概率论当中一个重要的概念数学期望。讨论最后，惠更斯把它写成一本书叫做论赌博中的计算（1657年），这就
2、是概率论最早的一部著作。于是，一个崭新的数学分支概率论登上了历史舞台，最早的概率论研究即由此开始。3.1 验证性实验实验一 数学期望与方差【实验目的】1加深对数学期望，方差的理解2理解数学期望，方差的意义，以及具体的应用3了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用，了解Monte Carlo 方法【实验要求】概率与频率的理论知识，Matlab软件在Matlab命令窗口输入：M,V=binostat(20,0.3)输出结果为：M=6V=4.2000【实验内容】在Matlab命令窗口输入：M,V=poisstat(3)输出结果为：M=3V=3在Matlab命令窗口输入：syms xf1=x;f2=2-
3、x;Ex=int(x*f1,0,1)+int(x*f2,1,2);Ex2=int(x2*f1,0,1)+int(x2*f2,1,2);Dx=Ex2-Ex2输出结果为：Ex=1Dx=1/6在Matlab命令窗口输入：syms x yfxy=8*x*y;Ex=int(int(fxy*x,y,0,x),x,0,1)Ey=int(int(fxy*y,y,0,x),x,0,1)输出结果为：Ex=4/5Ey=8/15在Matlab命令窗口输入：n=1000;%100 10000R=unifrnd(1,2,n,1);Er=mean(R),Dx=var(R)Es=mean(pi*R.2),Ds=var(pi*
4、R.2)输出结果为：Er=1.5019Dx=0.0802Es=7.3379Ds=7.1811在MATLAB命令窗口输入：n=1000;sele=;for ii=1:n sort=randperm(20);sele(:,ii)=sort(1:5);endsigma=sum(sele);Ex=mean(sigma),Dx=var(sigma)输出结果为：Ex=52.6530Dx=135.8564在MATLAB命令窗口输入：x=0 5 6 7 8 9 10;p=0 0.02 0.05 0.08 0.15 0.2 0.5;E=x*p输出结果为：E=8.96003.2 设计性实验实验二协方差与相关系数、
5、矩【实验目的】1.加深对协方差、协方差矩阵和相关系数的理解 2.了解协方差、协方差矩阵和相关系数的具体应用 3.了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】协方差、相关系数的理论知识，Matlab命令cov、corrcoef在Matlab命令窗口输入：x=0-1 1;y=1 2 2;cxy=cov(x,y);c=cxy(1,2)rxy=corrcoef(x,y);r=rxy(1,2)输出结果为：c=0r=0在Matlab命令窗口输入：X=-pi/2 0 pi/2;P=0.3 0.4 0.3;Ex1=sin(X)*P;Ex2=cos(X)*P;Ex1x2=sum(sin(X).*cos(X
6、).*P);cx1x2=Ex1x2-Ex1*Ex2输出结果为：cx1x2=0在Matlab命令窗口输入：syms x yfxy=8*x*y;Ex=4/5;Ex=int(int(x*f(x,y),y,0,x),x,0,1)Ey=8/15;cxy=int(int(fxy*(x-Ex)*(y-Ey),y,0,x),x,0,1)输出结果为：cxy=4/225在Matlab命令窗口输入：n=1000;A=pi/3;B=unifrnd(0,2*pi,n,1);X=cos(B);Y=cos(A+B);rxy=corrcoef(X,Y)输出结果为：rxy=1.0000 0.4949 0.4949 1.0000
7、即：和的相关系数在Matlab命令窗口输入：n=1000;A=0,pi/3,pi/2,pi;AA=sym(A);B=unifrnd(0,2*pi,n,1);X=cos(B);Y1=cos(A(1)+B);Y2=cos(A(2)+B);Y3=cos(A(3)+B);Y4=cos(A(4)+B);rxy=corrcoef(X,Y1),corrcoef(X,Y2),corrcoef(X,Y3),corrcoef(X,Y4);画图：subplot(2,2,1);plot(X,Y1,.);title(rxy=,num2str(rxy(3),A=,char(AA(1);subplot(2,2,2);plo
8、t(X,Y2,.);title(rxy=,num2str(rxy(7),A=,char(AA(2);subplot(2,2,3);plot(X,Y3,.);title(rxy=,num2str(rxy(11),A=,char(AA(3);subplot(2,2,4);plot(X,Y4,.);title(rxy=,num2str(rxy(15),A=,char(AA(4);画出图形为：可以看出，当不同值时，相应的相关系数随之变化相关系数反应了两个随机变量的线性关系的密切程度。k=1000;m=100;n=200;X=;for ii=1:m+n X(:,ii)=normrnd(0,1,k,1);
9、endU=sum(X(:,1:n),2);V=sum(X(:,m+1:m+n),2);ruv=corrcoef(U,V)输出结果为：ruv=1.0000 0.5070 0.5070 1.0000这次实验采用的是标准正态分布的例子可以通过做图的办法观察取出的点的情况在Matlab命令窗口输入：subplot(1,2,1);histfit(U);title(data U);subplot(1,2,2);histfit(V);title(data V);得到图形：3.3 设计性实验实验一 数学期望与方差【实验目的】1加深对数学期望和方差概念的理解2了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】数
10、学期望与方差的理论知识，Matlab软件1某水果商店，冬季每周购进一批苹果。已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U1000,2000。购进的苹果在一周内售出，每售出1kg获纯利1.5元；一周内没售出，1kg需付耗损、储藏等费用0.3元。问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。假设购进苹果y(kg)，收益为。故与需求量X有关，也与购进的苹果的数量y有关，即：在Matlab命令窗口输入：syms x yita1=1.5*y;%y ita2=1.5*x-0.3*(y-x);%yxphix=1/1000;Eita=simplify(int(ita2)*.(phix),x,1000,
11、y)+int(ita1*phix,x,y,2000)dif=diff(Eita,y)y=solve(dif)E=eval(Eita)输出结果为Eita=-9/10000*y2-900+33/10*ydif=-9/5000*y+33/10y=5500/3E=21252某种商品每件表面上的疵点数X服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值。在Matlab命令窗口输入：pro=;price=0 10 8;pro(2)=poisscdf(1,0.8);pro(3)
12、=poisscdf(4,0.8)-pro(2);pro(1)=1-pro(2)-pro(3)Ey=pro*price输出结果为：pro=0.0014 0.8088 0.1898Ey=9.6063在Matlab命令窗口输入：mux=22.40;sigmax=0.03;muy=22.50;sigmay=0.04;muxy=mux-muy;sigmaxy=sqrt(sigmax2+sigmay2);pxy=normcdf(0,muxy,sigmaxy)输出结果为：pxy=0.97724个人在大楼的底层进入了电梯，楼上共有层，每个乘客在任一层下电梯的概率是相同的。如到某一层无乘客下电梯，电梯就不停。求
13、直到乘客都下完时电梯停的次数的数学期望。在Matlab命令窗口输入：syms r npxi=1/n;px0=(1-pxi)r;px1=1-px0;Ex=n*px1输出结果为：Ex=n*(1-(1-1/n)r)3.2 设计性实验实验二协方差与相关系数、矩【实验目的】1加深对协方差、协方差矩阵和相关系数的理解2了解协方差、协方差矩阵和相关系数的具体应用3了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】协方差、相关系数的理论知识，Matlab软件在Matlab命令窗口输入：Ex,Dx=normstat(1,sqrt(9);Ey,Dy=normstat(0,sqrt(16);rxy=-0.5;sym
14、s x y zz=x/3+y/2;covxy=rxy*sqrt(Dx)*sqrt(Dy);Ez=Ex/3+Ey/2Dz=Dx/9+Dy/4+2*1/3*1/2*(covxy)covxz=Dx/3+covxy/2得到结果为：Ez=0.3333Dz=3covxz=0实验过程：在Matlab命令窗口输入：syms x y fxy=2*x;pu0=int(int(fxy,y,x,1),x,0,1);pu1=1-pu0;pv1=int(int(fxy,y,0,1-x),x,0,1);pv0=1-pv1;puv1=int(int(fxy,x,y,1-y),y,0,1/2);puv0=1-puv1;Eu=p
15、u1;Du=pu0*pu1;Ev=pv1;Dv=pv0*pv1;Euv=puv1;cuv=Euv-Eu*Ev ruv=cuv/sqrt(Du*Dv)输出结果为：cuv=1/36ruv=1/8实验过程：在Matlab命令窗口输入：syms xfx=1/2*exp(-abs(x);Ex=int(x*fx,-inf,+inf)Ex2=int(x2*fx,-inf,+inf);Dx=Ex2-Ex2Exx=int(x*abs(x)*fx,-inf,+inf);Eax=int(abs(x)*fx,-inf,+inf);rxx=Exx-Ex*Eax输出结果为：Ex=0Dx=2rxx=04把4个球随机地放入3
16、个袋子中，设分别表示第一和第二个袋子中的球数。实验过程：在Matlab命令窗口输入：nball=4;nbag =3;x=0:nball;y=0:nball;Y,X=meshgrid(0:nball,0:nball);fd=(nball-X-Y)=0;pp=factorial(nball)./(factorial(X).*factorial(Y).*factorial(fd.*(4-X-Y).*(1/nbag)(nball);P=pp.*fd;px=sum(P,2);py=sum(P);Ex=sum(px.*x),Ey=sum(py.*y)Ex2=sum(px.*x.2);Ey2=sum(py.
17、*y.2);Dx=Ex2-Ex2;Dy=Ey2-Ey2;sigx=sqrt(Dx),sigy=sqrt(Dy)Exy=sum(sum(P.*X.*Y);cxy=Exy-Ex*Ey;rxy=cxy/(sigx*sigy)输出结果为：Ex=1.3333Ey=1.3333sigx=0.9428sigy=0.9428rxy=-0.5000 实验过程：在Matlab命令窗口输入：syms x y fxy=6*x*y;fx=int(fxy,y,x2,1);fy=int(fxy,x,0,sqrt(y);Ex=int(x*fx,0,1);Ey=int(y*fy,0,1);Dx=int(fx*x2,0,1)-E
18、x2;Dy=int(fy*y2,0,1)-Ey2;Exy=int(int(fxy*x*y,y,x2,1),x,0,1);cxy=Exy-Ex*Ey;E=Ex,EyD=Dx,cxy;cxy,Dy输出结果为：E=4/7 3/4D=19/392,1/63 1/63,3/80实验一电视机的质量控制 3.3综合性试验 【实验目的】1.加深对数学期望和方差概念的理解，并了解其使用 2.了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】数学期望和方差的理论知识，MATLAB软件【实验内容】方差是反映随机变量取值的集中程度和随机波动剧烈程度的数字指标.可以通过求随机变量的方差，相应地进行比较判断两组或多组数据
19、的稳定情况.它的直接应用还导致了一种分析方法的出现：方差分析.随机变量的方差在质量控制方面有着重要的应用.方差越小，质量越稳定.以前，SONY牌彩电有两个产地：日本与美国。两地的工厂是按同一设计方案和相同的生产线生产同一牌号SONY电视机，连使用说明书和检验合格的标准都是相同的。譬如彩电的彩色浓度Y的目标值为，标准差（允许的波动）为5，当Y在公差范围m-5，m+5内该彩电的彩色浓度为合格，否则判为不合格。两地产的SONY牌彩电在美国市场上都能买到，到70年代后期，美国消费者购买日本产的SONY彩电的热情高于购买美国产的SONY彩电。这是什么原因呢？1979年4月17日日本朝日新闻刊登了这一问题
20、的调查报告，报告指出：日产的彩色浓度服从正态分布，而美产的彩色浓度为均匀分布。这两个不同的分布表示着两个不同的总体。这两个总体的均值相同，都为m，但方差不同。试计算各自的方差，并作出相应的解释。为什么两个工厂按同一个设计方案、相同设备生产同一种电视机，其彩色浓度会有不同的分布呢？关键在于管理者，美国SONY生产厂的管理者按彩色浓度合格范围要求操作。在他看来，只要彩色浓度在此范围内，不论它在区间的什么位置都认为合格，因而造成彩电浓度落在这个区间内任一相同长度小区间内的机会是相同的，从而形成均匀分布；但日产SONY的管理者认为，彩色浓度的最佳位置在上，他要求操作者把彩色浓度尽量向靠近，这样，彩色浓
21、度在周围的机会就多，而远离的机会就少，最后导致服从正态分布 N（m，（5/3）2）结果可以通过Matlab计算，画图观察：syms y1 y2vary1=(5/3)2;sigy1=5/3;vary2=102/12;sigy2=sqrt(vary2);normspec(-sigy1,sigy1,0,sigy1);hold onplot(-5:0.05:5,1/10,r)作出图形为：实验二报童的策略【实验目的】1.加深对数学期望和方差概念的理解，并了解其使用 2.了解MATLAB软件在模拟仿真中的应用【实验要求】数学期望和方差的理论知识，MATLAB软件实验二报童的策略【实验内容】报童每天清晨从报
22、社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。每份报纸的购进价为b元，零售价为a元，退回价为c元，。报童每售出一份报纸赚a-b元，每退回一份报纸赔b-c元。报童如果每天购进的报纸太少，不够卖时会少赚钱，如果购得太多卖不完时要赔钱。试为报童筹划每天购进报纸的数量以使得收益最大。报童应该根据需求量确定购进量，而需求是随机的，所以这是一个风险型决策问题。假定报童已经通过每天卖报的经验或其他渠道掌握了需求的分布规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率为f(r),r=0,1,2,3。有了已知的a,b,c和函数f(r)后，就可以建立购进量的优化模型了。【实验过程】假设每天报纸的购进量为n份，因为需
23、求量r是随机的，r可以小于n、等于或大于n，这就导致报童每天的收入也是随机的，所以作为优化模型的目标函数，不能是报童每天的收入函数，而应该是他长期卖报的日期望收入（日平均收入）。记报童每天购进n份报纸的期望收入为G(n),如果该天的需求量rn,则他的收入等于n(a-b).因此 syms n r x a=0.5;b=0.3;c=0.15;sig=10;u=50;fr=1/(sqrt(2*pi)*sig)*exp(-(r-u).2/(2*sig2);gnr1=r*(a-b)-(n-r)*(b-c);%rgnr2=n*(a-b);%r=ngn=int(gnr1*fr,r,0,n)+int(gnr2*fr),r,n,inf);n=solve(diff(gn,n),n);n=round(n)Ex=eval(subs(gn)输出结果为：n=52Ex=8.6259
