1、2023-1-253第五章 大数定律与中心极限定理 本章主要内容 1 极限定理的背景极限定理的背景 2 大数定律大数定律 3 中心极限定理中心极限定理2023-1-254 在第一章中我们曾指出长期实践发现，虽然个别随在第一章中我们曾指出长期实践发现，虽然个别随机事件在一次试验中可以发生，也可以不发生，具有偶机事件在一次试验中可以发生，也可以不发生，具有偶然性，但大量重复试验中却能呈现出其统计规性随着然性，但大量重复试验中却能呈现出其统计规性随着试验次数的增加，某一事件发生的频率渐渐接近于某个试验次数的增加，某一事件发生的频率渐渐接近于某个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的常数，即在这个
2、常数的附近摆动，这就是所谓的“频率频率稳定性稳定性”但对这一点，至今为止我们尚未给予理论上但对这一点，至今为止我们尚未给予理论上的说明另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松逼的说明另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?5.1 极限定理的背景 2023-1-255 要讨论随机现象的统计规律性，首先应明确在数学上要讨论随机现象的统计规律性，首先应明确在数学上怎样描述怎样描述“一定条件下大量的重复试验一定条件下大量的重复试验”前面，我们前面，我们曾建立了贝努利试验概率模型，它可以作为在一定条件曾建立了贝努利试验概率模型，
3、它可以作为在一定条件下重复试验的数学模型在下重复试验的数学模型在n次贝努利试验中，各次试验次贝努利试验中，各次试验是相互独立的，并且在每次试验中，所关心的主要问题是相互独立的，并且在每次试验中，所关心的主要问题“事件事件A发生的概率发生的概率p(A)=p”保持不变，同时认为每次保持不变，同时认为每次试验的样本空间相同试验的样本空间相同(即试验条件不变，或试验可重即试验条件不变，或试验可重复复)这些特征可以看作是从数学角度把这些特征可以看作是从数学角度把“在一定条件在一定条件下下”、“重复试验重复试验”等术语的涵义加以明确化等术语的涵义加以明确化 5.1 极限定理的背景 2023-1-2565.
4、1 极限定理的背景 2023-1-2575.1 极限定理的背景 2023-1-2585.1 极限定理的背景 2023-1-2595.1 极限定理的背景 2023-1-25105.1 极限定理的背景 2023-1-25113 中心极限定理定理的结论阐明了本节开始时所提到的“如果随机变量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随机变量通常服从正态分布或近似服从正态分布”的理论根据例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.3 中心极限定理观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙
5、蔽了事物的规律性在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的“频率”这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有“平均值”的统计稳定性显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况辛钦大数定律在应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学期望值提供了一条实际可行的途径例如，要估计某地区的平均亩产量，可收割某些有代表性的地块，比如n块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.3 中心极限定理2 大数定律3 中心极限定理3 中心极限定理3 中心极限定理6开工时每台机
6、床的耗电量均为1千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，才能以99.3 中心极限定理显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况辛钦大数定律在应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学期望值提供了一条实际可行的途径例如，要估计某地区的平均亩产量，可收割某些有代表性的地块，比如n块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理5.1 极限定理的背景 2023-1-25125.1 极限定理的背景 2023-1-2513返回返回5.1 极限定理的背景 2023-1-2514 作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛
7、的作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理论证明所用的主要工具之一论证明所用的主要工具之一 5.2 大数定律 2023-1-25155.2 大数定律 2023-1-25165.2 大数定律 2023-1-25173 中心极限定理此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理例3-4 甲乙两戏院公平竞争1000名观众设每位观众可以完全任意地选择一个戏院，且每位观众的选择相互独立问每个戏院应设置多少个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%？3 中心极限定理从而，每个戏院至
8、少应设置537个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%2 大数定律3 中心极限定理1 极限定理的背景6开工时每台机床的耗电量均为1千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，才能以99.此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理解显然两个戏院的情况是一样的，不妨只考虑甲戏院设甲戏院应设置M个座位，定义随机变量如下：Probability Theory and Mathematical Statistics定理的结论阐明了本节开始时所提到的“如果随机变量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随机变量通常服从正态
9、分布或近似服从正态分布”的理论根据2 大数定律在第一章中我们曾指出长期实践发现，虽然个别随机事件在一次试验中可以发生，也可以不发生，具有偶然性，但大量重复试验中却能呈现出其统计规性随着试验次数的增加，某一事件发生的频率渐渐接近于某个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频率稳定性”但对这一点，至今为止我们尚未给予理论上的说明另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?2 大数定律例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.2 大数定律5.2 大数定律 2023-1-25185.2 大数定律 2023-1-251
10、95.2 大数定律 2023-1-25205.2 大数定律 2023-1-25215.2 大数定律 2023-1-25225.2 大数定律 2023-1-25235.2 大数定律 2023-1-25245.2 大数定律 2023-1-25252 大数定律观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的“频率”这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有“平均值”的统计稳定性3 中心极限定理设甲戏院应设置M个座位，定义随机变量如下：此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理3
11、 中心极限定理2 大数定律例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.Probability Theory and Mathematical Statistics6开工时每台机床的耗电量均为1千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，才能以99.3 中心极限定理3 中心极限定理3 中心极限定理例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.3 中心极限定理显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况辛钦大数定律在应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学期望值提供了一条实际可行的途径例如，要估计某地区的平均亩产量，可收割某些
12、有代表性的地块，比如n块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的“频率”这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有“平均值”的统计稳定性2 大数定律2 大数定律从而，每个戏院至少应设置537个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%3 中心极限定理 显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况辛显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况辛钦大数定律在应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学钦大数定律在
13、应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学期望值提供了一条实际可行的途径例如，要估计某地区的期望值提供了一条实际可行的途径例如，要估计某地区的平均亩产量，可收割某些有代表性的地块，比如平均亩产量，可收割某些有代表性的地块，比如n块，计算其块，计算其平均亩产量，则当平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计量的一个估计 大数定律的现实意义大数定律的现实意义 观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性在大量观察中个别因个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性在大量观
14、察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的“频率频率”这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有“平均值平均值”的统计稳定性的统计稳定性5.2 大数定律 2023-1-2526 譬如，学生食堂有几千名学生就餐，尽管每个同学午餐譬如，学生食堂有几千名学生就餐，尽管每个同学午餐的饭量略有不同，且个人的饭量也有随机的波动，但正常情的饭量略有不同，且个人的饭量也有随机的波动，但正常情况下，总的平均饭量是相对稳定的因而炊事员不必每天按况下，总的平均饭量是相对稳定的因而炊事员不必每天按人登记饭量也
15、不致使做出的饭菜出现太大的余缺再比如，人登记饭量也不致使做出的饭菜出现太大的余缺再比如，对于一栋楼内使用的灯，很难预料在一天内需要更换多少被对于一栋楼内使用的灯，很难预料在一天内需要更换多少被烧毁的灯泡，但对于全校所需更换的灯泡数却能较为准确地烧毁的灯泡，但对于全校所需更换的灯泡数却能较为准确地估计，对于一个城市来说，就可更加稳定地预料估计，对于一个城市来说，就可更加稳定地预料 返回返回5.2 大数定律 2023-1-2527 大数定律断言了频率等大数定律断言了频率等“平均值平均值”的稳定性，从理论的稳定性，从理论上明确了概率的客观意义本节的中心极限定理，则要上明确了概率的客观意义本节的中心极
16、限定理，则要给出频数的渐近分布的更精确的论述给出频数的渐近分布的更精确的论述 前面几章，我们一直强调前面几章，我们一直强调正态分布正态分布的重要地位实际的重要地位实际上，客观实际中有许多随机变量服从或近似服从正态分上，客观实际中有许多随机变量服从或近似服从正态分布实践证明，有许多随机变量，他们是由大量的相互独布实践证明，有许多随机变量，他们是由大量的相互独立的随机变量立的随机变量(随机因素随机因素)综合影响所形成，但个别因素在综合影响所形成，但个别因素在总的影响中的作用却是微小的这种随机变量往往会近似总的影响中的作用却是微小的这种随机变量往往会近似服从正态分布这便是中心极限定理的客观背景中心极
17、服从正态分布这便是中心极限定理的客观背景中心极限定理就是论证限定理就是论证“在一定条件下，随机变量和的极限分布在一定条件下，随机变量和的极限分布近似服从正态分布近似服从正态分布”的一系列定理的一系列定理 5.3 中心极限定理 2023-1-25285.3 中心极限定理 2023-1-2529 此定理也称为此定理也称为林德贝格林德贝格莱维莱维(LindebergLevy)中心极限中心极限定理定理 5.3 中心极限定理 2023-1-25305.3 中心极限定理 2023-1-25315.3 中心极限定理 2023-1-25325.3 中心极限定理 2023-1-2533 定理的结论阐明了本节开始
18、时所提到的定理的结论阐明了本节开始时所提到的“如果随机变如果随机变量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随机变量通常服从正态分布或近似服从正态分布机变量通常服从正态分布或近似服从正态分布”的理论根的理论根据据 5.3 中心极限定理 2023-1-25345.3 中心极限定理 2023-1-25355.3 中心极限定理 2023-1-25365.3 中心极限定理 2023-1-25375.3 中心极限定理 2023-1-2538下面介绍另
19、一个中心极限定理，它是定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理3.1的特例的特例 5.3 中心极限定理 2023-1-25395.3 中心极限定理 2023-1-2540例例3-3 某车间有某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为原因，使得每台机床的开工率为0.6开工时每台机床的开工时每台机床的耗电量均为耗电量均为1千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，才能以才能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产？生产？5.3 中心极限定理 2023-1-25415
20、.3 中心极限定理 2023-1-25425.3 中心极限定理 2023-1-2543例例3-4 甲乙两戏院公平竞争甲乙两戏院公平竞争1000名观众设每位观众可以完名观众设每位观众可以完全任意地选择一个戏院，且每位观众的选择相互独立问每全任意地选择一个戏院，且每位观众的选择相互独立问每个戏院应设置多少个座位，才能保证因缺少座位而致使观众个戏院应设置多少个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于离去的概率小于1%？解解显然两个戏院的情况是一样的，不妨只考虑甲戏院显然两个戏院的情况是一样的，不妨只考虑甲戏院设甲戏院应设置设甲戏院应设置MM个座位，定义随机变量如下：个座位，定义随机变量如下：
21、5.3 中心极限定理 2023-1-2544根据定理根据定理3.3，10001iiMXPMXP212110002110002121100021100010001MXPii99.0105500M5.3 中心极限定理 2023-1-2545此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理本章主要内容3 中心极限定理Probability Theory and Mathematical Statistics例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.3 中心极限定理2 大数定律此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定
22、理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理3.6开工时每台机床的耗电量均为1千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，才能以99.3 中心极限定理例3-4 甲乙两戏院公平竞争1000名观众设每位观众可以完全任意地选择一个戏院，且每位观众的选择相互独立问每个戏院应设置多少个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%？2 大数定律此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理3 中心极限定理3 中心极限定理2 大数定律3 中心极限定理观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的“频率”
23、这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具有“平均值”的统计稳定性3 中心极限定理2 大数定律2 大数定律3 中心极限定理Probability Theory and Mathematical Statistics2 大数定律下面介绍另一个中心极限定理，它是定理3.定理的结论阐明了本节开始时所提到的“如果随机变量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随机变量通常服从正态分布或近似服从正态分布”的理论根据2 大数定律3 中心极限定理3 中心极限定理3 中心极限定理3 中心极限定理3 中心极限定理2 大数定律从而，每个戏院至少应设置5
24、37个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%例3-4 甲乙两戏院公平竞争1000名观众设每位观众可以完全任意地选择一个戏院，且每位观众的选择相互独立问每个戏院应设置多少个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%？3 中心极限定理从而，每个戏院至少应设置537个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%3 中心极限定理3 中心极限定理解显然两个戏院的情况是一样的，不妨只考虑甲戏院2 大数定律本章主要内容显然，贝努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况辛钦大数定律在应用中是很重要的，它为寻找随机变量的数学期望值提供了一条实际可行的途径例如，要估计某地区的平均亩产量，
25、可收割某些有代表性的地块，比如n块，计算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计设甲戏院应设置M个座位，定义随机变量如下：3 中心极限定理下面介绍另一个中心极限定理，它是定理3.定理的结论阐明了本节开始时所提到的“如果随机变量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随机变量通常服从正态分布或近似服从正态分布”的理论根据观察随机现象时是连同一切个别的特性来观察的，这些个别的特性往往蒙蔽了事物的规律性在大量观察中个别因素的影响将相互抵消而使得总体稳定除了上述的“频率”这类平均值具有稳定性之外，还有众多的随机现象也具
26、有“平均值”的统计稳定性2 大数定律定理的结论阐明了本节开始时所提到的“如果随机变量由大量相互独立的随机因素综合影响而确定，且每种个别因素在总的影响中所起的作用又都很微小，那么这种随机变量通常服从正态分布或近似服从正态分布”的理论根据3 中心极限定理解显然两个戏院的情况是一样的，不妨只考虑甲戏院例3-3 某车间有200台机床独立工作，因检修、换料等原因，使得每台机床的开工率为0.6开工时每台机床的耗电量均为1千瓦问至少要供给该车间多少千瓦电，才能以99.此定理也称为林德贝格莱维(LindebergLevy)中心极限定理Probability Theory and Mathematical Statistics从而，每个戏院至少应设置537个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%3 中心极限定理3 中心极限定理 从而，每个戏院至少应设置从而，每个戏院至少应设置537个座位，才能保个座位，才能保证因缺少座位而致使观众离去的概率小于证因缺少座位而致使观众离去的概率小于1%返回返回5.3 中心极限定理
