1、1第九章线性离散控制系统（二）自动控制原理自动控制原理29.4 线性离散系统的数学描述线性离散系统的数学描述 9.4.1 输入输出描述与状态空间描述输入输出描述与状态空间描述 9.4.2 脉冲脉冲传递函数传递函数1.离散系统的输入输出方程离散系统的输入输出方程(差分方程差分方程)()1()()()2()1()(1021mkrbkrbkrbnkcakcakcakcmnn阶（阶（n=m）差分方程）差分方程9.4.1 输入输出描述与状态空间描述输入输出描述与状态空间描述32.由输入输出差分方程求状态空间表达式：由输入输出差分方程求状态空间表达式：)2k(u5)2k(y3)1k(y2)k(y 差差分分
2、方方程程为为出出例例：已已知知系系统统的的输输入入输输)k(u5)k(y3)1k(y2)2k(y 将将差差分分方方程程改改写写为为 )k(x)k(x01)k(y)k(u50)k(x)k(x2310)1k(x)1k(x212121)k(x)1k(x21 )k(x)k(y1)k(x1)k(x2)1k(x2)k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(x 即即不唯一不唯一u(k)系统系统y(k)411011-()(-)()()()ny knay kna y ka y ku kn n阶线性离散系统的差分方程的一般形式为：阶线性离散系统的差分方程的一般形式为：)k(x1)k(x21()nx k()nx
3、k121321112111-()()()()()()()()()(-)()nnx ky kxky kx kx ky kxkxky knxk122311111()()()()()()()()nnx kx kx kx kxkxky kx k011211()()()-()()nnnxka x ka x kaxku k5120121010010000101 -()()()(),-TnnX kx kx kxkOOACbaaaau(k):离u(k):离散散系系的的入入量量(或(或控控制制量量)A,b,C：A,b,C：分分nnn,nn,n1,11,1n的n的系系。其其中中：统统输输变变变变别别为为数数阵阵1
4、()()()()()x kAx kbu ky kcx k11011-()(-)()()()ny knay kna y ka y ku k有高阶差分项，如何求？有高阶差分项，如何求？6）（前馈矩阵前馈矩阵）（输出矩阵输出矩阵）（控制矩阵控制矩阵）（系统（状态）矩阵系统（状态）矩阵个状态变量，则有个状态变量，则有个输出，个输出，个输入，个输入，设系统有设系统有pq nq pn nn D:C:B:A:)k(Du)k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(xnqp线性离散系统状态空间表达式的一般形式线性离散系统状态空间表达式的一般形式u(k)系统系统y(k)79.4.29.4.2脉冲传递函数脉冲传递
5、函数1.1.脉冲传递函数定义脉冲传递函数定义2.2.脉冲传递函数求法脉冲传递函数求法3.3.开环脉冲传递函数开环脉冲传递函数4.4.闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数81.1.脉冲脉冲传递函数定义传递函数定义（1）基本概念基本概念定义：定义：线性离散系统中，在线性离散系统中，在零初始条件零初始条件下，系统离下，系统离散输出量的散输出量的Z Z变换变换Y(z)Y(z)与离散输入量的与离散输入量的Z Z变换变换U(z)U(z)之之比，称为系统的比，称为系统的脉冲传递函数脉冲传递函数。)z(U)z(Y)z(G u(t)TG(s)u*(t)Ty*(t)z(Gy(t)U(z)G(z)Y(z)说明：在离散系
6、统中，其说明：在离散系统中，其输出量往往是时间的连续函数输出量往往是时间的连续函数，而按，而按脉冲传递函数是以输出的采样作为输出的，出于方便求取脉冲脉冲传递函数是以输出的采样作为输出的，出于方便求取脉冲传递函数的考虑，往往传递函数的考虑，往往假想在输出端存在采样开关假想在输出端存在采样开关。阶阶差差分分均均为为零零。，而而且且输输入入和和输输出出的的各各态态，不不仅仅用用前前，系系统统处处于于静静止止状状初初始始值值为为零零指指输输入入起起作作0)0(y 9从单位脉冲响应出发，来掌握脉冲传递函数的意义从单位脉冲响应出发，来掌握脉冲传递函数的意义.连续系统连续系统中，系统的中，系统的传递函数传递
7、函数可以定义为可以定义为单位脉冲响应单位脉冲响应的拉氏变换式的拉氏变换式。如将。如将(t)(t)施加在受控对象施加在受控对象G(s)G(s)的输入端，的输入端，则输出则输出111()()()()()()()y tLG s R sLG sg tR sLt（2）脉冲传递函数的物理意义）脉冲传递函数的物理意义单位脉冲信号单位脉冲信号延迟延迟T T时刻时刻(t-T)(t-T)施加在受控对象施加在受控对象G(s)G(s)的的输入端，则输出也延迟一段时间输入端，则输出也延迟一段时间T T()()y tg tT离散系统离散系统也可按此定义，输入信号为采样后的脉冲序列也可按此定义，输入信号为采样后的脉冲序列0
8、22*()()()()()()().()()u tutu TtTu TtTu nTtnT 100022()()()()()()().()()()()()()()ny tug tu T g tTuT g tTu nT g tnTy kTu nT g kn Tg kTu kT 系统的输出为一系列脉冲响应之和系统的输出为一系列脉冲响应之和求求Z Z变换变换()()()Y zU z Z g kT 0()()()()()kkY zG zZ g kTg kT zU z （2）脉冲传递函数的物理意义）脉冲传递函数的物理意义当当t=kTt=kT时时11)kT(ggk 图图中中（3）脉冲传递函数的物理意义）脉冲
9、传递函数的物理意义脉冲传递函数是脉冲传递函数是单位脉冲响应单位脉冲响应g(t)g(t)经采样后的离散经采样后的离散信号信号g g*(t)(t)的的Z Z变换变换。0knz)kT(g)t(gZ)z(Ggkg2g1t/T系统的单位脉冲响应序列系统的单位脉冲响应序列g*(t)g30 1 2g03k12（3 3）脉冲传递函数求法）脉冲传递函数求法10()(-)(-),nmijijc nTa cn i Tb rnj T为如如果果已已知知描描述述性性定定常常离离散散系系的的差差分分方方程程：线线统统10011()()()()()()nmijijijmjjjniiiC za C z zb R zzbzC z
10、G zR zaz (1).(1).已知差分方程求脉冲传递函数已知差分方程求脉冲传递函数在零初始条件下，对上式进行在零初始条件下，对上式进行Z Z变换，并应用变换，并应用Z Z变换的变换的延迟延迟定理定理，可得：，可得：13U(z)G(z)Y(z)3z2z5z3z21z5)z(U)z(Y)z(G2212 )z(Uz5)z(Yz3)z(Yz2)z(YZ221 变变换换有有行行解解：对对差差分分方方程程两两端端进进。求求系系统统的的脉脉冲冲传传递递函函数数差差分分方方程程为为出出例例：已已知知系系统统的的输输入入输输 )2k(u5)2k(y3)1k(y2)k(y )k(u5)k(y3)1k(y2)2
11、k(y 差差分分方方程程改改写写为为或或：将将输输入入输输出出)z(U5)z(Y3)z(zY2)z(YzZ2 变变换换有有进进行行同上同上)z(Gu(k)系统系统y(k)（利用延迟定理）（利用延迟定理）（利用超前定理）（利用超前定理）14（2 2）已知传递函数）已知传递函数G(s)G(s)求脉冲传递函数求脉冲传递函数G(Z)G(Z)连续系统的传递函数连续系统的传递函数G(s)G(s)脉冲响应函数脉冲响应函数g(t)g(t)按采样周期离散化按采样周期离散化g g*(t)(t)Z Z变换变换 G(z)G(z)方法二：方法二：查表查表方法一：方法一：152.开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函
12、数（1 1）两个串联环节之间有）两个串联环节之间有)z(G)z(G)z(V)z(Y)z(U)z(V)z(U)z(Y21 该结论可推广到该结论可推广到n n个环节串联，各相邻环节个环节串联，各相邻环节之间都有采样开关隔开的情况。之间都有采样开关隔开的情况。u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)z(G1G2(s)Ty*(t)z(G216T2121ezz)z(V)z(Y)z(G,1zz)z(U)z(V)z(G1s1)s(G,s1)s(G 则有则有，例：已知例：已知T21ezz1zz)z(G)z(G)z(U)z(Y u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)z(G1G2(s)Ty*(t)z(G21
13、7（2 2）两个串联环节之间）两个串联环节之间)z(GG)z(U)z(Y21 该结论可推广到该结论可推广到n n个环节直接串联的情况。个环节直接串联的情况。u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)s(G)s(G)z(GG2121Z 式中式中181s1s1)1s(s1)s(G)s(G1s1)s(G,s1)s(G2121 则有则有，例：已知例：已知)ez)(1z()e1(zezz1zz)z(GG)z(U)z(YTTT21 u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)ez)(1z(z)z(G)z(G)z(GGT22121 显然显然19（3）有零阶保持器的开环脉冲传递函数）有零阶保
14、持器的开环脉冲传递函数1()hTsGses0010111()()()()hTsezG zG G zG ssG ssZZu(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器零阶保持器)z(G很有用！很有用！2001111()()TTeG zG sszezZu(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零阶保持器零阶保持器)z(G)ez)(1z()e1(z)1s(s1)s(Gs1TT0ZZ 则则)z(Uz1813.0)z(Y)z8187.01(11 )1k(u1813.0)1k(y8187.0)k(y)1k(u1813.0)1k(y8187.0)k(y 或或差差分分方方程程为为 s
15、2.0T,1s1)s(G0 取取已知已知例：例：.例917保保持持器器不不影影响响开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数的的极极点点，仅仅影影响响开开环环脉脉冲冲传传递递函函数数的的零零点点。P P3 35 51 121（4）环节并联时的等效脉冲传递函数）环节并联时的等效脉冲传递函数（a a）若输入端有采样开关，则并联时的等效脉冲传递函）若输入端有采样开关，则并联时的等效脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的代数和；数等于各环节脉冲传递函数的代数和；(b)(b)若输入端若输入端没有没有采样开关，则不存在等效脉冲传递函数。采样开关，则不存在等效脉冲传递函数。u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)y*(
16、t)(a)G(Z)=G1(Z)+G2(Z)G1(s)u(t)G2(s)y(t)y(t)(b)(b)无等效脉冲传递函数无等效脉冲传递函数y*(t)22（1 1）在参考输入信号单独作用下）在参考输入信号单独作用下的闭环脉冲传递函数的闭环脉冲传递函数)z(GH1)z(G)z(R)z(Y TG(s)H(s)s(R)s(E)s(E)s(Y3、闭环脉冲传递函数、闭环脉冲传递函数0)z(GH1)z(GH1 特特征征方方程程为为特特征征式式为为为为开开环环传传递递函函数数；)z(GH?)z(E（a）有一个采样开关）有一个采样开关231s1)s(H,s1)s(G 例：已知例：已知)ez)(1z()e1(z)z(
17、GH1zz)z(GTT ，则有则有TT2TTeze2zz)e1(z)ez)(1z(z)z(GH1)z(G)z(R)z(Y TG(s)H(s)s(R)s(E)s(E)s(Y24（b b）有数字控制装置的采样系统）有数字控制装置的采样系统)z(GH)z(D1)z(G)z(D)z(R)z(Y D*(s)TG(s)TH(s)s(R)s(E)s(E)s(Y)s(U)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G)s(G0h0h 构成，即构成，即和受控对象和受控对象一般由零阶保持器一般由零阶保持器：特特征征方方程程：特特征征式式：开开环环传传递递函函数数；0)z(GH)z(D1)z(GH)z(D1)z(GH)z(
18、D （1 1）在参考输入信号单独作用下）在参考输入信号单独作用下的闭环脉冲传递函数的闭环脉冲传递函数25说明：闭环系统中采样开关的位置（当输入端没有采样开说明：闭环系统中采样开关的位置（当输入端没有采样开关），有可能不能获得闭环脉冲传递函数关），有可能不能获得闭环脉冲传递函数,只能获得输出只能获得输出的的Z Z变换变换)()()()()()()()()()(*sCsHsGsRsGsCsHsRsGsC系统输入系统输入G(s)(tc)(*tcH(s)(tr)(tb)(te)(*tc)()()()(*sCsGHsGRsC)(1/)()(*sGHsGRsC)(1)()(zGHzGRzC等式两边分别进行
19、离散等式两边分别进行离散26（2 2）参考输入信号参考输入信号和和扰动同时作用扰动同时作用的采样控制系统的采样控制系统D*(s)TG1(s)TH(s)s(R)s(E)s(E)s(N)s(U G2(s)s(Y)z(HGG)z(D1)z(NG)z(R)z(HGG)z(D1)z(GG)z(D)z(Y2122121 )z(HGG)z(D1)z(NHG)z(R)z(HGG)z(D11)z(E21221 思考：计算过程有何规律？思考：计算过程有何规律？27一种常见情况一种常见情况:扰动作用在输出端扰动作用在输出端D*(s)TG(s)TH(s)s(R)s(E)s(E)s(N)s(U)s(Y)z(GH)z(D
20、1)z(N)z(R)z(GH)z(D1)z(G)z(D)z(Y )z(GH)z(D1)z(HN)z(R)z(GH)z(D11)z(E 28D*(s)TGh(s)TH(s)s(R)s(E)s(E)s(N)s(U G2(s)s(Y。求求对对应应的的输输入入作作用用下下的的，并并或或取取何何值值时时，闭闭环环极极点点为为）采采样样周周期期同同上上，（；下下的的作作用用，分分别别求求输输入入和和扰扰动动，）设设采采样样周周期期（；）求求（例例：已已知知)k(y11K)k(y1K2.0T)z(Y,s5.0)s(N,s1)s(R,K)z(D,1)s(H,1s1)s(G,se1)s(G2Th 3 21 29
21、1zz)e1(Kez)e1)(5.0K()e1(Kez)1z/()e1(z5.01zz)e1(Kez)e1(K)z(HGG)z(D1)z(NG)z(R)z(HGG)z(D1)z(GG)z(D)z(YTTTTTTTTT2h22h2h )ez)(1z()e1(z5.0)z(NG,eze1)z(HGG)z(GGTT2TT2h2h 1）（解：解：D*(s)TGh(s)TH(s)s(R)s(E)s(E)s(N)s(U G2(s)s(Y306374.0zz5.01zz5.01zz6374.0z1813.01zz)e1(Kez)e1(K)z(Y1K,2.0TTTT 2时，输入响应为时，输入响应为）（,2,1
22、,0k,)6374.01(5.0)k(yk y(k)y(k)收敛于收敛于0.50.5极点在单极点在单位圆内位圆内31)6374.0zz1zz(25.0)1z)(6374.0z(z0906.0)e1(Kez)1z/()e1(z5.0)z(YTTT 扰动响应为扰动响应为,2,1,0k,)6374.01(25.0)k(yk y(k)y(k)收敛于收敛于0.250.25321zz1z1813.01zz)e1(Kez)e1(K)z(Y1K1)e1(Ke1TTTTT 3对对应应的的输输入入响响应应为为时时，有有闭闭环环极极点点为为）（,2,1,0k,k1813.0)k(y y(k)y(k)发散发散与T无关
23、-0.1813e(-0.2k)？33K在什么范围内取值时在什么范围内取值时 y(k)收敛？收敛？)1zz1zz(9094.01zz1z8187.11zz)e1(Kez)e1(K)z(Y,033.10e1e1K1)e1(Ke1TTTTTTT 对应的输入响应为对应的输入响应为时，时，闭环极点为闭环极点为,2,1,0k,)1(19094.0)k(yk y(k)y(k)振荡振荡349.4.3 离散系统模型之间的相互转换离散系统模型之间的相互转换 由由 脉冲传递函数求状态空间表达式脉冲传递函数求状态空间表达式 由状态空间表达式求脉冲传递函数由状态空间表达式求脉冲传递函数351.由脉冲传递函数求状态空间表
24、达式：由脉冲传递函数求状态空间表达式：)z(a)z(b6z5z2z4z3z2)z(U)z(Y)z(G232 例例：)z(H)z(b)z(U)z(a)z(b)z(Y1 则则)z(U)z(H)z(a)k(u)k(h6)1k(h5)2k(h2)3k(h )k(x2)1k(x3)k(x1)k(x3引入中间引入中间变量变量 h(k)k(h4)1k(h3)2k(h2)k(y )k(x)1k(x21 )k(x)1k(x32 初值为零初值为零)k(x4)k(x3)k(x2123 不唯一不唯一36可控规范形，可直接可控规范形，可直接由传递函数或差分方由传递函数或差分方程写出程写出 )k(x)k(x)k(x234
25、)k(y)k(u100)k(x)k(x)k(x256100010)1k(x)1k(x)1k(x321321321所以状态空间模型为所以状态空间模型为6s5z2z4z3z2)z(U)z(Y)z(G232 )k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(x )k(u4)1k(u3)2k(u2)k(y6)1k(y5)2k(y2)3k(y 372.由状态空间表达式求脉冲传递函数：由状态空间表达式求脉冲传递函数：唯一唯一u(k)系统系统y(k)z(G)z(U)z(YDB)AzI(C)z(G1 变换可得变换可得进行进行对状态空间表达式对状态空间表达式Z)k(Du)k(Cx)k(y)k(Bu)k(Ax)1k(x 38 练习练习 B9.6,(1),(4);B9.6,(1),(4);B9.7,(a),(b);B9.7,(a),(b);B9.9;B9.9;
