1、1 在第十一章中，我们得到了期权价值所满足的偏微分方程，并解出了特定条件下的期权解析定价公式。但在很多情形中，我们无法得到期权价值的解析解，这时人们经常采用数值方法（Numerical Procedures）为期权定价，主要包括二叉树方法（Binomial Trees）、蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。在这一章里，我们将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达，本章中统一假设当前时刻为零时刻。21、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ；SuSu 把期权的有效期分为很多很小的时间间隔
2、，并假设在每一个时间间隔 内证券价格只有两种运动的可能：2、下降到原先的 倍，即 dSdt t相应地，期权价值也会有所不同，分别为 和 。ufdf3二叉树模型的思想实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的资产价格运动 相同期限下步长越小精确度越高4无套利定价法：构造投资组合包括 份股票多头和1份看涨期权空头当 时,股票价格的变动对组合无影响则组合为无风险组合SuuSdfd 此时 udffSuSd 因为是无风险组合，可用无风险利率贴现，得r tuSfSufe 将 代入上式就可得到：udffSuSd 1r tudfepfp f 其中 dudeptr5在风险中性世界里：（1）所有可交易证券的
3、期望收益都是无风险利率；（2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下,参数值满足条件：SdppSuSetr)1(dppuetr)1(假设证券价格遵循几何布朗运动，则：22222222)1()1(dppuSdSpupStS2222)1()1(dppudpput再设定：（第三个条件的设定则可以有所不同，这是Cox、Ross和Rubinstein所用的条件）1ud由以上三式可得，当 很小时：tdudeptrteuted从而 1r tudfepfp f 以上可知，无套利定价法和风险中性定价法具有内在一致性。6 得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价法，从树型
4、结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。如果是欧式期权，可通过将 时刻的期权价值的预期值在 时间长度内以无风险利率 贴现求出每一结点上的期权价值；如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提前执行期权和继续再持有 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例 12.1）Ttrt倒推定价法倒推定价法7二叉树一般定价过程二叉树一般定价过程假设把该期权有效期划分成N个长度为 的小区间，同时用 表示结点 处的证券价格可得：，其中若期权不被提前执行，后，则：所以 实际上表示在时间 时第j个结点处的美式看跌期权的价值若有提前执行的可能性，则这样推至 即
5、为当前期权的价格。tjijdSu),(jimax(,0)jNjNjfXSu d，0,1,jNt1,11,(1)r tijijijfepfp f)0,0(ijNifijti1,11,max,(1)jijr tijijijfXSu depfp f 00f8当标的资产支付连续收益率为 的红利时，在风险中性条件下，证券价格的增长率应该为，因此：qrqdppuetqr)1()(dudeptqr)(teuted对于股价指数期权来说，为股票组合的红利收益率；对于外汇期来说，为国外无风险利率，因此以上式子可用于股价指数和外汇的美式期权定价。qq9 可通过调整在各个结点上的证券价格，算出期权价格；如果时刻 在除
6、权日之前，则结点处证券价格仍为：ijdSujij,1,0,ti如果时刻 在除权日之后，则结点处证券价格相应调整为：tijijduS)1(0,1,ji若在期权有效期内有多个已知红利率，则 时刻结点的相应的证券价格为：jijiduS)1(ti（为0时刻到 时刻之间所有除权日的总红利支付率）iti10 如何解决节点不重合的问题11 假设在期权有效期内只有一次红利，除息日在0到之间，则在it时刻不确定部分的价值为：*()()S i tS i t 当 时i t*()()()ri tS i tS i tDe 当 时（表示红利）i t 综上可得在 时刻：当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：tii t*
7、()0ji jri tS u dDe 0,1,ji当 时，这个树上每个结点对应的证券价格为：ti*0ji jS u d0,1,ji（为零时刻的 的值）*0S*S 在已知红利额的情况下在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我我们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权有效期内所有未来红利的现值。有效期内所有未来红利的现值。12（一）的二叉树图（二）三叉树图（三）控制方差技术（四）适应性网状模型 0.5p 13的二叉树图的二叉树图0.5p 在确定参数 、和 时，不
8、再假设 ，而令 ，可得：pud1ud0.5p 222r qttue 222r qttde 该方法优点在于无论 和 如何变化，概率总是不变的 t14三叉树图三叉树图 每一个时间间隔 内证券价格有三种运动的可能：1、从开始的 上升到原先的 倍，即到达 ；2、保持不变，仍为 ；3、下降到原先的 倍，即tSuSuSdSd15一些相关参数：一些相关参数：3 tue1du2211226dtprq 2211226utprq23mp 16控制方差技术控制方差技术 基本原理：期权A和期权B的性质相似，我们可以得到期权B的解析定价公式，而只能得到期权A的数值方法解。假设：,代表期权B的真实价值，表示关于期权A的较
9、优估计值，和 表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的估计值）则期权A 的更优估计值为：BBffAAffBfAfAfBfAAffBBff17适应性网状模型适应性网状模型 在使用三叉树图为美式期权定价时，当资产价格接近执行价格时和接近到期时，用高密度的树图来取代原先低密度的树图。即在树图中那些提前执行可能性较大的部分，将一个时间步长 进一步细分，如分为 ，每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程 t4t18二叉树图模型的基本出发点：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动可能遵循的路径。模型中隐含导出的概率是风险中性世界中
10、的概率 ，从而为期权定价。p取当前时刻为 ，在给定参数 、和 的条件下，当 时，二叉树公式：ttpud0t ,1,r tf S ttpf Su tp f Sd te 可以在 进行泰勒展开，最终可以化简为：,S t22221,02fffS trSS tSS trf S tottSS在在 时，二叉树模型收敛于布莱克舒尔斯偏微分方程。时，二叉树模型收敛于布莱克舒尔斯偏微分方程。0t 二叉树与二叉树与B-SB-S方程的一致性方程的一致性19Monte Carlo:Based On Probability&Chance基本思路：由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回报(payoff)的期望值的贴
11、现；因此，尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结果下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。20 随机路径随机路径：在风险中性世界中，为了模拟路径，我们把期权的有效期分为N个长度为时间段，则上式的近似方程为 dSr q SdtSdz 2lnln2S ttS trqtt 2exp2S ttS trqtt 或（是从标准正态分布中抽取的一个随机样本）重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的重复以上的模拟至足够大的次数，计算回报值的平均值，折现后就得到了期权的期望值。期望值。特别地，当我们要用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只特
12、别地，当我们要用蒙特卡罗模拟为欧式期权定价时，由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关，因此我们就可以让与期权到期时刻的股票价格有关，因此我们就可以让t t=T=T并直接利用公式并直接利用公式（12.1112.11）来求）来求T T时刻的股票价格。这样可以大大节省计算时间时刻的股票价格。这样可以大大节省计算时间。t21随机样本的产生和模拟运算次数的确定：1.的产生 是服从标准正态分布的一个随机数。如果只有一个单变量，则可以通过下式获得：其中 是0到1的相互独立的随机数。2.模拟运算次数的确定如果对估计值要求95的置信度，则期权价值应满足 （是进行运算的次数，为均值，是标准差）1216iiRi
13、R112i 1.961.96fMMM22主要优点：1.在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡罗模拟方法，而无需对期权定价模型有深刻的理解 2.蒙特卡罗模拟的适用情形相当广泛主要缺点：1.只能为欧式期权定价，难以处理提前执行的情形。2.为了达到一定的精确度，一般需要大量的模拟运算。23222212fffrSSrftSS转化为一系列近似的差分方程，即用离散算子逼近 、和 各项，之后用迭代法求解，得到期权价值。具体地说，有限差分方法就是用有限的离散区域来替代连续的时间和资产价格在坐标图上，有限差分方法则体现为格点（Grids）ftfS22fS主要思想是：应用有限差分方法将衍生证券所满足的偏微分方
14、程24可以理解为从格点图内部向外推知外部格点的期权价值。如图所示：下面介绍一下 、和 的差分近似。ftfS22fS251.的近似对于坐标方格内部的点 ，期权价值对资产价格的一阶导数可以用三种差分来表示：、和2.的近似对于 点处的 ，我们则采取前向差分近似以使 时刻的值和 时刻的值相关联：3.的近似点 处的 的后向差分近似为 ，因此点(i,j+1)处期权价值对标的资产价格的二阶差分为这个二阶差分也是中心差分，其误差为 。fS,i j,1,i ji jffS,1i ji jffS,1,12i ji jffSft,i jfti t1it1,iji jffftt22fS,1i jfS,1,i ji j
15、ffS,1,12,1,1,222i ji ji ji ji ji ji jfffffffSSfSSS2oS26差分方程差分方程把以上三个近似代入布莱克舒尔斯偏微分方程，整理得到：其中，,1,11,ji jji jji jija fb fc ff221122jarj tjt 221jbjtr t 221122jcrj tjt 0,1,.,1iN0,1,.,1jM27边界条件边界条件1.时刻看跌期权的价值为 其中 2.当股票价格为零时，下方边界上所有格点的期权价值：3.当股票价格趋于无穷时 T,max,0N jTfXSTSj S 0,1,.,jM0S,0ifX0,1,.,iN,0i Mf0,1,.
16、,iN28求解期权价值求解期权价值：联立 个方程：和 时，时，解出每个 的期权价值最后可以计算出最后可以计算出 ，当，当 等于初始资产价格时，该格点对应的等于初始资产价格时，该格点对应的 就是我们要求的期权价值。就是我们要求的期权价值。1M 1,11,1,1,jNjjNjjNjN ja fb fc ff1,.,1jM0j 1,0NfXjM1,0NMf1,Njf0,jfj Sf29其中 即直接从 时刻的三个相邻格点的期权价值求出 时刻资产价格为 时的期权价值，可理解为从格点图外部推知内部格点期权价值的方法*,1,11,1,1i jjijjijjijfa fb fc f*22111122jarj
17、tjtr t *22111jbjtr t*22111122jcrj tjtr t 1iti tj S显性有限差分法显性有限差分法30有限差分方法有限差分方法树图方法树图方法相同点：两种方法都用离散的模型模拟资产价格的连续运动不同点：树图方法中包含了资产价格的扩散和波动率情形；有限差分方法中的格点则是固定均匀的，只是参数进行了相应的变化，以反映改变了的扩散情形。31隐 性 有 限隐 性 有 限差分方法差分方法显 性 有 限显 性 有 限差分方法差分方法 显性方法计算比较直接方便，无需像隐性方法那样需要求解大量的联立方程，工作量小，易于应用。但是，显性方法存在一个缺陷：它的三个“概率”可能小于零，
18、导致了这种方法的不稳定，它的解有可能不收敛于偏微分方程的解。而隐性方法则不存在这个问题，它始终是有效的。变量置换：在使用有限差分方法时，人们常常把标的变量 置换为。这样偏微分方程改为SlnZS2222122fffrrftZZ32有限差分方法还可以进一步推广到多个标的变量的情形；在标的变量小于三个的时候，这一方法是相当有效率的；但是超过三个变量时蒙特卡罗模拟方法就更有效了。同时有限差分方法也不善于处理期权价值取决于标的变量历史路径的情况。33假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值。答案：为了构造二叉树，我们把期权有效期分为五段，每段一个月（等于0.0833年）。根据式（8.4）到（8.6），可以算出：4924.015076.08909.01224.1pdudepedeutrtt（结点处上面一个表示股票价格，下面一个表示期权价值）34 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益率为14，收益波动率为每年20，时间步长为0.01年，则根据式（8.12）有 通过不断从标准正态分布样本中抽取 的值，代入上式，我们可以得到股票价格运动的一条路径。0.14 0.010.2 0.01SSS
