1、第三章第三章 z z变换及离散系变换及离散系统的频域分析统的频域分析课程名称：数字信号处理课程名称：数字信号处理任课教师：张培珍任课教师：张培珍授课班级：信计授课班级：信计1081-1082 3.1 z3.1 z变换变换124533.5 3.5 序列的傅里叶变换及性质序列的傅里叶变换及性质3.4 z3.4 z变换与拉氏变换和傅里叶变换的关系变换与拉氏变换和傅里叶变换的关系 3.3 z3.3 z变换的性质和定理变换的性质和定理3.2 z3.2 z反变换反变换 3.6 3.6 离散系统的频域分析离散系统的频域分析673.7 3.7 综合实例综合实例引言引言离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离
2、散时间系统3信号与系统信号与系统的分析方法的分析方法时域分析法时域分析法频域分析法频域分析法拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换Z变换变换DFT变换变换复频域连续离散z变换的定义变换的定义 3.1 z3.1 z变换变换()()nnX zx n z离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统3Z变换变换Matlab函数函数:F=ztrans()Z逆变换逆变换Matlab函数函数:F=itrans()0)()(nnznxzX双边：单边：z z变换的收敛域变换的收敛域对于任意给定序列对于任意给定序列x x(n n)，使其，使其z z变换收敛的变换收敛的z z平面上所平面上所有有z z
3、值的集合称为值的集合称为z z变换的收敛域。变换的收敛域。收敛域一般用环状域来表示，其中取值可为零，取值收敛域一般用环状域来表示，其中取值可为零，取值可为无穷大，如图所示。可为无穷大，如图所示。序列序列x x(n n)的的z z变换绝对收敛变换绝对收敛的条件是绝对可和，即的条件是绝对可和，即()nnx n z 3.1 Z变换变换3例例1,11)(,1,)()()(Z),()(1100zzzXzzzXzznuzxnunxnnnnnn此此时时即即存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是变变换换求求其其3.1 Z变换变换3讨论几类序列讨论几类序列Z变化的收敛域变化的收敛域 1.1.有限长序列有限长序
4、列其其z z变换为变换为12()()0 x nnnnx n，其他21()()nnn nX zx n z3.1 Z变换变换30n2n1n (n).x，必有是有界的，考虑到因为：，只要若要nnnnnnnnnnnnnnnzznxnxMnnznxznxznxznx,)()()()()(M)()(12212121保证保证|z-n|下面分四种情况来考虑其收敛域。下面分四种情况来考虑其收敛域。3.1 Z变换变换3 平面”。即所谓“有限，外的开域也就是除收敛域收敛域，特殊收敛域，收敛域，收敛域，zzzzznnnznnznnznn),0(,000,0,0)4(0,0,0)3(0,0,0)2(0,0,0)1(21
5、212121例例3.13.1序列序列 如图如图3.83.8所示，求其所示，求其z z变换及收敛域。变换及收敛域。解解 这是一个有限序列，其这是一个有限序列，其z z变换为变换为 431234101()()11nnnnzX zR n zzzzzz 其收敛域为其收敛域为0|0|z z|，即除原点之，即除原点之外的整个外的整个z z平面，如图平面，如图3.93.9所示。所示。图图3.83.8序列序列 4()()x nR n4()R n图图3.9 3.9 序列序列 的收敛域的收敛域 4()R n3.1 Z变换变换32.2.右边序列右边序列1110()()()()nnnn nn nnX zx n zx
6、n zx n z第一项为有限长序列，其收敛域为第一项为有限长序列，其收敛域为 ；第二项为；第二项为z z的负幂级数，其收敛域为的负幂级数，其收敛域为 ,即以即以 为半径的圆外，为半径的圆外，其中其中 。只有两项都收敛时，该只有两项都收敛时，该z z变换才收敛。一般而言，右边序变换才收敛。一般而言，右边序列的收敛域为列的收敛域为 。0z XRz XR0XRXRz 3.1 Z 变换变换3x(n)n0n1.1.当时当时 ，此时的右边序列就是因果序列，其收敛域此时的右边序列就是因果序列，其收敛域为为 。10n XRz 例例3.2 3.2 求序列求序列 的的z z变换及收敛域。变换及收敛域。()()nx
7、 na u n解解 这是一个右边序列，其这是一个右边序列，其z z变换为变换为 111 2100()()()1()()nnnnnnnnnX za u n za zazazazaz 只有当只有当 时时，即，即 ，该序列，该序列收收敛。敛。此时此时 11azza只有当101()1nnnzX za zazza收敛域为收敛域为 ，即半径，即半径 的圆外部。的圆外部。zaa收敛域为3.1 Z变换变换33.3.左边序列左边序列2201()()()()nnnnnnnnX zx n zx n zx n z第二项为有限长序列，其收敛域第二项为有限长序列，其收敛域 ；第一项为；第一项为z z的的正幂级数，其收敛域
8、为正幂级数，其收敛域为 ,即以即以 为半径的圆内。为半径的圆内。只有两项都收敛时，该只有两项都收敛时，该z z变换才收敛。一般而言，左边序变换才收敛。一般而言，左边序列的收敛域为列的收敛域为 。当时当时 ，其收敛域为，其收敛域为 。0z 0XzRXR0XzR20n 0XzR,即以。当。3.1 Z变换变换3x(n)0n n2例例3.3 3.3 求序列求序列 的的z z变换及收敛域。变换及收敛域。()(1)nx na un 解解 这是一个左边序列，其这是一个左边序列，其z z变换为变换为 1110()1()nnnnnnnnX za zaza z 显然，只有当显然，只有当 时，即时，即 ，该序列才收
9、敛。，该序列才收敛。因此因此 11a zza11()11zX za zza 其收敛域为其收敛域为 ，即半径，即半径 的圆内部分的圆内部分 zaa图图3.11 3.11 收敛域收敛域 3.1 Z变换变换34.双边序列双边序列10()()()()nnnnnnX zx n zx n zx n z只有当只有当 时，双边序列时，双边序列z z变换才存在，其收敛域变换才存在，其收敛域为为 ，即为一环状域。若，即为一环状域。若 ，则无公共，则无公共收敛域，收敛域，不存在。不存在。XXRRXXRzRXXRR()X z0XzRXRz 3.1 Z变换变换30nx例例3.4 已知双边序列已知双边序列 ，b为实数，求
10、为实数，求X(z)。()nx nb解解 这是一个双边序列，其这是一个双边序列，其z z变换为变换为 0()0nnnbnx nbbn 1120()()()nnnnnnnnnX zb zbzb zXzXz1111()11nnnnnnbzXzbzb zbzzbzb或12101()11nnnzXzb zbzzbbzzb或3.1 Z变换变换3(1)(1)若若 ，则存在公共收敛域，则存在公共收敛域 1b 121()()()1|bzzX zXzXzbzbzzbb(2)(2)若若 ，则不存在公共收敛域，则不存在公共收敛域，X X(z z)不不存在。存在。1b 3.1 Z变换变换33.1 Z变换变换3问题：(n
11、)，u(n)属于哪一种序列（单边、双边、有限长）？其Z变换、收敛域如何？平面，充满整个即其收敛域包括时的有限长序列解：这相当变换及收敛域的求序列Z0,01)()(0z021zzzZZnnZnnnnxnn总结：总结：有限序列全有限序列全z面，零和无穷要察看；面，零和无穷要察看；右边序列圆外面，因果敛至无穷远；右边序列圆外面，因果敛至无穷远；左边序列圆里面，逆向因果含零点；左边序列圆里面，逆向因果含零点；双边序列是圆环，边界考虑零极点。双边序列是圆环，边界考虑零极点。3.1 Z变换变换3zzzzzzzzznRzXnNNNNnnnnN0,)1(111)()(1110收敛域为画出零极点图变换及其收敛域
12、的求,Z)()(nRnxN3.1 Z变换变换3RezjImz半径半径R=1的圆的圆2 1,.,1rjNzerN零点：01zN极点：（）阶N-1阶阶例：3.1 Z变换变换33.1 Z变换变换33.2 3.2 序列序列x x(n n)z z反变换反变换11()()d(,)2jnxxcx nX z zzcRR 其中其中c c是在是在X X(z z)的收敛域内一条绕原点的逆时针闭合单的收敛域内一条绕原点的逆时针闭合单围线。围线。求求z z反变换的方法通常有反变换的方法通常有留数法留数法、幂级数法和部分分式法三种。幂级数法和部分分式法三种。3.2 Z 反变换反变换3若若X X(z z)是是z z的有理函
13、数，利用留数定理来计算围线积分。其的有理函数，利用留数定理来计算围线积分。其中中X X(z z)z zn n-1-1须在围线上连续，在围线以内有须在围线上连续，在围线以内有K K个极点个极点z zk k，而在，而在围线以外有围线以外有M M个极点个极点z zm m。111()(Res)d2j()kncnz zkx nXzX z zz z11R1()()es(d2)jmnz zmncX z zx nX z zz 则有则有或或注意在公式注意在公式(3.12)(3.12)中，必须满足中，必须满足X X(z z)z zn n-1-1的分母多项式的分母多项式z z的阶次要比分子多项式的阶次要比分子多项式
14、z z的阶次高二阶或二阶以上。的阶次高二阶或二阶以上。(3.12)(3.11)3.2.1 留数法留数法3z zk k是是X X(z z)z zn n-1-1的极点，其对应的留数计算方法是：的极点，其对应的留数计算方法是：(1)(1)z zk k是是X X(z z)z zn n-1-1的单阶极点的单阶极点 11Res()()()kknnz zkz zX z zzzX z z(2)(2)z zk k是是X X(z z)z zn n-1-1的的 l 阶极点阶极点11111dRes()()()(1)!dkklnlnz zkz zlX z zzzX z zlz3.2.1 留数法留数法3例例3.5 3.5
15、 ，设收敛域，设收敛域 ，试用留，试用留数法求数法求x x(n n)。10()(1)(2)zX zzz|2z 解解 由收敛域可知由收敛域可知x x(n n)是一个右边序列。是一个右边序列。11111()()ddd2j2j21010(1)(2)(1)(2)jnncccnzzzzx nX z zzzzzzz式中，围线式中，围线c c是半径大于是半径大于2 2的围线，如图的围线，如图3.133.13所示。所示。图图3.13 3.13 例例3.53.5的围线的围线 3.2.1 留数法留数法3110()(1)(2)nnzX z zzz从从X X(z z)z zn n-1-1的表达式可以看出，当的表达式可
16、以看出，当 时，有两个一时，有两个一阶极点阶极点 和和 ，当，当 时有两个一阶极点时有两个一阶极点 和和 及及n n阶极点阶极点 。0n11z 22z 0n11z 22z 30z 当当 时，时，0n 121112()Res()Res()1010(1)(2)(1)(2)(1)(2)10 10 2nnz zz znnzznx nX z zX z zzzzzzzzz 3.2.1 留数法留数法3当当 时，可用式时，可用式(3.12)(3.12)求留数，其留数为零。求留数，其留数为零。0n10 10 20()0nnx nn()(10 10 2)()nx nu n 所以所以或或3.2.1 留数法留数法3把
17、把X(z)按按z-1展成幂级数，即展成幂级数，即 其级数的系数就是序列其级数的系数就是序列x(n)。常用方法有常用方法有按幂级数公式展开法和长除法。按幂级数公式展开法和长除法。12()(1)(0)(1)(2)X zxzxxzxz3.2.2 幂级数法幂级数法3部分分式法是将部分分式法是将X(z)表达式展开成常见部分分式表达式展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的之和，然后分别求各部分的z z反变换，最后把各反变换，最后把各z z反变换相加即可得到。即反变换相加即可得到。即 12()()()()()()KA zX zXzXzXzB z12()IZT()IZT()IZT()IZT()Kx nX
18、zXzXzXz则则3.2.3 部分分式法部分分式法3例例3.11 3.11 若已知若已知 ，设收敛域，设收敛域 ，试用部分分式法求试用部分分式法求x x(n n)。10()(1)(2)zX zzz|2z 解解 由由X X(z z)的表达式可以看出，存在的表达式可以看出，存在 和和 两两个单阶极点。个单阶极点。11z 22z 121110()(1)(2)(1)(1 2)zAAX zzzzz111110(1)()(1)(1)(2)zzzAzX zzz zz 122210(1 2)()(2)(1)(2)zzzAzX zzz zz所以所以11101010()(1)(2)(1)(1 2)zX zzzzz
19、查表查表3-13-1，可得到，可得到 ()10()10 2()(10 10 2)()nnx nu nu nu n 3.2.3 部分分式法部分分式法31 1线性线性若若 ZT()(),ZT()(),xxyyx nX zRzRy nY zRzR则有则有 ZT()()()()ax nby naX zbY z2 2序列的移位序列的移位若若ZT()(),xxx nX zRzRZT()(),mxxx nmzX zRzR则有则有max(,)min(,)xyxyRRzRR3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理3例已知 ,求其z变换。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(
20、1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理33 3序列的翻褶序列的翻褶若若 ZT()(),xxx nX zRzR则有则有111ZT()(),xxxnXzzRR4.4.乘以指数序列乘以指数序列若若ZT()(),xxx nX zRzR则有则有ZT()(),nxxza x nXa Rza Ra3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理35.5.序列乘以序列乘以若若nZT()(),xxx nX zRzR d
21、ZT()dxxznx nzRzRz 则有则有6.6.复序列的共轭复序列的共轭若若ZT()(),xxx nX zRzR则有则有*ZT()()xxx nXzRzR3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理37.7.初值定理初值定理 若若x x(n n)为因果序列，则有为因果序列，则有(0)lim()zxX z3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理3)0()(lim,)2()1()0()()()(210 xzXzxzxxznxznxzXznnnn显然3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理38.8.终值定理终值定理 如果如果x(n)为因果序列，且为因果序列，且X(z)的极点在单位圆以内的
22、极点在单位圆以内(单单位圆上最多有一阶极点位圆上最多有一阶极点)，则有，则有 )()1(lim)(lim1zXznxzn证明)(lim)()1(lim)(lim)1(lim)()1()0()1(0)0(lim1)()1(lim)()1(lim111nxzXznxnxnxnxxxxmxmxzXznznnnnmmnznnznxnxzXznxnxZ)()1()()1()()1(9.9.序列的卷积序列的卷积(时域卷积定理时域卷积定理)若若 ，则，则()()*()y nx nh n()()()Y zX z H z 即收敛域等于两个收即收敛域等于两个收敛域的重叠部分。如果敛域的重叠部分。如果Y Y(z z
23、)=)=X X(z z)H H(z z)存在零存在零极点相消情况时，收敛域会扩大。极点相消情况时，收敛域会扩大。max,min,xhxhRRzRR3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理31010z z域复卷积定理域复卷积定理 若若 ，则，则 ()()()y nx n h n1111()()()()d()()d2j2jcczzY zZT y nXH v vvX v Hvvvv ，其中，其中c是平面上是平面上 的公共收敛域内绕原点逆时针一周的封闭的公共收敛域内绕原点逆时针一周的封闭围线。围线。xnxnR RzR R)()/(vHvzX和3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理311.11
24、.帕斯瓦尔定理帕斯瓦尔定理3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理32j21|()|(e)|d2nx nX它表明信号在时域的总能量等于信号它表明信号在时域的总能量等于信号在频域的总能量，即信号经傅里叶变在频域的总能量，即信号经傅里叶变换后其总能量保持不变，符合能量守换后其总能量保持不变，符合能量守恒定律。恒定律。3.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理33.3 Z 变换的性质和定理变换的性质和定理3设设 为连续信号，为连续信号，为其理想采样信号，则为其理想采样信号，则 的拉的拉普拉斯变换为普拉斯变换为()ax t()ax t()ax t()()()ed)()ed()e()d()e()(
25、e)ststaaaanstnTssTnaaannnXsL x tx ttx nTtnTtx nTtnTtx nTx nT（即即()()(e)sTnaanXsx nT而序列而序列 的的z z变换为变换为 ()()ax nx nT()()nnX zx n z3.4 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系3可以看出，当可以看出，当 时，序列时，序列x(nx(n)的的z z变换就等于理想采样信号的拉普变换就等于理想采样信号的拉普拉斯变换拉斯变换。即。即 esTz e()(e)()sTsTazX zXXs3.4 z变换与拉普拉斯变换的关系变换与拉普拉斯变换的关系3（3.28）又由式又由式(3
26、.26)(3.26)可知可知()()edstaanXsx ttnTt（由于由于 2jj11)eemtm tTnmntnTTT（所以所以2(j)112()()ed(j)smtTaaammXsx ttXsmTTT上式说明：在时域采样信号的拉式变换是连续时上式说明：在时域采样信号的拉式变换是连续时间信号拉氏变换在间信号拉氏变换在s s平面上沿虚轴的周期延拓。平面上沿虚轴的周期延拓。（3.31）结合式结合式(3.28)(3.28)和式和式(3.31)(3.31)可知连续时间信可知连续时间信号号 的拉普拉氏变换的拉普拉氏变换 与离散时间信与离散时间信号号x x(n n)的的z z变换之间的关系为变换之间
27、的关系为()ax t()aXse12()(j)sTazmX zXsmTT离散时间信号与离散时间系统离散时间信号与离散时间系统3由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴由于傅里叶变换是拉普拉斯变换在虚轴 的特例的特例,因而映射到因而映射到z z平面上为单位圆平面上为单位圆 。jsjeTz jje()(e)(j)TTazX zXX也就是说，采样序列在单位圆上的也就是说，采样序列在单位圆上的z z变换，就等于理想变换，就等于理想采样信号的傅里叶变换。式采样信号的傅里叶变换。式(3.30)(3.30)也可写成也可写成jje12()(e)(jj)TTazmX zXXmTT即采样序列的频谱是连续信号频谱即采样序
28、列的频谱是连续信号频谱 以以 为周期的为周期的周期延拓。周期延拓。(j)aX2T3.4 z变换与傅里叶变换的关系变换与傅里叶变换的关系3序列的傅里叶变换定义为序列的傅里叶变换定义为 jje()ennx n常用常用 表示序列的傅里叶变换。表示序列的傅里叶变换。序列的傅里叶反变换定义为序列的傅里叶反变换定义为 jj1()eed2nx n常用常用 表示序列的傅里叶反变换。表示序列的傅里叶反变换。jIDTFTeXDTFT()x n3.5 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换3序列的傅里叶变换是具有周期性的。序列的傅里叶变换是具有周期性的。j(2)jj2jje()ee()eek nnknnnnXx nx n
29、X可以看出，可以看出，是以是以 为周期的周期性函数。因此在绘为周期的周期性函数。因此在绘制制 图形时，一般只需在图形时，一般只需在 或或 区间上区间上标注即可。标注即可。jeX2jeX023.5 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换3deXnxeYeXnynxeYeXnynxdedXjnnxeXnxeXnxeeXen-nxebYeaXnbynaxjjjjjjjjnjjnjjjo2-n2)(0)(21 :Parseval )(*)(21)()(:)(:)(:)(:)(:)()(:00定理定理线性卷积线性卷积微分微分反转反转频移频移时移时移线性线性序列傅里叶变换的性质序列傅里叶变换的性质3.5 序列的
30、傅里叶变换序列的傅里叶变换33.6.1 系统函数系统函数 线性移不变系统，可用单位脉冲响应线性移不变系统，可用单位脉冲响应h(n)来表来表示，即示，即 等式两边取等式两边取z变换，有变换，有 Y(z)=X(z)H(z)()()()y nx nh n()()()Y zH zX zH(z)称为线性时不变系统的系统函数。称为线性时不变系统的系统函数。3.6 离散系统的频域分析离散系统的频域分析3一个一个N N阶线性时不变系统，其常系数差分方阶线性时不变系统，其常系数差分方程表示的一般形式为程表示的一般形式为 10()()()NMkmkmy nb y nka x nm两边取变换，有两边取变换，有 10
31、()()()NMkmkmkmY zb z Y za zX z01()()()1MmmmNkkka zY zH zX zb z 3.6.2 系统函数和差分方程系统函数和差分方程3还可以表示为还可以表示为 1111(1)()()()(1)MmmNkkc zY zH zKX zd z其中，其中，cm为为H(z)的零点，的零点，dk为为H(z)的极点，的极点，K为比例常数。从表达式可以看出，系统函数为比例常数。从表达式可以看出，系统函数也可由系统的零、极点来确定。也可由系统的零、极点来确定。3.6.2 系统函数和差分方程系统函数和差分方程3例例3.17 3.17 差分方程差分方程 ，且且 ，求，求 。
32、()0.1(1)0.02(2)10()y ny ny nx n(1)4y(2)6y()()x nu n()y n解解 对已知的差分方程两边取变换，有对已知的差分方程两边取变换，有 122()0.1()(1)0.02()(2)(1)10()Y zzY zzyzY zz yzyX Z代入已知条件，得到代入已知条件，得到 1119.260.660.2()110.2210.1Y zzzz取取z z反变换，得到反变换，得到()9.260.66(0.22)0.2(0.1)()nny nu n3.6.2 系统函数和差分方程系统函数和差分方程33.6.3 因果稳定系统因果稳定系统31）因果：其单位脉冲响应）因
33、果：其单位脉冲响应h(n)=0,n0;那那么系统的收敛域一定包括无穷点，收敛域么系统的收敛域一定包括无穷点，收敛域在某一圆外在某一圆外xRz 3.6.3 因果稳定系统因果稳定系统3序列序列h(n)绝对可和，即绝对可和，即而而h(n)的的z变换的收敛域：变换的收敛域：()nh n()nnh n z 2）稳定：）稳定：稳定系统的系统函数稳定系统的系统函数H(z)的收敛域须包含单位圆的收敛域须包含单位圆Z=13.6.3 因果稳定系统因果稳定系统3H(z)须从单位圆到须从单位圆到 的整个的整个z域内收域内收敛即系统函数敛即系统函数H(z)的全部极点必须的全部极点必须在单位圆内在单位圆内10,rzr3）
34、因果稳定：）因果稳定：/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系统的极点有：问什么情况下，系统为因果系统，什么情况下，系统为稳定系统Re zIm jz0140.2je40.2je0.41.562je62je2z 解：因果系统：0.41.5z稳定系统：不能构成既稳定又因果系统例例3.19 3.19 已知某系统函数已知某系统函数 ，分析，分析其因果性和稳定性。其因果性和稳定性。解解 根据系统函数可知，根据系统函数可知，H H(z z)的极点为的极点为z z1 1=0.5=0.5和和z z2 2=2=2。下面分三种情况讨论。下面分三种情况讨论。(1)(1)当收敛域
35、当收敛域 ，该系统是因果系统。由于，该系统是因果系统。由于其收敛域不包含单位圆，所以不是稳定系统。对应其收敛域不包含单位圆，所以不是稳定系统。对应的单位脉冲响应的单位脉冲响应 ，这是一个因，这是一个因果序列，同时又是发散的序列。果序列，同时又是发散的序列。3()(0.5)(2)zH zzz2z 11()(0.5)2()nnh nu n3.6.3 因果稳定系统因果稳定系统3(2)(2)当收敛域当收敛域 ，该系统不是因果系，该系统不是因果系统。由于其收敛域包含单位圆，所以是稳定统。由于其收敛域包含单位圆，所以是稳定系统。单位脉冲响应系统。单位脉冲响应，这是一个非因果但收敛的双边序列。，这是一个非因
36、果但收敛的双边序列。(3)(3)当收敛域当收敛域 ，该系统不是因果系，该系统不是因果系统。由于其收敛域不包含单位圆，所以也不统。由于其收敛域不包含单位圆，所以也不是稳定系统。是稳定系统。00.5z0.52z11()(0.5)()2(1)nnh nu nun 3.6.3 因果稳定系统因果稳定系统3设某一系统由差分方程设某一系统由差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)描述。描述。(1)求系统的系统函数求系统的系统函数H(z)，并画出零极点分布图。，并画出零极点分布图。(2)限定系统是因果的，写出限定系统是因果的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位的收敛域，并求出其单位脉冲响应脉
37、冲响应h(n)。(3)限定系统是稳定的，写出限定系统是稳定的，写出H(z)的收敛域，并求出其单位的收敛域，并求出其单位脉冲响应脉冲响应h(n)。(4)求出系统的频率响应并画出响应的幅频特性曲线。求出系统的频率响应并画出响应的幅频特性曲线。(5)设输入设输入x(n)=(n)+(n-1)，且系统因果的条件下，求输，且系统因果的条件下，求输出出y(n)。综合实例综合实例3解解 (1)(1)对差分方程两边求对差分方程两边求z z变换可得变换可得 121)()()()(zzXzzYzzYzY所以所以2111)()()(zzzzXzYzH其中，零点为其中，零点为00z251,25121zz综合实例综合实例
38、3极点为极点为(2)(2)若限定系统是因果的，则收敛域为若限定系统是因果的，则收敛域为251z)()()(211zzzzzzzHzFnn当当n n00时，时，h h(n n)=0)=0 当当n n00时时，21),(Res),(Res)(zzzFzzzFnhnn)251()251(51综合实例综合实例3)()251()251(51)(nunhnn因而因而（3 3）若限定系统是稳定的，则收敛域包括单位圆，为）若限定系统是稳定的，则收敛域包括单位圆，为251251z当当n n00时，围线时，围线C C内只有一个极点内只有一个极点 2512znzzzFsnh)251(51),(Re)(2当当n n0
39、0时，围线时，围线C C内只有两个极点内只有两个极点 251,(02znz阶）nzzzFsnh)251(51),(Re)(13.6.4 系统频率响应的几何确定法系统频率响应的几何确定法3综合以上结果，可得综合以上结果，可得 0,)251(510,)251(51)(nnnhnn（4 4）系统的频率响应为）系统的频率响应为 j2jjeee1e)()(jzjzHeH3.6.4 系统频率响应的几何确定法系统频率响应的几何确定法3设输入设输入x(n)=(n)+(n-1)，在系统因果的条，在系统因果的条件下对应的输出件下对应的输出 )1()251()251(51)()251()251(51)()251()251(51)1()()()()(11nunununnnhnxnynnnnnn3.6.4 系统频率响应的几何确定法系统频率响应的几何确定法3Matlab程序den=1-1-1;num=0 1;subplot(211)zplane(num,den)%求系统函数的零、极点axis(-1 2-1 1)grid onh,w=freqz(num,den)subplot(212)plot(w,20*log(abs(h)grid on3.6.4 系统频率响应的几何确定法系统频率响应的几何确定法3
