1、VR R 升力 空气密度 V 足球质心相对于无穷远处空气的运动速率 与足球相接触空气的速度环量足球在没有旋转下水平运动的情形(在此图中球正在向下运动)00VR足球只有旋转而没有水平运动的情形 0V0VR足球水平运动和旋转两种运动同时存在的情形 0,0V0VRConstghvP2/2对对香蕉球香蕉球现象的定量计算现象的定量计算偏心角出球角上挑角我们讨论的理想情况1.忽略空气阻力忽略空气阻力,足球在飞行过程中水平分速度不改变足球在飞行过程中水平分速度不改变2.足球在竖直方向只受重力的作用足球在竖直方向只受重力的作用 3.转轴只有转轴只有Z方向，即垂直于地面方向方向，即垂直于地面方向 4.球员给足球
2、的力理想成作用在一个点上的均匀力球员给足球的力理想成作用在一个点上的均匀力 设出球员出球时的几个变量：:L 足球与落点之间的距离:F 出球的平均作用力:t脚背与足球的接触时间:出球力的偏心角:上挑角的夹角与球的初速度的水平分量L:几个不变量分别为：:0.45mmKg足球的质量:0.11rrm足球的半径 3:1.293/Kg m空气的密度 2:9.81/ggm s重力加速度 切向力为 sinF上挑力为 cosF水平切向力所产生的水平旋转，根据动量矩定理有 sinrFIt将足球看成是均匀的球壳，则它的转动惯量为 223Imr可得球的转动角速度为 3sin2Ftmr 因为我们只考虑球在z轴方向的角速
3、度，故 3sincoscos2Ftmr 根据动量定理，球的初速度为 cosFtm则球的水平初速度为 1coscosFtVm竖直初速度为 2cossinFtVm由于我们已经假设足球在飞行过程中水平分速度不改变，也就是说在球的飞行轨迹上水平切向速度始终为V1。由于竖直方向上只考虑重力作用，所以球的飞行时间也就确定了，即222cossinVFtTgmg 如果足球自转的表面线速度在足球前进方向上的有效值为 2r则足球两侧的气流速度分别为 2r1左V=V+2r1右V=V根据伯努力方程有两侧的压强差221()2pVVVr 左右则足球所受到的偏转力为 231fp rVr 此偏转力提供足球做圆周运动的向心力，
4、即 22311Vfp rVrmR 其中R为偏转半径，其大小为 2sinLR球运动轨迹的水平投影为 12VTR 联立 通过水平升力提供向心力这个等量关系得出 23cotsin4r Lm通过路程等于弧长这个等量关系得出 222sincossin2()F tm gL 两式合并削去L，最终得到关系式 32218sin2 sin2()48.63m gF tr 我们举个例子来看,通常对于技术很高的球员来说,他在出球时的偏心角,出球角和上挑角基本都在一定的范围内,很少出现技术性的失误.我们取:30Lm出球角 45o根据式得出偏心角为 16.1o也就是说球员根据与球门的距离以及为绕过人墙所要踢出的出球角来控制偏心角.通常来说上挑角在25-35度左右,这里取 30o代入式可得:9.1F tKgm s 20.21/Vm s则出球速度为 若脚背与足球接触的时间为 0.1ts 则力的大小为91N.球场上的具体情况又都是瞬息万变的一个足球运动员在倾刻之间是不可能先行作详尽计算而后按计算的正确结果来踢球的 所以这就需要队员应有敏捷的反应速度,果断的判断能力,具备丰富的实践经验,这样才能踢出美妙有具有威胁的香蕉球。谢谢大家!
