1、 可分离变量微分方程第二节 第七章 转化 解分离变量方程解分离变量方程 xxfyygd)(d)(可分离变量方程可分离变量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xNxxMyyNyMd)()(22问题1：考虑一阶微分方程(,)yf x y2,d yxd x2d yxdx22,d yxyd x22dyxy d x的解法。例如：再两边求不定积分2,dyxdx2yxc又如：22,d yxy d x含有未知函数 y,积不出。22dyxy dx22,d yxdxy22,d yxdxy21,xCy21,yxC分离变量方程一、可分离变量微分方程分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd
2、)(d)(两边积分,得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF则有称为方程的隐式通解,或通积分.425d2dyx yx4252dd,yxyx例如：例如：d(,)d yF x yx(d)d)gfxxyy可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.一阶微分方程的一般形式：分离变量法分离变量法例例1.求微分方程yxxy23dd的通解.解解:分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令(C 为任意常数)或说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y=
3、0)例2 的通解。求方程01122xyyyx得方程两端同乘以解2211xydx01122yydyxxdxCyydyxxdx2211两端积分得Cxy2211即得例例3.解初值问题0d)1(d2yxxyx解解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得Cxyln11lnln2即Cxy12由初始条件得 C=1,112xy(C 为任意常数)故所求特解为 1)0(y例例4.求下述微分方程的通解:)1(sin2yxy解解:令,1yxu则yu1故有uu2sin1即xuuddsec2Cxutan解得Cxyx)1tan(C 为任意常数)所求通解:练习练习:.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分离变量xeyex
4、yddCeexy即01)(yxeCe(C 0 )解法解法 2,yxu令yu1则故有ueu1积分Cxeuu1dCxeuu)1(ln(C 为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(,ydxxdydu则,0)()(）（ydxduugydxuf,0)()()(duugdxxuuguf.)()()(|lnCduugufuugx通解为解解.的通解求微分方程、例0)()(5xdyxygydxxyf,xyu 令,0)()()(duugufuugxdx例例6.子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 的变化规律.解解:根据题意,有)0(ddMtM00MMt(初始
5、条件)对方程分离变量,MMd,lnlnCtM得即tCMe利用初始条件,得0MC 故所求铀的变化规律为.e0tMM然后积分:td)(已知 t=0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原M0MtO例例7.成正比,求解解:根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分:得Cmtvkgmk)(ln1)0(vkgm此处利用初始条件,得)(ln1gmkC代入上式后化简,得特解并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,)e1(tmkkgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系.kgmv t 足够大时m1.
6、cm12S开始时容器内盛满了水,从小孔流出过程中,容器里水面的高度 h 随时间 t 的变r解解:由水力学知,水从孔口流出的流量为tVQddhgSk2即thgSkVd2d求水小孔横截面积化规律.流量系数孔口截面面积重力加速度设在d,ttt内水面高度由 h 降到),0d(dhhhhhdhhO例例8.有高 1 m 的半球形容器,水从它的底部小孔流出,对应下降体积hrVdd222)1(1hr22hh 2d(2)dVhhh 因此得微分方程定解问题:22d(2)dkSgh thhh 10th将方程分离变量:3122d(2)d2thhhk Sg m1rhhdhhO两端积分,得2tk Sg 2334(h)52
7、25Ch 利用初始条件,得,1514C则得容10th器内水面高度 h 与时间 t 的关系:(s)737101(10068.125234hht可见水流完所需时间为(s)10068.14tm1rhhdhhO 因此352214103(1)77152thhk Sg代入上式，以224sm8.9,m10,62.0gSk内容小结内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明说明:通解不一定是方程的全部解.0)(yyx有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程分离变量后积分;根据定解条件定常数.解;阶;通解;特解 y=x 及 y=C (1)找出事物的共性及可贯穿于全过程的规
8、律列方程.常用的方法常用的方法:1)根据几何关系列方程(如:P298 题5(2)2)根据物理规律列方程3)根据微量分析平衡关系列方程(2)利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件.(3)求通解,并根据定解条件确定特解.3.解微分方程应用题的方法和步骤思考与练习思考与练习 求下列方程的通解:0d)(d)()1(22yyyxxyxx提示提示:xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1)分离变量(2)方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln3.求解微分方程dcoscos.d22yxyxyx解解:dcoscos0,d22yxyxyx2sind0nd2,si2xyyxdsind,22sin2yxxy 2cot2csclnyy,2cos2Cx为所求解.高数A
