1、第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 思路思路:xxfxxfxfx)()(lim)(0(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式0 xcosx1)(C)sin(x)ln(x证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()
2、()()(xvxu及的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面分三部分加以证明,并同时给出相应的推论和例题.)0)(xv机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形.证证:设,则vuvu)()1()()()(xvxuxfhxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0hxuhxuh)()(lim0hxvhxvh)()(lim0)()(xvxu故结论成立.wvuw
3、vu)(,例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,(2)vuvuvu)(证证:设,)()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0故结论成立.)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)()(xu)(hxv推论推论:)()1uC)()2wvuuC wvuwvuwvu)log()3xaaxlnlnaxln1机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为常数)例例1.解解:xsin41(21)1sin,)1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23
4、(xx)1xy1cos4)1sin43(1cos21sin2727)1sincos4(3xx)1sincos4(3xx机动 目录 上页 下页 返回 结束)()(lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxuh)()(xvxu(3)2vvuvuvu证证:设)(xf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )()(xu)(xvhhxv )()(xu)(xv故结论成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu推论推论:2vvCvC机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为常数)(cscxxsi
5、n1x2sin)(sinxx2sin例例2.求证,sec)(tan2xx证证:.cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0)(1yf且 ddxy或,0 x)()(x
6、fxxfy,0 xyyx,00yx时必有xyxfx0lim)(lim0yyxyxdd 1)(1yf11)(1yf11机动 目录 上页 下页 返回 结束 1例例3.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设,arcsin xy 则,sin yx,)2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x类似可求得?)(arccosx,11)(arctan2xx211)arccot(xx211xxxarcsin2arccos利用0cosy,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)设,)1,0(aaayx则),0(,logyyxa)(xa)(log1ya 1ayln1aylnaax
7、lnxxe)e()arcsin(x211x)arccos(x211x)arctan(x211x)cotarc(x211xaaaxxln)(xxe)e(特别当ea时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,lim0 xxuxuuf)(xyxyx0limdd三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy)(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,证证:)(ufy 在点 u 可导,故)(lim0ufuyuuuufy)(（当 时 )0u0故有)()(xgufuy)(uf)0()(xxuxuufxy机动 目录 上页
8、 下页 返回 结束 例如,)(,)(,)(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求下列导数:.)(sh)3(;)()2(;)()1(xxxx解解:(1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch说明说明:类似可得;sh)(chxxaxxealn)(thx)(xaxxxchshth2shxxeex;ch12x.lnaax机动
9、 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设,)cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee思考思考:若)(uf 存在,如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef)cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习练习:设,)(xfffy.,)(yxf求可导其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.设,)1(ln2xxy.y求解解:y112xx11212xx2112x记,)1(lnarsh2xxx则)(arsh x112x(反双曲正弦)其它反双曲函数的导数见 P97.2shxxeex的反函数机动 目
10、录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数(P94)(C0)(x1x)(sin xxcos)(cosxxsin)(tan xx2sec)(cot xx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln)(xexe)(log xaaxln1)(ln xx1)(arcsin x211x)(arccosx211x)(arctan x211x)cot(arcx211x机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.有限次四则运算的求导法则)(vuvu)(uCuC )(vuvuvuvu2vvuvu(C为常数)0(v3.复
11、合函数求导法则)(,)(xuufyxydd)()(xuf4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,)(C0)(sin xxcos)(ln xx1由定义证,说明说明:最基本的公式uyddxudd其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求解解:,1111xxxxy.y21222xxy12xx1 y1212x)2(x112xx例例8.设),0(aaaxyxaaaxa解解:1aaaxayaaaxln1axaaaxaln求.yaaxln机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1a
12、rctan)(2xy)(2sin xe2sin xe2cosxx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cos x2sin xe112xx关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10.设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解:y22)1(1121x21xx)11ln()11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结求导公式及求导法则 (见 P96)注意注意:1),)(vuuvvuvu2)搞清复合函数结
13、构,由外向内逐层求导.机动 目录 上页 下页 返回 结束 P 97 课堂练习1-4;8；10 5；6 的奇数题;7(3);11；14作业作业1.求下列函数的导数解解:(1)1bxaby2xa1bbxba(2)y)(x.)2(,)1(xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习2.设),99()2)(1()(xxxxxf).0(f 求解解:方法方法1 利用导数定义.0)0()(lim)0(0 xfxffx)99()2)(1(lim0 xxxx!99方法方法2 利用求导公式.)(xf)(xx)99()2)(1(xxx)
14、99()2)(1(xxx!99)0(f机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.设 yxxxx2sec12csc41232,2tan2cotxxy解：解：2csc2xx2sec2x2121)121(23x2.设,)(xfffy 解解:)(fy)(xff)(f)(xf)(xf 其中)(xf可导,求.y求.y机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx4 4.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axa
15、xaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a5 5.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx6 6.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 一、一、填空题：填空题：1 1、设设xxysin ，则，则y=_._.2 2、设设xeayxx23 ，则则dxdy=_.=_.3 3、设设)13(2 xxeyx,则则0 xdxdy=_._.4 4、设设1sectan2 xx
16、y,则则y=_._.5 5、设设553)(2xxxfy ,则则)0(f =_._.6 6、曲线曲线xysin2 在在0 x处的切线处的切线轴轴与与x正向的正向的夹角为夹角为_._.练练 习习 题题二、二、计算下列各函数的导数：计算下列各函数的导数：1 1、211xxy ；2 2、110110 xxy；3 3、21csc2xxy ；4 4、ttxf 11)(,求求)4(f ；5 5、)0,0(baaxxbbaybax.三、三、求抛物线求抛物线cbxaxy 2上具有水平切线的点上具有水平切线的点.四、四、写出曲线写出曲线xxy1 与与x轴交点处的切线方程轴交点处的切线方程.一、一、1 1、)cos
17、2sin(xxxx；2 2、22ln3xeaaxx ；3 3、2；4 4、)tansec2(secxxx；5 5、253；6 6、4.二、二、1 1、22)1(21xxx ；2 2、2)110(10ln210 xx；3 3、222)1(2cot)1(csc2xxxxx ；4 4、181；5 5、)(ln)()()(xbabaaxxbbabax .三、三、)44,2(2aacbab .四、四、022 yx和和022 yx.练习题答案练习题答案 1111、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能不变的，新人的优势
18、在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，地接受工作的交付，只能学到工作方法只能学到工作方法 的皮毛，能思考应的皮毛，能思考应 变的人，才会学到变的人，才会学到 方法的精髓。方法的精髓。1212、善解人意的海豚：常常问自己：我是、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共会减轻主管、共 事者的负担，也事者的负担，也 让你更具人缘。让你更具人缘。1111、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成、机智应变的猴子：工
19、作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，地接受工作的交付，只能学到工作方法只能学到工作方法 的皮毛，能思考应的皮毛，能思考应 变的人，才会学到变的人，才会学到 方法的精髓。方法的精髓。1212、善解人意的海豚：常常问自己：我是、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共会减轻主管、共 事者的负担，也事者的负担，也 让你更具人缘。
20、让你更具人缘。1111、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付，地接受工作的交付，只能学到工作方法只能学到工作方法 的皮毛，能思考应的皮毛，能思考应 变的人，才会学到变的人，才会学到 方法的精髓。方法的精髓。1212、善解人意的海豚：常常问自己：我是、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共会减轻主管、共 事者的负担，也事者的负担，也 让你更具人缘。让你更具人缘。
