1、2012年8月1普通高中数学课程标准（实验）系列3-3 球面上的几何 内容与要求1.通过丰富的实际问题（如测量、航空、卫星定位），体会引入球面几何知识的必要性。2.通过球面图形与平面图形的比较，感受球面几何与欧氏平面几何的异同。例如，球面上的大圆相当于平面上的直线，球面上两点之间的最短距离是大圆弧的劣弧部分，球幂定理。3.通过对实例的分析，体会球面具有类似平面的对称性质。2012年8月2普通高中数学课程标准（实验）2012年8月31.普通高中数学课程标准（实验）2012年8月4普通高中数学课程标准（实验）10.体会当球面半径无限增大时，球面接近于平面，球面的三角公式就变成相应的平面三角公式。1
2、1.初步了解另一种非欧几何模型庞加莱模型。12.完成一个学习总结报告。2012年8月52.球面几何概述16世纪，麦哲伦不畏艰难的进行了历史上重大的探险绕地球航行了一圈，这个举动不仅将地理大发现带上了最高点，同时也为地圆学说提出了一个客观的实证，为建立新的天文学与地理学奠定了基础，对近代科学的发展有非同一般的意义。2012年8月6球面几何概述在17世纪，高斯曾经利用测量面积的方法验证了地球是圆的，他在地表上取三点，并切割成许多小三角形，再量取每个小三角形的面积并加起来，这样所得的结果并不近似于直接用平面上的三角形面积公式计算的结果，而是近似于用球面三角形的面积公式计算的结果。2012年8月7球面
3、几何概述我们生活在地球上，地球表面十分接近于一个球面。因此，在实际生活中，球面上的几何(简称球面几何)知识有着广泛的实际应用。例如，大地（天体）测量、航空、卫星定位等方面均需利用球面几何的知识。在理论上，球面几何是一个与欧氏平面几何不同的几何模型，是一个重要非欧几何的数学模型，球面几何在几何学的理论研究方面，具有特殊的作用。2012年8月8球面几何概述球面几何与球面三角学球面几何：几何学的一门分科，研究球面上图形的几何学，是古代从研究天体在天球上的“视运动”发展起来的，其中专门研究球面上三角形的性质的称为“球面三角”，它在天文学、测地法、航海术中被广泛应用。1595年，法国数学家波蒂斯楚克在三
4、角学：解三角形的简明处理一书中首先使用这一术语，三角学是以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。2012年8月9球面几何概述球面几何学的发展历程早期三角学不是一门独立的学科而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法。因而最先发展起来的是球面三角学。毕达哥拉斯学派却已经积累了许多球面大圆和球面三角形的知识。早在公元前3世纪成书的几何原本第十一篇“立体几何”中，已给出了球的定义；第十二篇关于面积和体积的命题中，用“穷竭法”证明了球（体积）之比等于其直径的三次比。2012年8月10球面几何概述球面几何学的发展历程直到亚历山大里亚时期，希腊定量几何中一门
5、全新的学科三角学才逐渐创立希腊三角在梅内劳斯时达到顶点，他的主要著作是球面学而在公元499年印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想，其后的瓦拉哈米希拉最旱引入正弦概念，并给出最早的正弦表。2012年8月11球面几何概述球面几何学的发展历程球面三角学的发展及其在天文上的应用在埃及人托勒密的著作数学汇编中达到顶峰直到1450年以前，三角术仍是球面三角。直到纳西尔丁的横截线原理书才开始使三角学脱离天文学成为纯粹数学的一个独立分支1464年，德国数学家里基奥蒙田纳斯完成了他的名著论一般三角形，正式使三角学脱离天文学而成为独立的科目。2012年8月12球面几何概述球面几何学的发展历程现代球面三角
6、的创始人是俄国科学院院士欧拉。他使研究三角形的三角学进一步演变成研究三角函数及其应用的分析学的分支。至于球面三角的更为广泛的研究，则是由德国数学家高斯、斯太纳及俄国天才数学家罗巴切夫斯基继续完成。2012年8月13球面几何概述球面上的一些基本图形大圆与小圆：球面上的大圆大圆是指一个过球心的平面在球面上的截线。球面上不是大圆的圆叫小圆小圆。2012年8月14球面角球面上一点及过该点的任意两个大圆弧构成的图形称为球面角球面角这两条大圆弧的切线间的夹角即为该球面角的大小球面角的大小2012年8月16球面多边形球面上由大圆弧所构成的封闭图形称为球面多边形球面多边形。球面多边形的边,必须是大圆的圆弧。任
7、意两个不同大圆的两个交点是球面上的一对对径点对径点，即球的同一条直径的两个端点称为一对对径点。2012年8月17球面几何概述球面上的一些基本图形球面二角形把一个球面角的两边延伸,它们相交于角顶点的对径点,这样得到的图形称为球面二角形球面二角形或月形月形。2012年8月18BC这两条大圆弧的切线间的夹角即为该球面球面角的大小角的大小。月形球面上一点及过该点的任意两个大圆弧构成的图形称为球面球面角角。2012年8月19球面几何概述球面上的一些基本图形球面三角形是球面上最常用的基本图形，构成球面三角形的大圆弧称为三角形的边三角形的边，三条边的交点称为三角形的顶点三角形的顶点，过球面三角形顶点分别作大
8、圆弧的切线，两条切线所成的角称为球面三角形球面三角形的角的角。2012年8月20球面几何概述球面上的一些基本图形2012年8月21球面几何概述球面上的一些基本图形定理1：如果一球面三角形为另一球面三角形的极三角形，则另一球面三角形也为这一球面三角形的极三角形。2012年8月22球面几何概述球面上的一些基本图形CBAO2012年8月23球面几何概述球面上的一些基本图形定理2：球面三角形的角（或边）与其极三角形的边（或角）互补。CcBbAacCbBaA,2012年8月24球面几何概述球面上的一些基本图形2012年8月252012年8月26球面几何概述球面上的一些基本图形2012年8月27球面几何概
9、述球面上的一些基本图形如果两个大圆所在的平面互相垂直，就叫做大圆相互垂大圆相互垂直直。其中一个大圆通过另一个大圆的极。2012年8月283.球面三角形的性质球面三角形的内角和2012年8月292012年8月312012年8月322012年8月33球面三角形的性质球面三角形的内角和2012年8月34推论2球面三角形ABC的面积为：2RCBAS2012年8月35球面三角形的性质球面三角形的周长定理球面三角形的周长小于大圆周长2012年8月37球面三角形的性质球面三角形的全等定理定义定义 两个球面三角形，如果三对边对应相等，三对角也对应相等，这两个球面三角形称为相等的。相等的。如果方向也相同，则称为
10、是全全等的等的，如果方向相反，则称为是对称的对称的。2012年8月38球面三角形的性质球面三角形的全等定理定理定理1 如果两个球面三角形的三对边对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（SSS）。推论推论 如果两个球面三角形的三对角对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（AAA）。2012年8月39球面三角形的性质球面三角形的全等定理定理定理2 如果两个球面三角形有两对边对应相等，并且它们的夹角也相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（SAS）。推论推论 如果两个球面三角形有两对角对应相等而且它们的夹边也对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（ASA）。2012年8月41球面
11、三角形的性质球面三角形的全等定理2012年8月42球面三角形的性质球面三角形的全等定理2012年8月43球面三角形的性质球面三角形的全等定理例题如果一个球面三角形的三条边相等，那么它的三个角也相等。2012年8月442012年8月45球面三角形的性质球面三角形的全等定理例题如果一个球面三角形的三个角相等，则它的三条边也相等。2012年8月462012年8月47球面三角形的边角关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月48球面三角形的边角关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月50球面三角形的边角关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月512012年8月52球面三角形的边角
12、关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月542012年8月55证法二2012年8月562012年8月572012年8月58球面三角形的边角关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月59球面三角形的边角关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月60球面三角形的边角关系球面三角形的正弦定理和余弦定理2012年8月61球面三角形的其它性质定理定理 球面三角形两边之和大于第三边。2012年8月622012年8月632012年8月64球面三角形的其它性质推论推论 球面三角形两边之差小于第三边。2012年8月65球面三角形的其它性质定理定理 在球面三角形ABC中，等边所对的角相等，大边
13、所对的角较大，反之亦然。推论推论 球面等腰三角形的两底角相等。2012年8月664.球面几何的应用利用球面多边形面积公式证明欧拉公式 2012年8月67球面几何的应用利用球面多边形面积公式证明欧拉公式2012年8月69球面几何的应用利用球面多边形面积公式证明欧拉公式2012年8月702012年8月71jjijinnj)2(12012年8月724222FEV2FEV2012年8月73球面几何的应用实际应用举例1993年4月7日，东方航空公司班机自上海飞往洛杉矶，途遇强气流，被迫在美国阿拉斯加阿留申群岛的某空军基地紧急降落。经过紧急处理，除60名伤员仍留在阿拉斯加的安克雷奇医院之外，其余173名旅
14、客于4月9日到达洛杉矶。上海跨太平洋直达洛杉矶岂不近些？为什么要跑到北面的阿拉斯加？2012年8月74球面几何的应用实际应用举例2012年8月75球面几何的应用球面上点的确定在半径为R的球面上，为了确定点的位置，任意选择两个互相垂直的大圆a和b，并把它们叫做基圆，叫做第一基圆，叫做第二基圆。2012年8月76球面几何的应用球面上点的确定2012年8月77球面几何的应用球面上点的确定2012年8月78球面几何的应用球面上点的确定一般地，在半径为R的球面上，两点的球面距离为：)arccos(2212121RzzyyxxRAB122121coscoscossinsinarccos RBA2012年8
15、月80球面几何的应用球面上点的确定2012年8月812012年8月825.非欧几何模型非欧几何的诞生非欧几何的诞生源于人们对欧几里得平行公理的质疑和探究，这是数学史上具有划时代意义的大事，它彻底改变了人们对空间乃至对数学真理性的认识，从唯一的几何空间和数学真理的绝对性逐渐转向相对真理的观点，也从一个侧面促进了数学观念的转变。第五公设:同一平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于二直角，则这二直线经过无限延长后在这一侧相交 2012年8月83非欧几何模型非欧几何的诞生对第五公设的研究直至非欧几何的诞生和确认，大体可以划分为四个阶段：1.对第五公设地位的质疑和证明阶段2.非欧
16、几何的孕育阶段3.非欧几何的诞生阶段4.非欧几何的确认阶段2012年8月84对第五公设地位的质疑和证明阶段试图由其它公设将其作为定理加以证明。从原本诞生到19世纪初，人们只找出了许许多多与平行公设等价的命题，而没有找到令人信服的“证明”。2012年8月85非欧几何的孕育阶段18世纪，以萨凯里、兰伯特、勒让德为代表的数学家，对于非欧几何的发现突破性的贡献。他们从否定欧氏平行公设出发，进行逻辑推理。在研究萨凯里等腰双直角四边形中，分别做出直角假设、钝角假设和锐角假设。经过几代人的努力，人们注意到实球面上的几何具有钝角假设为基础推导出来的性质，而虚球面上的几何则具有以锐角假设为基础推导出来的性质。这
17、样，与欧氏几何不同的非欧几何被发现了。2012年8月86非欧几何的诞生阶段第五公设是不能证明的；欧氏几何的基础命题加上某条公理的否定公理以后，可以展开成另一种与欧几里得几何不同的、逻辑上完整且富有内容的新的几何学；各种不同的几何学从逻辑上推出的正确命题，在应用到现实空间时，其正确性应该用实验来验证，而不是由逻辑体系本身验证。逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。2012年8月87非欧几何的确认阶段人们采用不同的方法展开讨论，其中卓有成效的是意大利人贝尔特拉米、英国数学家凯莱、德国数学家F克莱因、庞加莱等，他们采用构造数学模型的方法证明了非欧几何与欧氏几何的相对相容性，即在欧氏几何内建
18、立非欧几何的模型，使欧氏几何要么同真，要么同假。这种证明方法，使古老的平行公设问题最终得以解决，即平行公设是独立于欧氏几何其余公设之外的假定，不同的平行公设可推出不同的几何学，它们的相容性是相对的。2012年8月88非欧几何模型非欧几何的诞生事实上，今天人们把以罗氏的锐角假设为基础推导出来的几何称为罗氏几何，又称为双曲几何学；继而由德国数学家黎曼在钝角假设下发现的非欧几何称为黎曼几何，又称椭圆几何。2012年8月89非欧几何模型非欧几何的球面模型我们知道球面上任何两个大圆必然相交，换句话说，在这样的平面上，不存在平行的直线，因而平行公设应为：“给定一条直线和直线外一点，过该点不能作任何与已知直
19、线平行的直线”，这与非欧几何的钝角假设完全吻合。2012年8月90非欧几何模型非欧几何的球面模型命题命题1 不存在面积任意大的非欧三角形。命题命题2 通过不在一条非欧直线上的三点，并不总能作出一个非欧图。根据不同条件，它或者确定一个非欧图，或者确定一个极限圆，或者是一条等距线命题命题3 若两个非欧三角形的三个内角对应相等，则两个三角形相等。命题命题4 两个相似的非欧三角形必定全等。2012年8月91命题42012年8月922012年8月932012年8月94非欧几何模型非欧几何的庞加莱模型在这种几何中，平行公设是：给定一条直线和线外一点，过该点至少有两条直线（从而有无数条直线）与已知直线平行。
20、2012年8月95非欧几何模型非欧几何的庞加莱模型2012年8月96非欧几何模型非欧几何的庞加莱模型定义定义1（相交直线）两条非欧直线在圆内（不包括圆周）有公共点则称为两直线相交。定义定义2（两直线夹角）两条非欧直线间的夹角非欧直线间的夹角定义为它们交点处切线的夹角。当非欧直线本身是直线段时，切线就是直线段本身。定义定义3（三角形）三条非欧直线两两相交所围成的三角形称为非欧三角形非欧三角形。定义定义4（两点间的距离）21122112211111ln),(zzzzzzzzzzd2012年8月97非欧几何模型非欧几何的庞加莱模型单位圆周上的点是非欧平面上的无穷远点，这就使我们在有限的单位圆内构造出
21、一个无限的非欧空间。2012年8月98非欧几何模型非欧几何的庞加莱模型2012年8月99欧氏几何与非欧几何 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何这三种几何各自所有的真命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。2012年8月100欧氏几何与非欧几何2012年8月101欧氏几何与非欧几何在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧氏几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。2012年8月102推论2球面三角形ABC的面积为：2RCB
22、AS2012年8月103球面三角形的性质球面三角形的全等定理定理定理2 如果两个球面三角形有两对边对应相等，并且它们的夹角也相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（SAS）。推论推论 如果两个球面三角形有两对角对应相等而且它们的夹边也对应相等，则这两球面三角形相等，即全等或对称（ASA）。2012年8月1052012年8月106球面几何的应用球面上点的确定2012年8月107球面几何的应用球面上点的确定一般地，在半径为R的球面上，两点的球面距离为：)arccos(2212121RzzyyxxRAB122121coscoscossinsinarccos RBA2012年8月108非欧几何的孕育阶段18世纪，以萨凯里、兰伯特、勒让德为代表的数学家，对于非欧几何的发现突破性的贡献。他们从否定欧氏平行公设出发，进行逻辑推理。在研究萨凯里等腰双直角四边形中，分别做出直角假设、钝角假设和锐角假设。经过几代人的努力，人们注意到实球面上的几何具有钝角假设为基础推导出来的性质，而虚球面上的几何则具有以锐角假设为基础推导出来的性质。这样，与欧氏几何不同的非欧几何被发现了。2012年8月109
