1、第一章第一章 行列式行列式1.1 行列式的定义行列式的定义1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算1.3 克拉默法则克拉默法则公共邮箱：公共邮箱：xxds_密密 码：码：111111第一次课第一次课1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算(一一)1.1 行列式的定义行列式的定义会计算二阶与三阶行列式会计算二阶与三阶行列式 掌握掌握n阶行列式的定义阶行列式的定义 掌握三角形特殊行列式掌握三角形特殊行列式 掌握行列式的性质掌握行列式的性质 熟练运用行列式的性质计算行列式熟练运用行列式的性质计算行列式 教学内容教学内容教学目标及基本要求教学目标及基本要求2022年年11月月26日星期六日星期
2、六3q利用利用“对角线法则对角线法则”计算二、三阶行列计算二、三阶行列式式q熟记熟记“特殊行列式特殊行列式”的结论的结论q利用性质化归特殊行列式利用性质化归特殊行列式重重 点点难难 点点qn阶行列式的定义阶行列式的定义q利用性质化归特殊行列式利用性质化归特殊行列式2022年年11月月26日星期六日星期六412a 11a 22a 21a 11 2212 2111 222 12a aa axbaba 11 2212 21211 221 1a aa axa ba b 1.1 1.1 行列式的定义行列式的定义一、二、三阶行列式一、二、三阶行列式Determinant11112212112222a xa
3、 xba xa xb 0 1 222 12111 2212 21babaxa aa a 11 221 1211 2212 21a ba bxa aa a 11122122aaaa主对角线主对角线负对角线负对角线 1122a a1221a a 1235 1 5 23 11 main diagonal 2022年年11月月26日星期六日星期六5122212111221221b ab axa aa a 11122122aaaa1b22a2b12a1DD 11 221 1211221221a ba bxa aa a 11122122aaaa11a2b21a1b2DD 其中其中Dj为右端为右端常数项替换
4、常数项替换D中的第中的第j列而构列而构成的行列式成的行列式系数行列式系数行列式Determinant of coefficient matrix2022年年11月月26日星期六日星期六62、三元线性方程组三元线性方程组111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb 三阶行列式三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaaD 112233a a a122331a a a 132132a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 对角线法则对角线法则2022年年11月月
5、26日星期六日星期六71121312222333233baaDbaabaa 1111322122331333abaDabaaba 1112132122231323aabDaabaab 同理同理当当D0时，方程组也有唯一解：时，方程组也有唯一解：312123,DDDxxxDDD其中其中Dj为右端常数项替换为右端常数项替换D中的第中的第j列而构成的行列式列而构成的行列式2022年年11月月26日星期六日星期六81231231232415321xxxxxxxxx 求解方程组求解方程组241153111D 251 43 1 1 11 151 41 1 231 80 例例1解解2022年年11月月26日
6、星期六日星期六9同理，可求得：同理，可求得：239,6DD所以，所以，3121231193,884DDDxxxDDD 1141253111D 5 12 2 5 8 3 11 2022年年11月月26日星期六日星期六10二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义148529361 231436M 2 323141413636A (P5)CofactorAlgebraic cofactor2022年年11月月26日星期六日星期六111阶行列式：阶行列式：11Da 11a 注意与绝对值的区别注意与绝对值的区别2阶行列式：阶行列式：11122122aaDaa 11221221a aa a11a 12a 1
7、1M 12M 11121112Aaa A 11a 1 1111M 12a 1 2121M 某行某行(列列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和元素与其对应的代数余子式的乘积之和2022年年11月月26日星期六日星期六12111213212223313233aaaDaaaaaa112233a a a122331a a a 132132a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 3阶行列式：阶行列式：11a 22332332a aa a 12a 21332331a aa a 13a 21322231a aa a 11a 22233233aaaa12a 2123
8、3133aaaa13a 21223132aaaa11a 11M12a 12M13a 13M11a 11A12a 12A13a 13A某行某行(列列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和元素与其对应的代数余子式的乘积之和2022年年11月月26日星期六日星期六13(P6定义定义1.1.1)例例1计算计算3阶行列式阶行列式124103221D 说明：说明：应尽量选择含应尽量选择含0多的行多的行(或列或列)来展开来展开 2022年年11月月26日星期六日星期六14三、三、特殊特殊行列式行列式111211122221221211221122nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaDaaaaaaa aaa
9、主对角型主对角型:主对角型（简记为）主对角型（简记为）2022年年11月月26日星期六日星期六15 1111212,12212,1112112,1122,1111nnnnnnnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaDaaaaaaa aaa 负对角型负对角型:负对角型（简记为）负对角型（简记为）121n n 2022年年11月月26日星期六日星期六161.2 1.2 行列式的性质与计算行列式的性质与计算一、行列式的性质一、行列式的性质1224D 1224TD (P9定义定义1.2.1)Determinant of transpose matrix2022年年11月月26日星期六日星期六1711
10、111niinnnnaaaakaa11111niinnnnkkaaaaaa q性质性质1：转置不变性：转置不变性TDD q性质性质2：提取公因子：提取公因子推论推论:若行列式有一行若行列式有一行(列列)元素全是元素全是0,则该行列式等于则该行列式等于0.说明：行列式中行与列的地位相同说明：行列式中行与列的地位相同(P9性质性质1.2.1)(P10性质性质1.2.4)ijkr kc记作：记作：2022年年11月月26日星期六日星期六18（key：4abcdef）abacaebdcddebfcfef 例例1(P24习题习题1-T2-(3)2022年年11月月26日星期六日星期六19复习复习q二阶行
11、列式二阶行列式11122122aaaa1122a a12 21a aq三阶行列式三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaaD 112233a a a122331a a a 132132a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 对角线法则对角线法则2022年年11月月26日星期六日星期六201122iiiiiinnDa Aa Aa A (1,2,)in 1122nnjjjjjjDa Aa Aa A(1,2,)jn q展开定理展开定理某行某行(列列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和元素与其对应的代数余子式的乘积之和q特殊行列式特殊行
12、列式:主对角型主对角型:负对角型负对角型注意：注意：应选择含应选择含0多的行多的行(列列)来进行展开来进行展开 121n n 2022年年11月月26日星期六日星期六2111111innnnincaaaca11111ninnnnibbaaaa 111111iiininnnnnbcbaaaac q性质性质3：拆加性：拆加性若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则原行列式等于相应的两个行列式的和。则原行列式等于相应的两个行列式的和。性质性质3可推广到一行可推广到一行(列列)元素都是元素都是m个元素之和的情形个元素之和的情形.(P10性质性质1.2.5)
13、2022年年11月月26日星期六日星期六22111111222222bccaabbccaabbccaab例例2（key：）1112222abcabcabc化简行列式化简行列式2022年年11月月26日星期六日星期六2311kkiinnaaaa11iinkknaaaa q性质性质4：互换反号性：互换反号性互换行列式的两行（列），行列式改变符号。互换行列式的两行（列），行列式改变符号。推论推论1:若行列式的若行列式的两两行行(列列)相同相同，则，则行列式为行列式为0.推论推论2:若行列式的若行列式的两两行行(列列)成比例成比例，则，则行列式为行列式为0.(P10性质性质1.2.3)ikikrrcc
14、记作：记作：2022年年11月月26日星期六日星期六24111iinjjnjjnaakakaaa11jjniinaaDaaq性质性质5：倍加不变性：倍加不变性将行列式的某将行列式的某行行(列列)k倍加到另一倍加到另一行行(列列)上，行列上，行列式的值不变式的值不变 。(P11性质性质1.2.6)D k ijijrkrckc记作：记作：2022年年11月月26日星期六日星期六25例例1二、行列式的计算二、行列式的计算q方法一：利用性质化归特殊行列式方法一：利用性质化归特殊行列式(P12例例1.2.1)3210110121111111 2022年年11月月26日星期六日星期六26例例2q各行（列）
15、元素之和为常数各行（列）元素之和为常数abbbabDbba 2022年年11月月26日星期六日星期六27例例3q“箭型箭型”行列式行列式 01211220000,0,1,2,00ninnabbbcacaainca2022年年11月月26日星期六日星期六28例例4计算计算n阶行列式阶行列式0000000000000000 xyxyyxyyx q方法二：利用展开定理方法二：利用展开定理(降阶的思想降阶的思想)2022年年11月月26日星期六日星期六290000000000000000yxyxyyxxy 思考题思考题2022年年11月月26日星期六日星期六30例例41、“范德蒙德范德蒙德(Vande
16、rmonde)”)”行列式行列式用数学归纳法证用数学归纳法证升幂排列升幂排列(P12例例1.2.4)q方法三：利用重要结论方法三：利用重要结论2022年年11月月26日星期六日星期六31例例52323232311248139271aaaaaaaaaaaa(key：)648a 2022年年11月月26日星期六日星期六322、拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)展开定理展开定理(P18)*000*0m mm mm mn nn nn nAAABBB3000004200000310000004000000510000116例例6m mn nAB 2022年年11月月26日星期六日星期六33*000*0m
17、 mm mm mn nn nn nAAABBB例例70000200014103002113030213 1mnm mn nAB 2022年年11月月26日星期六日星期六3411220,ljljnlnjD lja AaAlAja 11220,kikikninD kia AaAkAia 定理定理不零不零例例6(P17例例1.2.6)(P16定理定理1.2.1)(key：m=-4，k=-2)2022年年11月月26日星期六日星期六35q二阶、三阶行列式的二阶、三阶行列式的“对角线法则对角线法则”q行列式的性质行列式的性质TDD:提取公因子提取公因子:互换反号性互换反号性:倍加不变性倍加不变性:拆加性
18、拆加性:某行某行(列列)元素全为零、相同、对应成比例元素全为零、相同、对应成比例,则行列式等于零则行列式等于零小小 结结2022年年11月月26日星期六日星期六361122iiiiiinnDa Aa Aa A (1,2,)in 1122nnjjjjjjDa Aa Aa A(1,2,)jn q展开定理展开定理某行某行(列列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和元素与其对应的代数余子式的乘积之和q特殊行列式特殊行列式:主对角型主对角型:负对角型负对角型注意：注意：应选择含应选择含0多的行多的行(列列)来进行展开来进行展开 121n n 2022年年11月月26日星期六日星期六37:范德蒙德行列式范德蒙德行列式1222212111112(1)11nnnnnnjiij nnxxxxxxDxxxxx 2022年年11月月26日星期六日星期六38:拉普拉斯展开定理拉普拉斯展开定理*000*0m mm mm mn nn nn nm mn nAAABBBAB 1):*000*01m mm mm mn nn nn nmnm mn nAAABBBAB 2):2022年年11月月26日星期六日星期六39提前预习提前预习1.3 克拉默法则克拉默法则 41 2134 24:1(1)P 作作 业业习题习题1(A)：
