1、专题：几何探究题专题：几何探究题 类型一类型一 与全等三角形有关的探究与全等三角形有关的探究 1. 如图，P是ABC的边BC上的任意一点，M、N分别在AB和AC边上，且PMPB，PNPC，则PBM 和PCN叫做“孪生等腰三角形” (1)如图，若ABC是等边三角形，PBM和PCN是“孪生等腰三角形” ，证明PMCPBN； (2)如图，若ABC为等腰三角形，ABAC，PBM和PCN是“孪生等腰三角形” ，证明：BNCM； (3)如图，若(2)中P点在CB的延长线上，其他条件不变，是否依然有BNCM，若是，请证明，若不是， 请说明理由 第 1 题图 2. 已知ABC90，点P为射线BC上任意一点(点
2、P与点B不重合)，分别以AB、AP为边在ABC的内 部作等边ABE和APQ，连接QE并延长交BP于点F. (1)如图，若AB2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长； 3 (2)如图，当点A、E、P不在一条直线上时，猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线 段)，并加以证明； (3)若AB2，设BPx，以QF为边的等边三角形的面积y，说明等边三角形的面积y随x的变化情况 3 第 2 题图 3. 在ABC中，BAC为锐角，ABAC，AD平分BAC交BC于点D. (1)如图，若ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系； (2)如图，BC的垂直平分线
3、交AD的延长线于点E，交BC于点F，连接CE，BE，若ABE60，判断AC， CE，AB之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图，BC的垂直平分线交AD的延长线于点E，交BC于点F.若ACABAE，求BAC的度数 3 第 3 题图 4. 在ABC中，ABC2ACB，延长AB至点D，使BDBC，E是直线BC上一点，F是直线AC上一点， 连接DE、EF，且DEFDBC. (1)如图，若DEFC15，AB，求AC的长； 3 (2)如图，当BAC45，点E在线段BC的延长线上，点F在线段AC的延长线上时， 求证：EFDE； (3)如图，当BAC90，点E在线段CB的延长线上，点F在线段CA的延长
4、线上时，求的值 CF BE 第 4 题图 5. 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在直线CD上(不与点C、D重合)，连接AP，平移ADP，使 点D移动到点C，得到BCQ，过点Q作QHBD于H，连接AH，PH. (1)如图，若点P在线段CD上，求证：AHPH； (2)如图，若点P在线段CD的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证 明，否则说明理由； (3)若点P在线段DC的延长线上，且AHQ120，正方形ABCD的边长为 2，求线段DP的长 第 5 题图 类型二类型二 与相似三角形有关的探究与相似三角形有关的探究 1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，
5、P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N. (1)图中相似三角形共有_对； (2)证明：AM2MNMP； (3)若AD6，DCCP21.求BN的长 第 1 题图 2. 如图，在ABC中，ABC90，F是AC的中点，过AC上一点D作DEAB，交BF的延长线于点E， AGBE，垂足为点G，连接BD、AE. (1)求证：ABCBGA; (2)若AF5，AB8，求FG的长；(3)当ABBC，DBC30时，求的值 DE BD 第 2 题图 3. 如图，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A、B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形 ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似
6、，我们就把E叫做四边形ABCD边AB上的“相似点” ；如 果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD边AB上的“强相似点”. (1)如图，若ABDEC40，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由； (2)如图，在ABC中，ACB90，直角顶点C在直线DE上，分别过点A，B作ADDE于点D，BEDE 于点E. 求证：ADCCEB. (3)如图，ADBC，DP平分ADC，CP平分BCD交DP于点P，过点P作ABAD于点A，交BC于点B. 求证：点P是四边形ABCD边AB上的一个强相似点 第 3 题图 4. 在ABC中，ABa，ACb，点D、E分别在AB、AC上 (1)
7、如图，若ADc，ADE与ABC相似，求AE的长； (2)如图，若DEBC，将ADE绕点A旋转，得到AMN，连接BM、CN，求证：ABMACN； (3)在(2)的图形中，若ABC是直角三角形，且BAC30，ACB90，AB2，DE是ABC的中位线， 如图，请直接写出的值 BM CN 第 4 题图 5. 如图，在等腰ABC中，ABAC，ABC，过点A作BC的平行线与ABC的平分线交于点D，连 接CD. (1)求证：ACAD； (2)点G为线段CD延长线上一点，将GC绕着点G逆时针旋转，与射线BD交于点E. 如图，若，AHBC于点H，求证：DEGAHB； 如图，若2，DGkAD，求的值(用含k的代数
8、式表示) S DEG S BCD 第 5 题图 类型三类型三 与全等和相似三角形有关的探究与全等和相似三角形有关的探究 1. 如图，设E、F分别为正方形ABCD边BC、CD上的点，且EAF45，过E、F分别作AC的垂线，垂 足分别为P、Q. (1)试找出图中相似三角形(至少 3 对，全等除外)； (2)求证：AB2APAQ； (3) 设正方形的边长为 4，当P、Q重合时，求BE的长 第 1 题图 2. 已知：在ABC中，ABCACB，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转与 过点A且平行于BC边的直线交于点E. (1)如图，当60时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系； (2)
9、如图，当45时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明； (3)如图，当为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明(用 含的式子表示，其中 090) 第 2 题图 3. 在ABC中，点D在直线AB上，在直线BC上取一点E，连接AE，DE，使得 AEDE，DE交AC于点G， 过点D作DFAC，交直线BC于点F，EACDEF. (1)如图，当点E在BC的延长线上，求证：EGCAEC； (2)如图，当点E在BC的延长线上，D为AB的中点，若DF3，求BE的长度； (3)当点E在BC上，点D在AB的延长线上时，如图所示，若CE10，5EG2DE，求AG的长度 第
10、3 题图 4. (1)如图，在ABC中，A90，B30，点D，E分别在AB，BC上，且CDE90，EFAB 于点F，BE2AD，求证：DECD； (2)如图，在ABC中，BAC90，ABAC，点D在BC上，连接AD，E为AD上一点，过点E作BC 的平行线分别交AB，AC于点F，G，连接BE，CE，若BEC135， 求证：BFEEGC； (3)在(2)的条件下，若BD2DC，求的值. BE CE 第 4 题图 5. 在矩形ABCD中，AD4，M是AD的中点，点E是线段AB 上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线 于点F. (1)如图，求证：AEMDFM； (2)如图，若AB2，过点M作MGE
11、F交线段BC于点G，求证：GEF是等腰直角三角形； (3)如图，若AB2，过点M作MGEF交线段BC的延长线于点G，求的值. 3 MG ME 第 5 题图 6. 已知D是ABC的BC边上的中点，DEAB于点E、DFAC于点F，且BECF，点M、N分别是AE、DE 上的点，ANFM于点G. (1)如图，当BAC90时； 求证：四边形AEDF是正方形； 试问AN与FM之间的数量关系与四边形AEDF的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论； (2)如图，当AFDF21 时，求ANFM的值 第 6 题图 7. 已知正方形ABCD中，点E在BC上，连接AE，过点B作BFAE于点G，交CD于点F. 第
12、7 题图 8. 已知点E在ABC内，ABCEBD，ACBEDB60，AEB150，BEC90. (1)如图，当60，求证：ABECBD； (2)在(1)的条件下，连接CD，若AE1，试求BD的长； (3)如图，当90时，请写出的值 BD AE 第 8 题图 9. 在锐角ABC中，AB6，BC11，ACB30，将ABC绕点B逆时针旋转，得到A1BC1. (1)如图，当点C1在线段CA的延长线上时，CC1A1_； (2)如图，连接AA1，CC1. 若ABA1的面积为 24，求CBC1的面积； (3)如图，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B逆时针旋转过程中，点P的对 应点是P1，求在旋转过程中，线段EP1长度的最大值与最小值的差. 第 9 题图 10. 如图，在ABC中，ABC45，ADBC于点D，BEAC于点E，BE与AD相交于F.过F作FGBE， 过A作AGAB，AG与FG相交于G. (1)如图，若AC5，DF3，求AB的长； (2)证明：BFG是等腰直角三角形； (3)如图，当BD2CD时，连接CF并延长，分别交AB，BG于点H，I，求的值 AH HI 第 10 题图
