1、秒 杀 中 考 压 轴 题 二次函数背景下的线段和差及最值问题 【典例选讲】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+2x+3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C， 点 D 是抛物线的顶点 （1）设点 P 是对称轴上的一个动点，当PA C 的周长最小时，求点 P 的坐标； （2）在直线 BC 上是否存在一点 Q，使QAO 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 M 是抛物线对称轴上的一动点，当|AMCM|的值最大时，求出点 M 的坐标； （4）若点 N 是抛物线对称轴上的一动点，点|BNCN|的值最大时，求点 N 的坐标； （5）若点 T 是
2、 x 轴上的一个动点，当|BTDT|的值最小时，求点 T 的坐标； （6）若点 E 在 x 轴上，且使得 CE+ 1 3 BE 最小，求点 E 的坐标； （7）已知点 K(4， 0)， 将 OK 绕点 O 逆时针旋转得到 OK，旋转角为(0 90) ，连接 BK、 CK， 求 BK+ 4 3 CK 的最小值 【解析】 （1）解：当 y=0 时，-x2+2x+3=0，x1= -1，x2=3 当 x=0 时，y=3，A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3) 抛物线的对称轴为：x=1 点 A、B 关于对称轴对称 连接 BC 交对称轴于点 P，则 P 为满足条件的点 BC 的解析式为：y= -x+3
3、，当 x=1 时，y=2 P(1，2) （2）作点 O 关于直线 BC 的对称点 O 连接 AO 交 BC 于点 Q，则 Q 为满足条件的点 BC 的解析式为 y=-x+3，B(3，0) ABC=45，ABO=90，OB=OB=3，O (3，3) 设 AO 的解析式为 y=k1x+b1 秒 杀 中 考 压 轴 题 k b 0 1 1 3k b 3 1 1 ， 3 3 k ， b ， AO 的解析式 为 1 1 4 4 3 3 y x 4 4 3 3 y x 4 4 y x 3 ， 9 12 x ， y ， 7 7 9 12 Q( ， ) 7 7 （3）设 AC 与对称轴的交点为 M，则 M 为
4、满足条件的点 |AMCM|=CM 最大 A(-1，0)，C(0，3) 直线 AC 的解析式为：y=3x+3 当 x=1 时，y=6，M(1，6) （4）点 A、B 关于对称轴 x=1 对称 |BNCN|=|AN-CN|=CN 最大 由(3)知 N(1，6) （5）取 BD 的中点 R，过点 R 作 BD 的垂线交 x 轴于 T， |BTDT|=0，T 为满足条件的点 D(1，4)，B(3，0）R(2，2) DB 的解析式为：y=-2x+6 RT 的解析式为： 1 y x 1 2 1 当 y=0 时， 0 x 1， x 2 2 T(-2，0) （6）在 y 轴上取点 G，使 OG:BG=1:3，
5、 作 CEBG 交 x 轴于 E，交 BG 于 F 设 OG=a，BG=3a，则 OB BG2 OG2 2 2a a tan OCE tan OBG 2 2a 2 4 OE 2 3 2 ， OE 3 4 4 3 2 E( ， 0) 4 （7）在 y 轴上取点 N，使 k O2 OC ON ，连接 BN OC=3， K O OK 4 ， 16 ON ， 3 OK ON 4 OC OK 3 COK K ON ， 秒 杀 中 考 压 轴 题 COK K ON NK OK 4 4 ，NK CK CK OC 3 3 4 BK CK BK NK BN 3 B、 K ，N 三点共线时， 4 BK CK BK
6、 NK =BN 最小 3 BN OB2 ON 2 20 3 4 BK CK 的最小值 为 3 20 3 【精讲精练】 1 （2014绵阳）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象过点 M (2， 3) ，顶点坐 标为 4 3 N(1， ) ，且与 x 3 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点 （1）求抛物线的解析式； （2）在直线 AC 上是否存在一点 Q，使QBM 的周长最小？若存在，求出 Q 点坐标；若不存在，请说明理 由 【解析】 （1）抛物线顶点坐标为 4 3 N(1， ) ，设解析式为 y a(x 1)2 3 4 3 3 4 3 3 3 a(2 1)2 , a 3 3
7、 3 4 3 3 2 3 抛物线的解析式为 y (x 1)2 或 y x2 x 3 3 3 3 （2）延长 BC 至 B ，使 CB CB ，连接 MB 交 AC 于点 Q 3 4 3 当 y=0 时， 0 (x 1)2 ，x1=1，x2=-3 3 3 A(1， 0)， B(3， 0)， C(0，3) ，OA=1，OB=3，OC 3 BC2 32 ( 3)2 12， AC2 12 ( 3)2 4, AB2 16 BC2+AC2=AB2， BCA 90 QQ 群 1070281827 秒 杀 中 考 压 轴 题 点 B、 B 关于直线 AC 对称，点 Q 为满足条件的点 由中点坐标公式得 B(
8、3， 2 3) M（2， 3 ） BM 的解析式为： 3 7 3 y x ，AC 的解析式为： y 3x 3 5 5 3 7 3 y x 5 5 y 3x 3 ， 1 4 3 x ， y ， 3 3 1 4 3 Q( ， ) 3 3 k 2 （2014成都）如图，已知抛物线 y (x 2)(x 4) （ k 为常数，且 k 0 ）与 x 轴从左至右依次交于 8 3 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y x b 3 与抛物线的另一交点为 D （1）若点 D 的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式； （2）在（1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连接 AF，
9、一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止当点 F 的坐标是 多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？ 【解析】 （1）作 DEx 轴于 E，设 BD 交 y 轴于 G， k 当 y=0 时， (x 2)(x 4) 0 8 x1=-2，x2=4，A(-2，0)，B(4，0)， OE=5，OB=4，BE=9，OG=b k 27 y (5 2)(5 4) k 8 8 OGDE，BOGBED， OG BO b 4 , ， b DE BE k 9 27 8 3k 2 27 5 3 3 8 3 k k， k
10、8 3 2 9 抛物线的解析式为 3 y (x 2)(x 4) 秒 杀 中 考 压 轴 题 （2）由（1）知， 27 8 3 DE 8 9 3 3 DE 3 3 3 tan DBE ， DBE 30 BE 9 3 作 DQx 轴交 y 轴于 Q，AF 交 DQ 于 P QDB=DBE=30 当 APDQ 时， 1 PF DF ， 2 1 AF DF AF PF AP 最短，运动时间 最少 2 3 AF AB 2 3， F(2， 2 3) 3 3 （2016济南）如图 1，抛物线 yax2(a3)x3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0）
11、 （ 0m4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； C （2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若 1 C 2 6 5 ，求 m 的値； （3）如 图 2，在（2）的条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE，旋转角为(090)，连接 EA、 2 EB，求 EA EB 的最小值 3 【解析】 3 （1）把点 A（4，0）代入 yax2(a3)x3，得 16a4(a3)30解得 a 4 3 9 抛物线的函数表达式为： y x2 x 3 把 x=0 代入上式，
12、得 y=3 4 4 点 B 的坐标为（0，3） AB 的函数表达式为： 3 y x 3 4 3 9 （2）由已知得，OE=m，AE=4-m， PE m2 m 3， 4 4 3 EN m 3 ， 4 3 5 PN PE EN m 3m, AN (4 m) 2 4 4 秒 杀 中 考 压 轴 题 PE OA, PM AB， ANE PNM ，PMNAEN C PN 6 1 ， C AN 5 2 3 m 2 3m 6 4 , , 4 m 2 m 5 5 1 2 (4 m) 4 （不合题意，舍去）， m 的值为 2 （3）在 y 轴上取点 F，使 E O2 OF OB ，连接 AF OE=OE=2，OB=3， OF 4 OF OE 2 , ， 3 OE OB 3 1=1EOFBOE E F OF 2 2 , E F E B ， E B OE 3 3 2 E A E B E A E F AF 3 AF OF 2 OA2 4 3 10 当 A， E ，F 三点共线时， 2 E A E B E A E F=AF 最小，其 值为 3 4 3 10
