1、秒 杀 中 考 压 轴 题 二次函数背景下面积的定值与最值问题 1 2 5 【典例选讲】如图，已知抛物线 y x x 2 与 x 轴交于 A、B 两点，交 y 轴于点 C 2 2 （1）点 P 是抛物线上一点，且 SABP=3，求点 P 的坐标； （2）点 Q 是抛物线上一点，且 SACQ=2，求点 Q 的坐标； （3）在直线 AC 上方的抛物线上是否存在一点 D，使得DCA 的面积最大？若存在，求出点 D 的坐标及 DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线上恰好存在三个点 F 使得 SACF=k，求 k 的值及点 F 的坐标； 2 5 （5）在抛物线上是否存在异于 A、C
2、 的点 P，使PAC 中 AC 边上的高为 ？若存在，求出点 P 的坐 5 标；若不存在，请说明理由； （6）在直线 AC 上方的抛物线上有一动点 Q，当 Q 与直线 AC 的距离 QD 最大时，求出点 Q 的坐标，并 求出最大距离是多少？ 【解析】 1 5 （1）设 P(x，y)，当 y=0 时， x2 x 2 0 ，x1=1，x2=4，A(4，0)，B(1，0)， AB=3 2 2 1 S 3 | y | 3，y=2 或 y=-2 ABY 2 1 5 当 y=2 时， x2 x 2 2 ，x2-5x+8=0，此方程无实数根 2 2 1 5 当 y=-2 时， x2 x 2 2 ，x1=0，
3、x2=5，P(0，-2)或（5，-2） 2 2 （2）取 OC 的中点 E，过点 E 作 AC 的平行线交抛物线于 Q1，Q2 E(0，-1) A(4，0)，B(1，0)，C(0，-2)，OA=4，OC=2 SAOC=4，SACE=2，SACQ1= SACQ2=2 AC 的解析式为： 1 y x 2 ，EQ 的解析式 为： 2 1 y x 1 2 1 5 y x x 2 2 2 2 1 y x 1 2 秒 杀 中 考 压 轴 题 2 2 Q (2 2 ， ) ， Q (2 2 ， ) 1 2 2 2 作点 E 关于点 C 的对称点 E，过点 E作 AC 的平行线交抛物线于 Q 3 ， Q4 E
4、Q 的解析式为： 1 y x 2 3 1 5 y x x 2 2 2 1 y x 3 2 2 ， 6 6 Q (2 6,2 ),Q (2 6,2 ) 3 4 2 2 1 5 （3）设 D(t, t2 t 2) ，作 DEx 轴于 E 交 AC 于 F 2 2 1 5 DE t2 t 2 ， 2 2 1 EF t 2 2 1 DF=DE+EF= t2 2t 2 1 1 1 | | ( 2 2 ) 4 ( 2)2 4 S DF x x t t t DCA A B 2 2 2 当 t=2 时，SDCA 最大=4，D(2，1) （4）过点 F 作 AC 的平行线 FM 设 FM 的解析式为： 1 y
5、x b 2 1 5 y x x 2 2 2 1 y x b 2 2 ，x2- 4x+4+2b=0 当=16-4(4+2b)=0 时，满足条件的点 F 有三个 b=0， 1 y x 2 1 5 y x x 2 2 2 1 y x 2 2 ，F1(2，1) 作点 O 关于点 C 的对称点 O，过点 O作 AC 的平行线交抛物线于 F OF 的解析式为： 1 y x 2 4 1 5 y x x 2 2 2 1 y x 4 2 2 ， 2 2 F (2 2,3 ), F (2 2, 3 ) 2 3 2 2 （5）作 OEAC 于 E，取 OC 的中点 M，过点 M 作 AC 的平行线 交抛物线于 P，
6、交 OE 于 N，点 P 为满足条件的点 秒 杀 中 考 压 轴 题 4 5 OE ， 5 NE 2 5 5 由(2)知，满足条件的点 P 的坐标为： 2 2 P(2 2, ),P (2 2, ) ， 1 2 2 2 6 6 P (2 6,2 ),P (2 6,2 ) 3 4 2 2 （6）过点 Q 作 QRAC，设直线 QR 的解析式 为： 1 y x b 2 1 5 y x x 2 2 2 1 y x b 2 2 ，x2- 4x+4+2b=0 当=16-4(4+2b)=0 时，Q 与直线 AC 的距离 QD 最大 b=0， 1 y x ， 2 1 5 y x x 2 2 2 1 y x 2
7、 2 ，Q(2，1) 精讲精练 1【2015 攀枝花】如图，已知抛物线 y x2 bx c 与 x 轴交于 A(1, 0) 、 B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C ， 抛物线的对称轴与抛物线交于点 P 、与直线 BC 相交于点 M ，连接 PB （1）求该抛物线的解析式； （2）在（1）中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D ，使得 BCD 的面积最大？若存在，求出 D 点坐 标及 BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由 （3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q ，使得 QMB 与 PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标； 若不存在，请说明理由 【解析】 （1）抛物线 y x
8、2 bx c 与 x 轴交于 A(1, 0) 、 B(3, 0) 两点 1 b c 0 9 3b c 0 b ， c 2 3 抛物线的解析式为： y x2 2x 3 （2）作 DFx 轴于 F 交 BC 于 E，设 D(t，-t2+2t+3)，由(1)知 B(3，0)，C(0，3) BC 的解析式为：y=-x+3 DF=-t2+2t+3，EF=-t+3，DE=DF-EF=-t2+3t 1 1 3 3 27 S DE x x t 2 t t 2 | | ( 3 ) 3 ( ) BCD B C 2 2 2 2 8 3 当 t 时， 2 3 15 D( , ) ， 2 4 S BCD 最大 27 8
9、 （3）抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3 直线 BC 的解析式为：y=-x+3， P(1，4)，M(1，2) 秒 杀 中 考 压 轴 题 点 P 关于 M 的对称点 N(1，0) 过点 P 和点 N 作 AC 的平行线交抛物线于点 Q PQ 1 的解析式为：y=-x+5，NQ 2 的解析式为：y=-x+1 y x 5 ， y x 2x 3 2 y x 1 y x 2x 3 2 3- 17 1- 17 3 17 1 17 Q (2， 3)，Q ( , - ), Q ( , - ) 1 2 3 2 2 2 2 2 【2015 成都】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y ax2 2a
10、x 3a(a 0) 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A在点 B 的左侧），经过点 A的直线 l ：y kxb与 y 轴交于点 C ，与抛物线的另一个交点为 D ， 且CD 4AC （1）直接写出点 A的坐标，并求直线 l 的函数表达式（其中 k ， b 用含 a 的式子表示）； （2）点 E 是直线l 上方的抛物线上的一点，若 ACE 的面积的最大值 为 5 4 ，求 a 的值； 备用图 【解析】 （1）令 y=0，则 ax22ax3a=0，解得 x1=1，x2=3 点 A 在点 B 的左侧，A（1，0） 作 DFx 轴于 F OF CD DFOC，CD=4AC， 4 OA AC OA=1，
11、OF=4，D 点的横坐标为 4 y=16a-8a-3a=5a，D(4，5a) k b 0 4k b 5a k a ， b a 直线 l 的函数表达式为 y=ax+a （2）设 E(m，a(m+1)(m-3)，AE 交 y 轴于 M，设 yAE=k1x+b1 mk b a(m 1)(m 3) 1 1 k b 0 1 1 k a(m 3) ， 1 b a(m 3) 1 ，OM=a(a-3) 由（1）知 OC=-a，CM=OM+OC=a(m-3)-a 2 1 1 a 3 25 S CM x x a m a m m a | | ( 3) ( 1) ACE E A 2 2 2 2 8 当 3 m 时，
12、2 25 25 5 S 最大 a a ，a ACE 8 8 4 2 5 秒 杀 中 考 压 轴 题 3 【2016 成都】如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y a(x 1)2 3与 x 轴交于 A， B 两点（点 A在点 8 B 的左侧），与 y 轴交于点C ) ，顶点为 D ，对称轴与 x 轴交于点 H ，过点 H 的直线l 交抛物线于 P ， (0, 3 Q 两点，点Q 在 y 轴的右侧 （1）求 a 的值及点 A， B 的坐标； （2）当直线 l 将四边形 ABCD 分为面积比为 3: 7 的两部分时，求直线 l 的函数表达式； 备用图 【解析】 8 8 （1）抛物线与 y 轴
13、交于点 C(0, ) ， a 3 , a 3 3 1 3 1 1 y (x 1)2 3 ，当 y=0 时， (x 1)2 3 0 ，x1=2，x2=-4，A(-4，0)，B(2，0) 3 3 （2）A(-4，0)，B(2， 0)， 8 C(0, ) ，D(-1，- 3) 3 AD 的解析式为 y=-x-4，BC 的解析式为 4 8 y x 3 3 1 1 8 1 8 S S S S 3 3 ( 3) 1 2 10 四边形 ABCD ADH 梯形 OCDH BOC 2 2 3 2 3 从面积分析知，直线 l 只能与 AD 或 BC 相交 当直线 l 与 AD 相交于点 M 1 时，则 3 S 10 3 AHM1 10 1 2 3| y | 3 ，yM1=-2，M1(- 2，-2) M1 直线 l 的解析式为 y=2x+2 当直线 l 与 BC 相交于点 M 2 时， 2 3 S BHM 1 2 3| y | 3 ，yM2=- 2， M1 1 M ( , 2) 2 2 直线 l 的解析式为 4 4 y x 3 3 综上，直线 l 的解析式为 y=2x+2 或 4 4 y x 3 3
