1、1创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断第第4节绝对值不等式及其应用节绝对值不等式及其应用考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.2创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断知知 识识 梳梳 理理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集(a，a)不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R3创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断(2)|axb|c(c0)和|axb
2、|c(c0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c _.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.caxbcaxbc或axbc4创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|ab|_，当且仅当_时，等号成立；(2)|a|b|ab|a|b|；(3)如果a，b，c是实数，那么|ac|_，当且仅当_时，等号成立.|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)05创
3、新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断常用结论与易错提醒1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.6创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断诊诊 断断 自自 测测1.判断下列说法的正误.(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.()(5)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等
4、号成立.()解析(1)当c0时，x0；(3)当a0b且|a|b|时，等号成立；(4)当ab0且|a|b|时，等号成立.答案(1)(2)(3)(4)(5)7创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断2.(2020杭州四中仿真)已知xR，则“|x3|x1|2”是“x1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案A8创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断3.若函数f(x)|x1|2xa|的最小值为3，则实数a的值为()A.5或8 B.1或5C.1或4 D.4或89创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断答案D10创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断4.
5、设xR，不等式|x|2x1|2的解集为_.11创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断12创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断6.设函数f(x)|xa|3x，其中a0.(1)当a1时，则不等式f(x)3x2的解集为_.(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，则a的值为_.解析(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故当a1时，不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1.13创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断答案(1)x|x3或x1(2)214创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断【例1】(一题多解)解不等式|x1|x2|5.考点一含绝对值不等式的解法考
6、点一含绝对值不等式的解法解法一如图，设数轴上与2，1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间2，1不是不等式的解集.把A向左移动一个单位到点A1，此时A1AA1B145.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1AB1B5，故原不等式的解集为(，32，).15创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断16创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断由图象可知，当x(，32，)时，y0，原不等式的解集为(，32，).17创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断规律方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用
7、绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ab)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|xa|xb|c(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体；(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结合图象求解.18创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断【训练1】已知函数f(x)|x1|x2|，则：(1)不等式f(x)1的解集为_；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，则m的取值范围为_.19创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断20创新设计创新设计考点聚焦突破
8、基础知识诊断考点二利用绝对值不等式求最值考点二利用绝对值不等式求最值(或范围或范围)【例2】(1)对任意x，yR，求|x1|x|y1|y1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x1|1，|y2|1，求|x2y1|的最大值.解(1)x，yR，|x1|x|(x1)x|1，|y1|y1|(y1)(y1)|2，|x1|x|y1|y1|123.|x1|x|y1|y1|的最小值为3.(2)|x2y1|(x1)2(y1)|x1|2(y2)2|12|y2|25，即|x2y1|的最大值为5.21创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断规律方法求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；
9、(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.22创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断【训练2】(1)若关于x的不等式|2 018x|2 019x|d有解，求实数d的取值范围；解(1)|2 018x|2 019x|2 018x2 019x|1，关于x的不等式|2 018x|2 019x|d有解时，d1.23创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断【例3】(2018全国卷)设函数f(x)5|xa|x2|.(1)当a1时，求不等式f(x)0的解集；(2)若f(x)1，求a的取值范围.24创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断(2)f(x)1等价于|xa|x2
10、|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，).25创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断规律方法(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法.26创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断【训练3】(2018全国卷)设函数f(x)|2x1|x1|.(1)画出yf(x)的图象；(2)当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值.27创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断28创新设计创新设计考点聚焦突破基础知识诊断(2)由(1)知，yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.29本节内容结束
