1、绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1设 3i 12i z ，则z= A2 B3 C 2 D1 2已知集合1,2,3,4,5,6,7 2,3,
2、4,52,3,6,7UAB，则 U BA A1,6 B 1,7 C6,7 D1,6,7 3已知 0.20.3 2 log 0.2,2,0.2abc，则 Aab c Bacb Ccab Dbca 4 古希腊时期， 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 51 2 （ 51 2 0.618， 称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐 的长度之比也是 51 2 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是 A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm
3、5函数 f(x)= 2 sin cos xx xx 在，的图像大致为 A B C D 6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这些新生中用系统抽样 方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生 7tan255= A23 B2+3 C23 D2+3 8已知非零向量 a，b 满足a=2b，且（ab）b，则 a 与 b 的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 9如图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图，图中空白框中应填入
4、AA= 1 2A BA= 1 2 A CA= 1 12A DA= 1 1 2A 10双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的一条渐近线的倾斜角为 130 ，则 C 的离心率为 A2sin40 B2cos40 C 1 sin50 D 1 cos50 11ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA= 1 4 ，则 b c = A6 B5 C4 D3 12已知椭圆 C 的焦点为 12 ( 1,0),(1,0)FF，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点.若 22 | 2|AFF B， 1 | |ABBF，则 C 的方
5、程为 A 2 2 1 2 x y B 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13曲线 2 )3(exyxx在点(0,0)处的切线方程为_ 14记 Sn为等比数列an的前 n 项和.若 13 3 1 4 aS，则 S4=_ 15函数 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx的最小值为_ 16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为3，那么 P 到平面 ABC 的距离为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
6、骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60 分。 17（12 分） 某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不 满意的评价，得到下面列联表： 满意 不满意 男顾客 40 10 女顾客 30 20 （1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？ 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd P（K2k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841
7、6.635 10.828 18（12 分） 记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 S9=a5 （1）若 a3=4，求an的通项公式； （2）若 a10，求使得 Snan的 n 的取值范围 19（12 分） 如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是 BC，BB1， A1D 的中点. （1）证明：MN平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离 20（12 分） 已知函数 f（x）=2sinxxcosxx，f （x）为 f（x）的导数 （1）证明：f （x）在区间（0，）存在唯一零点； （2）若 x0，时，f（
8、x）ax，求 a 的取值范围 21.（12 分） 已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB =4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切 （1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径； （2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP为定值？并说明理由 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t ， （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半 轴为极轴建立极坐
9、标系，直线 l 的极坐标方程为2 cos3 sin110 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明： （1） 222 111 abc abc ； （2） 333 ()()()24abbcca 2019年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学参考答案参考答案 一、选择题 1.答案：C 解析：因为 3(3)(1 2 )1 7 1 2(1 2 )(1 2 )5 iiii z iii ， 所以z 22 17 ( )() 55 2 . 2
10、.答案：C 解析：7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1U，5432，A， 则761 ，ACU， 又7632，B， 则76，ACB U ， 故选 C. 3.答案：B 解答： 由对数函数的图像可知： 2 log 0.20a ； 再有指数函数的图像可知： 0.2 21b ， 0.3 00.21c， 于是可得到：acb. 4.答案：B 解析： 方法一： 设头顶处为点A， 咽喉处为点B， 脖子下端处为点C， 肚脐处为点D， 腿根处为点E， 足底处为F，tBD ， 2 15 ，根据题意可知 BD AB ,故tAB；又tBDABAD) 1( ， DF AD ，故 tDF 1 ；所以身高tDFA
11、Dh 2 ) 1( ，将618. 0 2 15 代入可得th24. 4.根据腿长 为cm105，头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB，EFDF ；即26t，105 1 t ，将 618. 0 2 15 代入可得4240t，所以08.1786 .169h，故选 B. 方法二： 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为头顶 至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 2 15 （618. 0 2 15 称为黄 金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相 加可得头顶至肚脐
12、的长度为cm68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 2 15 可计算出肚脐至 足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm178，与答案 cm175更为接近，故选 B. 5.答案：D 解答： 2 sin () cos xx fx xx 2 sin cos xx xx ( )f x ， ( )f x为奇函数，排除 A. 又2 2 sin 42 22 ()0 2 cos 22 f ，排除 C， 22 sin ( )0 1 cos f ，排除 B，故选 D. 6.答案：C 解答：从1000名学生中抽取100名，每10人抽一个，46号学生被抽到，则抽取的号
13、数就为 106(099,)nnnN ，可得出616号学生被抽到. 7.答案：D 解析：因为tan255tan(18075 )tan75 tan45tan30 tan(4530 ) 1tan45tan30 ， 化简可得tan25523 8.答案：B 解答：|2|ba ，且bba )(，0)(bba ，有0| 2 bba ，设a 与b 的夹角为，则有 0|cos| 2 bba ，即0|cos|2 22 bb ，0) 1cos2(| 2 b ，0|b ， 2 1 cos， 3 ，故a 与b 的夹角为 3 ，选B. 9.答案：A 解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论. 选项 A 代入运算可得 1 =
14、 1 2+ 1 2+ 2 A ，满足条件， 选项 B 代入运算可得 1 =2+ 1 2+ 2 A ,不符合条件， 选项 C 代入运算可得 1 2 A ,不符合条件， 选项 D 代入运算可得 1 1+ 4 A ,不符合条件. 10.答案：D 解答：根据题意可知130tan a b ，所以 50cos 50sin 50tan a b ， 离心率 50cos 1 50cos 1 50cos 50sin50cos 50cos 50sin 11 22 22 2 2 2 2 a b e . 11.答案：A 解答：由正弦定理可得到： 222 sinsin4 sin4aAbBcCabc，即 222 4acb，
15、 又由余弦定理可得到： 222 1 cos 24 bca A bc ，于是可得到6 b c . 12.答案：B 解答：由 22 2AFF B， 1 ABBF，设 2 F Bx，则 2 2AFx， 1 3BFx，根据椭圆的定义 2121 2F BBFAFAFa，所以 1 2AFx，因此点A即为椭圆的下顶点，因为 22 2AFF B， 1c 所以点B坐标为 3 ( , ) 2 2 b ，将坐标代入椭圆方程得 2 91 1 44a ，解得 22 3,2ab，故答案选 B. 二、填空题 13.答案：3yx 解答： 2 3(21)3() xx yxexx e 2 3(31) x xxe， 结合导数的几何
16、意义曲线在点(0,0)处的切线方程的斜率3k ， 切线方程为3yx. 14.答案： 5 8 解析： 1 1a ， 3123 3 4 Saaa，设等比数列公比为q， 2 111 3 4 aa qa q， 1 2 q ， 所以 4 S 5 8 . 15答案：4 解答： 2 3 ( )sin(2)3coscos23cos2cos3cos1 2 f xxxxxxx ， 因为cos 1,1x ，知当cos1x时( )f x取最小值， 则 3 ( )sin(2)3cos 2 f xxx 的最小值为4 16.答案： 2 解答： 如图， 过P点做平面ABC的垂线段， 垂足为O， 则PO的长度即为所求， 再做,
17、PECB PFCA， 由线面的垂直判定及性质定理可得出,OECB OFCA，在Rt PCF中，由2,3PCPF，可得出 1CF ，同理在Rt PCE中可得出1CE ，结合90ACB， ,OECB OFCA 可得出 1OEOF， 2OC ， 22 2POPCOC . 三、解答题 17解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 50 ，因此男顾客对该商场服务满意 的概率的估计值为0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6 50 ，因此女顾客对该商场服务满意的概 率的估计值为0.6 （2） 2 2 100 (40 2030 10) 4.762 50 50 70 3
18、0 K 由于4.7623.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 18解：（1）设 n a的公差为d由 95 Sa 得 1 40ad由a3=4得 1 24ad于是 1 8,2ad 因此 n a的通项公式为102 n an （2）由（1）得 1 4ad ，故 (9) (5) , 2 nn n nd and S . 由 1 0a 知0d ，故 nn Sa等价于 2 1110 0nn，解得1n10 所以n的取值范围是 |110,nnnN剟 19解：（1）连结 1 ,BC ME.因为M，E分别为 1, BB BC的中点，所以 1 MEBC，且 1 1 2 MEBC. 又因为N
19、为 1 AD的中点，所以 1 1 2 NDAD.由题设知 11= ABDC ，可得 11= BCAD ，故 = MEND ， 因此四边形MNDE为平行四边形，MNED.又MN 平面 1 C DE，所以MN平面 1 C DE. （2）过C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC， 1 DECC，所以DE平面 1 CCE，故DECH. 从而CH平面 1 C DE，故CH的长即为C到平面 1 C DE的距离，由已知可得CE=1，C1C=4，所以 1 17C E ， 故 4 17 17 CH .从而点C到平面 1 C DE的距离为 4 17 17 . 20解：（1）设( )( )g xfx，则(
20、)cossin1,( )cosg xxxxg xxx.当 (0,) 2 x时，( )0g x； 当 , 2 x 时，( )0g x，所以( )g x在 (0,) 2 单调递增，在 , 2 单调递减. 又 (0)0,0, ()2 2 ggg ，故( )g x在(0,)存在唯一零点.所以( )fx在(0,)存在唯一零点. （2）由题设知(),()0faf，可得a0.由（1）知，( )fx在(0,)只有一个零点， 设为 0 x，且当 0 0,xx时，( )0fx； 当 0, xx时，( )0fx，所以( )f x在 0 0,x单调递增，在 0, x单调递减. 又(0)0,()0ff，所以，当0,x时
21、，( ) 0f x . 又当0,0,ax时，ax0，故( )f xax.因此，a的取值范围是(,0. 21解： （1）因为M过点,A B，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线+ =0x y上，且,A B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线yx上，故可设( , )M a a. 因为M与直线x+2=0相切，所以M的半径为|2|ra. 由已知得|=2AO，又MOAO，故可得 22 24(2)aa，解得=0a或=4a. 故M的半径=2r或=6r. （2）存在定点(1,0)P，使得|MAMP为定值. 理由如下： 设( , )M x y，由已知得M的半径为=| +2|,|=2r
22、xAO. 由于MOAO，故可得 222 4(2)xyx，化简得M的轨迹方程为 2 4yx. 因为曲线 2 :4C yx是以点(1,0)P为焦点，以直线1x为准线的抛物线，所以|= +1MP x. 因为| |=|= +2( +1)=1MAMP rMP xx，所以存在满足条件的定点P. 22解： （1）因为 2 2 1 11 1 t t ，且 2 2 22 2 22 2 14 1 21 1 ytt x t t ，所以C的直角坐标方程为 2 2 1(1) 4 y xx .l的直角坐标方程为23110xy. （2）由（1）可设C的参数方程为 cos , 2sin x y （为参数， ）. C上的点到l
23、的距离为 4cos11 |2cos2 3sin11|3 77 . 当 2 3 时， 4cos11 3 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 23解： （1）因为 222222 2,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有 222 111abbcca abcabbcca abcabc . 所以 222 111 abc abc . （2）因为, , a b c为正数且1abc，故有 333333 3 ()()()3 () () ()abbccaabbcac =3( + )( + )( + )a b b c a c3 (2) (2) (2)abbcac =24. 所以 333 ()()()24abbcca.
