1、第六章 不定积分 两个方面 数学上很多方面都存在逆运算：1、加减乘除开方乘方求导？2、实际问题：相反的问题：已知瞬时速度V=V（t）求运动规律：这就是求微商运算的反问题。前面，已知质点的运动规律S=S（t），求瞬间的速度V=V（t），只需将S=S（t）对t求微商就可以了。第一节 不定积分的概念 上的一个原函数。在是则称XxfxF)()(一、原函数一、原函数(),()yf xXXF x设函数在区间 内有定义如果存在 内的函数，使得定义定义 1)()(xfxF例例1 xxcossin 问题一问题一存在性：存在性：哪些函数一定存在原函数？哪些函数一定存在原函数？问题二问题二唯一性：唯一性：由定义，显
2、然不唯一，由定义，显然不唯一，且有：若且有：若F（x）为为 f（x）的一个原函数，）的一个原函数，则对任意常数则对任意常数C，F（x）+C也是也是f（x）的一个原函数。）的一个原函数。这也说明，这也说明，若若f（x）存在一个原函数，）存在一个原函数，则其必有无穷多个原函数。则其必有无穷多个原函数。问题三问题三若若F（x）为）为f（x）的一个原函数，）的一个原函数，F（x）+C 是否所有的原函数？是否所有的原函数？即：是否即：是否f（x）的每一个原函数都具有）的每一个原函数都具有F（x）+C的形式？的形式？回答：下面的定理：回答：下面的定理：定理定理6.1若 F(x)是 f(x)在区间 I 内的
3、一个原函数，则 F(x)+C 是 f(x)的全体原函数，其中 C 是任意常数。证明：Lagrange中值定理的推论。根据原函数的这种结果，引入定义。例2 cossin;xdxxc 32;3xx dxC 1ln|dxxCx这里没有注明x的变化范围，通常都理解为使等式成立的x的全体。不定积分不是一个函数，而是一族函数，在几何上他是一族曲线，称为积分曲线，只要画出其中的一条，其它曲线可通过平移而得到。定义6.2 f(x)在区间 I 上的原函数全体称为 f(x)在区间 I 上的不定积分，记为()f x dx从而,若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则有()()f x dxF xC ,C为任意常数
4、二、不定积分的概念注意 由定义知：由定义知：()()f x dxf x或或()()df x dxf x dx()()F x dxF xC或或()()dF xF xC1 1）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。）求不定积分运算与微分（微商）运算是互逆的。2 2）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基）根据基本初等函数的导数公式表，可以得到基 本积分公式表：本积分公式表：三、基本积分公式表三、基本积分公式表注注意意 ax dx xe dx 1dxxxa dx cosxdx sin xdx 2sec xdx 2csc xdx 211dxx21dxx强调1 1、背熟、背熟2 2、积分常数不、积
5、分常数不能丢能丢 ln|(0).xc x11(1,0).1axc axa(,1)lnxac ao aaxecsin xccosxctan xccot xcarcsinarccosxcxc arctancotxcarcxc 四、不定积分的运算法则四、不定积分的运算法则微商运算法则不定积分的运算法则（线形运算法则）()()()()f xg x dxf x dxg x dx1、2、()()kf x dxkf x dx证明：说明一下法则的体系（极限求导 定理6.2例3.求 2sin2xdx解:21 cos1sin(sin)222xxdxdxxxc例4.求22sincosdxxx解:2211()tanc
6、otcossindxxxcxx222222sinsincossincosdxxcon xdxxxxx例5.求3211xxdxx解：3222111()arctan112xxdxxdxxxcxx例6.求 2(23)xxdx解：2(23)(492 6)xxxxxdxdx 492 6ln4ln9ln6xxxc前面给出了基本积分表和分部积分的性质，但所能计算的积分非常有限，且不能总用定义求。例：cos2xdx2xe dx第二节 换元积分法与分部积分法一.换元积分法 先看例子：求 2xe dx公式表中只有xxe dxec 比较两积分：凑一个因子22221112(2)222xxxue dxedxe dxe
7、du21122uxecec一般情况：（凑微分法或第一换元法）（凑微分法或第一换元法）设设 具有原函数具有原函数 ,即即 ()()g u duG uc 可导可导,记记 ，则有，则有 ()()()()()()f x dxgxx dxg u duG ucGxc证明：与复合函数的微分法则对应证明：与复合函数的微分法则对应 例：例：sin2xdx?dxxasincos?xxdx 定理定理6.3()g u()G u()ux()()()f xgxx1sin2(2)2xdx 1cos22xc求求22dxxa 解解:22dxxa211()xdaxaa例例1求求22dxax解：解：例例322dxax1arctan
8、xcaa21()xdaxaarcsinxca1()1()22d xad xaaxaaxa例例2111()2dxaxaxa求22dxxa11lnln22xaxacaa1ln2xacaxa 解解:22dxxa例例4.求求secxdx解法解法2:secxdx cosdxxsin11ln2sin1xcx 22sinsincos1 sindxdxxx由例由例2得，得，sin11ln2sin1xcx2coscosxdxxln sectanxxc增加tan xdx cot xdx 例例5 求(1)dxxx解法1：2(1)dxdxxxxx2121142d xx由例3得12arcsin1(1)2xdxcxxar
9、csin(21)xcln cosxcln sin xc解法2：22(1)1dxdxxxx2cos xdx1sin224xxc增加有些积分不能直接凑出微分.而是选择变量替换()xt 2arcsinxc1cos21cos222xdxdxxdx（第二换元法）（第二换元法）设()xt可导，且()0t又设()()()ftt dtF tc则()f x dx()()()ftt dtF tc1()Fxc111()()()()()()()FxcF txfttf xt 证：定理定理6.4例9 求22dxxa （a0）22dxxa2secsecatdtat令,则2secdxatdtsecln tansectdttt
10、c22lnxaxcaa221ln xaxc其中1lnccatan,2xat t例例10 求求 22(0)dxaxa解：设解：设 sec,xat则则222sec1tanxaatat secsec tandxadtattdt于是于是 22asect tantsecln(sectan)tandxdttdtttcatxa作辅助三角形作辅助三角形 得到得到 22tanxatatxa22xa因此：原式因此：原式 22221lnln()xxacxxacaa其中其中 1lncca3022tt 或总结上面几例，我们利用三角公式，总结上面几例，我们利用三角公式，对一些无理式作了如下代换：对一些无理式作了如下代换：
11、22ax，令，令 对于对于22xa，令，令对于对于22xa，令，令sec,022xattt 或目的在于消去根号，因为它们比较典型，目的在于消去根号，因为它们比较典型，故特别称之为三角代换。故特别称之为三角代换。对于对于sin,2xat ttan,2xat t由乘积的微商公式：()()()()()()u x v xu x v xu x v x()()()()()()u x v xu x v xu x v x故()()()()()()u x v x dxu x v xu x v x dx这个公式称为分部积分公式。或关键：适当选取 和 ，使 容易求。2 2分部积分法分部积分法()()()()()()
12、u x dv xu x v xv x du x()()v x du x()u x()v x例13cosxxdx2xx e dx选 ()sinp xbxdx()cosp xbxdx幂函数与指数函数乘积的积分()axp x e dx总结：幂函数与正（余）弦函数乘积的积分()()u xp x例14arcsin xdx2lnxxdx例15总结：选()()v xp x()arctanp xxdx()lnmp xxdx 有时分部积分后会遇到原来的不定积分。注意加c()arcsinp xxdx例17 求 3sec tdt 解：原式=2sectansec tantansectdtttttdt 所以 31sec
13、sec tanln|sectan|2tttttc3sec tan(secsec)tttt dt3sec tanln|sectan|sectttttdt例1822ax dx 解：原式=2222222222axdxxdxadxaxaxax 移项即得22222arcsin22axxax dxaxca求22221arcsin2xxdxaaax222arcsinxaxdaxa2222arcsinxax axaxdxa例2022()nndxIxa 解：1221arctandxxIcxaaa 下面求2222()dxIxa两种方法 求：2222212222222221222211222221222222231
14、11()()11 111.2 1 211122112211arctan22axxx dxIdxIaxaaaxaIxdaaxaxIIaa xaaxIa xaaxxca xaaa 类似的.nI 方法2 从1I出发分部积分1222222222222222222222221()(2)()222()dxxIxdxaxaxaxxxdxxaxaxxaaxdxIa Ixaxaxa 2122221122xIIa xaa 类似的.nI 前面介绍了两种重要的积分方法，利用它们可以求出许多初等函数的不定积分。但是要灵活地运用这些方法，它不象求导数那样简单和易掌握。另外，任一初等函数总可按一定的步骤求得它的导函数，且导
15、函数还是初等函数。而求初等函数的积分不仅无一定的步骤可循，更有所不同的是初等函数的原函数有可能不再是初等函数，这时我们也说积分积不出来。总结：一些特殊类型的函数的积分：一些特殊类型的函数的积分：1.有理函数的积分：()()()nmP xR xQxnmnm真分式假分式若R()x真分式之和。因此有理函数的 积分只需讨论真分式的积分：有理函数不是真分式，用多项式除法可将其写成一个多项式与一个多项式的积分和有理真分式的积分思路：把被积函数（真分式）分解为简单分式的和。两个多项式的商称为有理函数,即变量和常数经有限次四则运算得到的式子。()()nnP xQ x所以归纳为简单分式的积分：都可以分解为有限个
16、简单分式的和。每个真分式根据代数基本定理，1、简单分式有四种（两类）（1）Ax-a（2）()nAx-a（3）2Bx+cx+px+q（4）()2nBx+cx+px+q其 中 42 32p-q0,b-4ac0或a0（2）22(,)R ukudu转化为三角函数有理式的积分 当 时，240bac(),()(),()()a xR xa xxR x xx2,R xaxbxc2432xdxxx例例32.求求22434(1)12(1)1xxdxdxxxx解法一：解法一：1sec,xt 令1sec,sec tanxt dxttdt 则2434sec1sec tantan2xtdxttdttxx2(4secsec
17、)4tanln sectantt dttttc2242ln12xxxxxc 解法二：解法二：224344 122xxdxdxxxxx2242ln12xxxxxc 222(2)222d xxdxxxxx2242(1)1dxxxx习 题例例1.求.d4932xxxxx解解:原式xxxxxd233222xxxd)(1)(23232xx2323232)(1)(dln1xaaaxxdlndCx3ln2ln)arctan(32例例2.求.dcos1sinxxxx解解:原式xxxxxd2cos22cos2sin222tandxxxxd2tanCxx2tan分部积分例例3.求.d)2(23xexxx解解:取,
18、23xxuxev2)4(23 xx132xx660)(ku)4(kvxe2xe221xe241xe281xe2161232111124816(2)(31)66xexxxxC Cxxxex)7264(23281xxaxaexPxkndcossin)(说明说明:此法特别适用于如下类型的积分:例例4.求.d1xx解解:设1)(xxF1x,1x1x,1x则)(xF1,1221xCxx1,2221xCxx因)(xF连续,)1()1()1(FFF得21211121CC221121CC记作C得xxd1)(xF1,21221xCxx1,21221xCxx,)1(221Cx,)1(221Cx利用 补充题例例1.
19、1.设 解解:)(xF为)(xf的原函数,时时当当0 x,2sin)()(2xxFxf有有且,1)0(F,0)(xF求.)(xf由题设,)()(xfxF则,2sin)()(2xxFxF故xxFxFd)()(xxd2sin2xxd24cos1即CxxxF4sin)(412,1)0(F,1)0(2FC0)(xF,因此14sin)(41xxxF故)()(xFxf14sin2sin412xxx又例例2.求.1d632xxxeeex解解:令,6xet 则,ln6tx txtdd6原式原式ttttt)1(d623tttt)1)(1(d621331362ttttt dtln61ln3t)1ln(232tCt
20、 arctan3Ceeexxxx636arctan3)1ln()1ln(323例例3.求.dsincossincos3xxxxx解解:令xxsincos3xBAxBAsin)(cos)(比较同类项系数3 BA1 BA,故2,1BA 原式xxxxxsincos)sind(cos2dCxxxsincosln说明说明:此技巧适用于形为xxdxcxbxadsincossincos的积分.)sin(cos)sin(cosxxBxxAxbxasincos令)sincos()sincos(xdxcBxdxcA例例4.求不定积分.dsin)cos2(1xxx解解:)cos(xu 令令原式 uuud)1)(2(12)1)(2(12uuuA21uB1uC31A61B21C2ln31u1ln61uCu1ln21)2ln(cos31x)cos1ln(61xCx)1ln(cos21xxxxdsin)cos2(sin2作业 P163页：1.(1),(4),(5),(7),(16),(17),(18);2.P187页：1.(2),(3),(4),(6),(14),(15),(16),(29);2.(6),(7),(8),(9),(10),3;5;7.
