1、绝密绝密启用前启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2 选择题必须使用 2B 铅笔填涂； 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写， 字体工整、 笔迹清楚。 3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上 答题无效。 4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选
2、择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合= | 1Ax x ， |2Bx x，则 AB= A(-1，+) B(-，2) C(-1，2) D 2设 z=i(2+i)，则z= A1+2i B-1+2i C1-2i D-1-2i 3已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|= A 2 B2 C5 2 D50 4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只 测量过该指标的概率为 A 2 3 B 3 5 C 2 5 D 1 5 5在“一带一路”知识测
3、验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D甲、丙、乙 6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e1 x ，则当 x0)两个相邻的极值点，则= A2 B 3 2 C1 D 1 2 9若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 1 3 xy pp 的一个焦点，则 p= A2 B3 C4 D8 10曲线 y=2sinx+cosx 在点(，-1)处的切线方程为 A10xy B2210xy C2210x
4、y D10xy 11已知 a（0， 2 ），2sin2=cos2+1，则 sin= A 1 5 B 5 5 C 3 3 D 2 5 5 12设 F 为双曲线 C： 22 22 1 xy ab （a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为 A 2 B 3 C2 D 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若变量 x，y 满足约束条件 2360 30 20 xy xy y ， ， ， 则 z=3xy 的最大值是_. 14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列
5、车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估 计值为_. 15ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 bsinA+acosB=0，则 B=_. 16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但 南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体” （图 1） .半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围 成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同 一个正方体的表面上， 且
6、此正方体的棱长为 1 则该半正多面体共有_个面， 其棱长为_ （本 题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 如图，长方体 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BEEC1 （1）证明：BE平面 EB1C1； （2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥 11 EBBCC的体积 18（12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列， 132 2,216
7、aaa. （1）求 n a的通项公式； （2）设 2 log nn ba，求数列 n b的前 n 项和 19（12 分） 某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对 于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表 y的分组 0.20,0) 0,0.20) 0.20,0.40) 0.40,0.60) 0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2） 求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值 （同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （精 确
8、到 0.01） 附：748.602. 20（12 分） 已知 12 ,F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的两个焦点，P 为 C 上一点，O 为坐标原点 （1）若 2 POF为等边三角形，求 C 的离心率； （2）如果存在点 P，使得 12 PFPF，且 12 FPF的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围 21（12 分） 已知函数( )(1)ln1f xxxx证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )=0f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分
9、 22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分） 在极坐标系中，O 为极点，点 000 (,)(0)M 在曲线:4sinC上，直线 l 过点(4,0)A且与OM垂 直，垂足为 P. （1）当 0= 3 时，求 0 及 l 的极坐标方程； （2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23选修 4-5：不等式选讲（10 分） 已知( ) |2|().f xxa xxxa （1）当1a 时，求不等式( )0f x 的解集； （2）若(,1)x 时，( )0f x ，求a的取值范围. 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 一、选择题 1.
10、答案：C 解析：|1Ax x-，|2Bx x，1,2AB （）. 2.答案：D 解析：因为(2)12ziii ，所以1 2zi . 3.答案：A 解答：由题意知( 1,1)ab ，所以2ab. 4.答案：B 解答：计测量过的 3 只兔子为1、2、3，设测量过的2只兔子为A、B则 3 只兔子的种类有 (1, 2,3)(1, 2,)A (1, 2,)B (1,3,)A (1,3,)B(1,)A B2,3,2,3,2,3,ABA BA B，则恰好有两只测量 过的有 6 种，所以其概率为 3 5 . 5.答案：A 解答：根据已知逻辑关系可知，甲的预测正确，乙丙的预测错误，从而可得结果. 6.答案：D
11、解答：当0x时，0x ，()1 x fxe，又 ( )f x为奇函数， 有( )()1 x f xfxe . 7.答案：B 解析:根据面面平行的判定定理易得答案. 8.答案：A 解答：由题意可知 3 2442 T 即T=,所以=2. 9.答案：D 解析：抛物线 2 2(0)ypx p的焦点是(,0) 2 p ，椭圆 22 1 3 xy pp 的焦点是(2 ,0)p， 2 2 p p，8p . 10.答案：C 解析：因为2cossinyxx ，所以曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线斜率为2， 故曲线2sincosyxx在点( , 1)处的切线方程为2210xy . 11.答案：B
12、解答：(0,) 2 ， 2 2sin2cos214sincos2cos ， 则 1 2sincostan 2 ，所以 2 12 5 cos 1 tan5 ， 所以 2 5 sin1 cos 5 . 12.答案：A 解析：设F点坐标为 ,0) 2 c （ ，则以OF为直径的圆的方程为 2 22 ) 22 cc xy （ -，圆的方程 222 xya -，则-，化简得到 2 a x c ，代入式，求得 ab y c ，则设P点坐标为 2 ,) aab cc （ ， Q 点坐标为 2 ,) aab cc （ ，故 2ab PQ c ，又 PQOF ,则 2ab c c ，化简得到 222 2abca
13、b ， ab ，故 22 2 2 caba e aaa .故选 A. 二、填空题 13.答案：9 解答：根据不等式组约束条件可知目标函数3zxy在(3,0)处取得最大值为 9. 14.答案：0.98 解答：平均正点率的估计值 0.97 100.98 200.99 10 0.98 40 . 15.答案： 3 4 解析：根据正弦定理可得sinsinsincos0BAAB,即sinsincos0ABB，显然sin0A，所以 sincos0BB，故 3 4 B . 16.答案：26； 2 1 解析：由图 2 结合空间想象即可得到该正多面体有 26 个面；将该半正多面体补成正方体后，根据对称性列 方程求
14、解. 三、解答题 17解： （1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1， 故 11 BCBE 又 1 BEEC，所以 BE平面 11 EBC （2）由（1）知BEB1=90 .由题设知 RtABERtA1B1E，所以 11 45AEBAEB ，故 AE=AB=3， 1 26AAAE. 作 1 EFBB，垂足为 F，则 EF平面 11 BBCC，且3EFAB 所以，四棱锥 11 EBBCC的体积 1 3 6 318 3 V 18解： （1）设 n a的公比为q，由题设得 2 2416qq，即 2 280qq 解得2q （舍去）或q=4 因此 n a的通项公式为 121 2
15、 42 nn n a （2）由（1）得 2 (21)log 221 n bnn，因此数列 n b的前n项和为 2 1 321nn 19解： （1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为 147 0.21 100 产值负增长的企业频率为 2 0.02 100 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%， 产值负增长的企业比 例为2% （2） 1 ( 0.10 20.10 240.30 530.50 140.70 7)0.30 100 y ， 5 2 2 1 1 100 ii i snyy 22222 1 ( 0.4
16、0)2( 0.20)240530.20140.407 100 =0.0296， 0.02960.02740.17s ， 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17% 20 解：（1） 连结 1 PF， 由 2 P O F为等边三角形可知在 12 FPF中， 12 90FPF， 2 PFc， 1 3PFc， 于是 12 2( 3 1)aPFPFc，故C的离心率是31 c e a . （2）由题意可知，满足条件的点( , )P x y存在当且仅当 1 | 216 2 yc，1 yy xc xc ， 22 22 1 xy ab ， 即| |16cy ， 222 xyc， 22
17、 22 1 xy ab ， 由及 222 abc得 4 2 2 b y c ，又由知 2 2 2 16 y c ，故4b 由得 2 222 2 a xcb c ，所以 22 cb，从而 2222 232,abcb故4 2a. 当4b，4 2a时，存在满足条件的点P 所以4b，a的取值范围为4 2,) 21解：（1）( )f x的定义域为（0，+）. 11 ( )ln1ln x fxxx xx . 因为lnyx单调递增， 1 y x 单调递减，所以( )fx单调递增，又(1)10 f ， 1ln4 1 (2)ln20 22 f ，故存在唯一 0 (1,2)x ，使得 0 0fx. 又当 0 xx
18、时，( )0fx，( )f x单调递减；当 0 xx时，( )0fx，( )f x单调递增. 因此，( )f x存在唯一的极值点. （2） 由 （1） 知 0 ( 1 )2f xf， 又 22 ee30f， 所以( )0f x 在 0, x 内存在唯一根x. 由 0 1x得 0 1 1x . 又 1111( ) 1 ln10 f f ，故 1 是( )0f x 在 0 0,x的唯一根. 综上，( )0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 22解：（1）因为 00 ,M 在C上，当 0 3 时， 0 4sin2 3 3 . 由已知得| |cos2 3 OPOA . 设( , )Q 为l上
19、除P的任意一点.在RtOPQ中，cos| 2 3 OP ， 经检验，点(2,) 3 P 在曲线cos2 3 上 所以，l的极坐标方程为cos2 3 （2）设( , )P ，在RtOAP中，| |cos4cos ,OPOA 即 4cos 因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是, 4 2 . 所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos , 4 2 . 23解： （1）当 a=1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx. 当1x时， 2 ( )2(1)0f xx ；当1x时，( )0f x . 所以，不等式( )0f x 的解集为(,1). （2）因为( )=0f a，所以1a . 当1a ，(,1)x 时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xx xaax x. 所以，a的取值范围是1,)
