1、 让抽象变得自然让抽象变得自然 线性代数精彩案例线性代数精彩案例 李尚志李尚志 北京航空航天大学北京航空航天大学 精选1 润物细无声：应用案例润物细无声：应用案例 子空间概念的应用子空间概念的应用精选2 精选3 精选4精选5 精选6 精选7 精选8 精选9 精选10 4 阶幻方构造法阶幻方构造法 4 x +同加1精选11随风潜入夜随风潜入夜:概念的引入概念的引入方程个数的真与假方程个数的真与假 方程组方程组 有几个方程？有几个方程？3 3个个?2?2个个?某个方程是其余方程的线性组合某个方程是其余方程的线性组合 线性相关线性相关精选12 方程组线性相关方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的
2、线性组有多余的方程（是其余方程的线性组合）合）删去多余的方程删去多余的方程 -打假打假 将打假进行到底将打假进行到底 极大线性无关组极大线性无关组 剩下的方程的个数剩下的方程的个数-秩秩rank rank 极大线性无关组，秩极大线性无关组，秩精选13二元一次方程组的几何意义二元一次方程组的几何意义行列式的定义行列式的定义方程组方程组可写成向量形式可写成向量形式即即精选141.有唯一解的条件有唯一解的条件不共线不共线即即2.消元消元:方程方程(1.1)两边与两边与(1.1)作内积消去作内积消去y,得得其中其中精选15就是就是同理得同理得图图2因此因此,于是于是3.二阶行列式二阶行列式 平行四边形
3、面积平行四边形面积精选16称为称为二阶行列式二阶行列式,记作记作是平行四边形是平行四边形 OAPB 的有向面积的有向面积,是两个向量是两个向量或或的函数的函数,计算公式计算公式:或或图图2精选174.代数算法代数算法精选18可写成可写成其中其中三阶行列式与体积三阶行列式与体积1.三元一次方程组的几何意义三元一次方程组的几何意义精选19两边同时与两边同时与方程方程作内积消去作内积消去 y,z,得到得到类似地可以得到类似地可以得到 y,z 的表达式。的表达式。当当时得时得精选20从原点从原点O出发作有向线段出发作有向线段OA，OB，OC使使则则就是以就是以OA,OB,OC为棱的平行六面为棱的平行六
4、面体的有向体积。称为体的有向体积。称为三阶行列式三阶行列式，记作，记作2.三阶行列式三阶行列式 平行六面体体积平行六面体体积精选21利用基本性质计算利用基本性质计算 n 阶行列式阶行列式(3.1)当当 i1,i2,in 中有两个相等时，中有两个相等时，这样的项可以从这样的项可以从(3.1)中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2,in 两两不相等的项两两不相等的项,(3.1)中的中的 变成对变成对1,2,1,2,n 的全体排列的全体排列 (i1,i2,in)求和，成为：求和，成为：精选22 将排列将排列 中任意两个数中任意两个数 相互交相互交换位置换位置,称为这个排列的一个称为这个排列的一个对
5、换。相应地，对换。相应地，行行列式列式 中的中的 互换了位置，互换了位置，其值变为原来值的相反数其值变为原来值的相反数 。进行若干次对换进行若干次对换(设为设为 s 次次)可以将排列可以将排列 变成标准排列变成标准排列(12n),相应地将相应地将 变成变成 (3.2)以下只须对每个排列以下只须对每个排列 求求精选23 可以证明可以证明,的值由排列的值由排列 唯一唯一决定决定,我们将我们将 记为记为 sgn 。则。则 sgn代入代入(3.3)得到得到(3.3)于是得于是得这可以作为这可以作为 n 阶行列式的定义。阶行列式的定义。(3.4)精选24线性代数线性代数 空间为体空间为体,矩阵为用矩阵为
6、用 研究对象研究对象-几何：线性空间(向量)研究工具研究工具-代数：矩阵运算 向量向量 (问题问题)矩阵语言描述矩阵语言描述 矩阵运算解决矩阵运算解决 向量向量(解答解答)与微积分的关系与微积分的关系:非线性非线性 -微积微积分 线性线性 -线性代数线性代数 精选25微积分中的代数模型微积分中的代数模型 物理物理:以匀速代变速 几何几何:以直代曲 代数代数:以线性代非线性精选26线性化线性化-微分与导数微分与导数 y=f(x)在在a a的微分：的微分：D Dy=f(x)-f(a)线性函数线性函数 dy=kD Dx 误差误差 q=q=D Dy-dy 是是 D Dx=x-a 的高阶无穷小的高阶无穷
7、小.导数导数 f(a)=一次项系数一次项系数 k.一次函数逼近一次函数逼近 f(x)f(a)+f(a)(x-a)误差集合误差集合 o(D Dx)：D Dx 的高阶无穷小的高阶无穷小 非零作零貌似零非零作零貌似零:q q+q q =q q,q q-q q =q q,aq q=q q.同余式同余式 f(x)f(a)+f(a)(x-a)（mod o(D Dx)）精选27同余式同余式:极限极限:f(x)A,f(x)A （mod O(D Dx)）微分微分:f(x)f(a)+f(a)(x-a)(mod o(D Dx)Taylor逼近逼近:f(x)k0+k1(x-a)+kn(x-a)n (mod o(D D
8、x)n)精选28多项式的导数多项式的导数 .多项式多项式 f(x)的导数的导数:x为常量为常量，t t 为变量为变量,则则 D D f(x)=f(x+t)t)f(x)是是 t t 的多项式，的多项式，其中的一次项系数为其中的一次项系数为 f(x).精选29 和差积商的导数公式和差积商的导数公式 f(x)f(a)+f(a)D Dx g(x)g(a)+g(a)D Dx 两式相加减两式相加减 和差的导数和差的导数 相乘相乘乘积的导数乘积的导数 f(x)g(x)f(a)g(a)+(f(a)g(a)+g(a)f(a)D Dx 倒数的导数倒数的导数:精选30 微积分基本定理微积分基本定理 数学聊斋：数学聊
9、斋：飞檐走壁之电影飞檐走壁之电影 实现实现 导数：导数：位置位置 f(t)速度速度 v(t)=f(t)积分：速度积分：速度 v(t)路程路程 D Df(t)“倒过来放映倒过来放映”:求求 f(t)使使 f(t)=v(t).例：例：.精选31 F(x,y)在某点在某点P0可微可微 何时由何时由 F(x,y)=0 确定确定 y=f(x)?线性化线性化:aD Dx+bD Dy 0,y=f(x)在在 x0 可微可微,导数为导数为 隐函数存在定理隐函数存在定理精选32 可微函数可微函数 n 个方程个方程 =0,线性化线性化 即即 当当 det B 时有唯一解时有唯一解隐映射定理隐映射定理精选33线性变换
10、前后的图形精选34 向量方向的变化精选35 选取特征向量为基选取特征向量为基精选36计算案例计算案例:若当标准形若当标准形 精选37 网上资源网上资源 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级 数学实验数学实验(2003),(2003),线性代数线性代数(2004)(2004)http:/ 20062006申报精品课程申报精品课程 国家级国家级 联系办法联系办法:精选38 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志,线性代数线性代数(数学专业用数学专业用),),高等教育出版社高等教育出版社,2006.5,2006.5 精选39 精品课程网页精品课程网页http:/精选40 博博 客客 http:/
11、比梦更美好之二比梦更美好之二 -名师培养了我名师培养了我 数学聊斋二则数学聊斋二则 数学诗选数学诗选精选41 星移斗转落银河星移斗转落银河,月印三潭伴碧波。月印三潭伴碧波。保短保长皆变换保短保长皆变换,能伸能屈是几何。能伸能屈是几何。矩阵与变换矩阵与变换精选42我的数学聊斋我的数学聊斋 之一之一 峨嵋山的佛光峨嵋山的佛光 精选43数学聊斋数学聊斋 之二之二 指鹿为马之幼儿版指鹿为马之幼儿版 精选44 博比博比:长颈鹿长颈鹿 马马马马 老虎老虎 猫咪猫咪 狮子狮子 狗狗狗狗 黑猩猩黑猩猩 爸爸爸爸 纠错码纠错码:合法码两两之间差异大合法码两两之间差异大 (至少至少3 3位位)原码原码:01001
12、1101011:010011101011传输传输 错码错码:01001:010010 0101011101011纠错纠错 最接近的合法码最接近的合法码精选45 数学聊斋数学聊斋 之三之三 人与照片之维数人与照片之维数 之四之四飞檐走壁之电影飞檐走壁之电影 实现实现 精选46 数学聊斋数学聊斋(之五之五)足球的方与圆足球的方与圆-概率概率沙场百胜古来稀沙场百胜古来稀九密一疏已足奇九密一疏已足奇祸福偶然存概率祸福偶然存概率风云多变泄天机风云多变泄天机 精选47 数学聊斋数学聊斋 之六之六 没收非法所得是惩罚吗没收非法所得是惩罚吗 -数学期望数学期望 之七之七邯郸农行案邯郸农行案 精选48 谢谢谢谢
13、 ！精选49 代数几何熔一炉代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书乾坤万物坐标书 图形百态方程绘图形百态方程绘 变换有规矩阵筹变换有规矩阵筹代数与几何代数与几何精选50矩阵的相似对角化 AX1=aX1,AX2=bX2,AX3=cX3 A(X1,X2,X3)=(X1,X2,X3)D D=diag(a,b,c),P=(X1,X2,X3)AP=PD,P-1AP=D A 相似于对角形相似于对角形 D.精选51 参考文献参考文献线性代数线性代数(数学专业用数学专业用),高教出版社高教出版社,2006.,2006.让抽象变得自然让抽象变得自然-建设国家精品课程的体会建设国家精品课程的体会,中国大学教学中国大学教学,2006,2006年第年第7 7期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例(之一之一),),大学数学大学数学,20062006年第年第3 3期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例(之二之二),),大学数学大学数学,20062006年第年第4 4期期若当标准形的计算若当标准形的计算,大学数学大学数学,2006,2006年第年第5 5期期从问题出发引入线性代数概念从问题出发引入线性代数概念,高等数学研究高等数学研究,20062006年第年第5 5期期,第第6 6期期精选52
