1、3.1 光纤模式理论概述3.2 波动光学基础3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式3.6 三个重要参数3.7 运用边界条件得出本征方程3.8 由本征方程出发讨论模式的分类和性质3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件3.10 若干低阶模式的色散曲线3.11 阶跃光纤中的线性偏振模3.12 LP模的场分布形式（与下标l,m的关系）3.13 导模纵向功率流3.14 主模式号、模组、模群和模角3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布3.16 阶跃光纤中导模数量3.17 波动光学结果与几何光学结
2、果的对照3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法3.19 多模渐变型光纤的模式特性3.20 单模光纤的模式特性光纤模式的激励（光的入射）光纤中的模式分布（光线传播轨迹）模式的传播速度（光线的时延）模式沿光纤横截面的场分布光信号的传输损耗光信号的畸变模式的偏振特性模式的耦合光波导要研究的主要问题3.1 光纤模式理论概述模式电磁场场形LED、白炽灯LD、点源经准直透镜的光束光源 光纤 光斑初始端导波模、辐射模（泄漏模）导波模波导、导波的概念！导波：能量被局限在某个系统内部或系统周围并沿该系统导引的方 向传输的电磁波。波导：凡是能引导和限制电磁波传输的系统。3.1 光纤模式理论概述模式电磁场
3、场形模式：是波导结构的固有电磁共振属性的表征。一给定光纤波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，而外界激励源只能激励起光纤中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。3.1 光纤模式理论概述麦克斯韦方程组波动方程（亥姆霍兹方程）传播常数相速度和群速度 图（缺）k3.2 波动光学基础第二章已讲过包含内容传播常数对于齐次亥姆霍兹方程，当取这些物理量的任一直角分量时，可有下式成立：022uku)(0zyxzyxeuu02222kzyx此式的通解为于是可得),(zyxijiii其中 相位常数（传播常数）衰减常数传播常数i表示光波沿i方向传播单位距离后的相位改变量3.2 波动光学基础相速度和群速度群速度
4、就是指电磁波的包络传播的速度。实际上就是电磁波实际前进的速度。相速度就是电磁波相位传播的速度。通俗地讲，就是电磁波形状向前变化的速度。在波导中，相速度往往比群速度要大。形象一点说，你拿电钻在一个很坚固的墙上钻洞，你会觉得电钻的钻头的螺纹在旋转时似乎以高速前进，但这只是你的错觉，因为你看到的是螺纹的“相速度”，虽然很快，但是你的电钻却很慢很慢地向墙内推进，也就是说电钻的总的向前推进的速度就是“群速度”。如果墙壁很硬，你的电钻根本就钻不进去，电钻向前推进的速度为“0”，但是你从电钻的螺纹上看却总是觉得电钻是不断钻进去的。3.2 波动光学基础9本征值问题022ukuuku22如果算符作用于函数等于一
5、个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。波动理论的实质：对于给定的边界条件求本征方程的解本征解及其对应的本征值，在数学上称之为“本征值问题”。3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立光纤中电磁波的假设解假设波导中存在如下形式的模式解zjzjztjztjeyxHHeyxEEeyxHHeyxEE),(),(),(),(00)(0)(0其复振幅形式为光纤波导中，电磁波在纵向（轴向）以“行波”的形式存在，在横向上以“驻波”的形式存在。即：场分布在轴向的变化只体现在相位上，场的幅度不随轴向传播距离而变化（前提：光纤中无模式耦合，也不存在损耗和增
6、益）3.3 圆柱坐标系中波动方程的建立：磁导率：介电常数 /BHED )()()()(2222xEyHjHyExHjHxHyEjEyHxEjEzztyzztxzztyzztx根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中）tBEtDH可得出0 0 2222222222ztzzztzzHyHxHEyExE推导过程3.13.3 圆柱坐标系中波动方程的建立直角坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系)()()()(2222rEHjHErrHjHrHEjEHrrEjEzztzztrzztzztr011011222222222222ztzzzztzzzHHrrHrrHEErrErrE推导过
7、程3.23.3 圆柱坐标系中波动方程的建立圆柱坐标下光纤中电磁波横向场分量与纵向场分量之间的关系阶跃光纤中的波导方程求解过程简化阶跃光纤结构用分离变量法解耦在纤芯、包层界面运用边界条件获得本征方程011011222222222222ztzzzztzzzHHrrHrrHEErrErrE3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解阶跃光纤中的波导方程简化阶跃光纤结构a1n2n10nba1n2nb阶跃光纤实际结构 求解时建立的对应物理模型为什么使用包层光纤而不用裸光纤？3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解阶跃光纤中的波导方程用分离变量法解耦011 222222ztzzzEErrErr
8、E求解)()(rAREz令222222222)()()()(10)()(lrRrdrrdRrdrrRdrrRlddt利用分离变量法得到3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解阶跃光纤中的波导方程用分离变量解耦arrCKarrAJrRrICrCKrYArAJrRltlttltlttltl )()()()|(|)|(|)()()(为虚数为实数jle)(包层中横向传播常数纤芯中横向传播常数:22222212kktt其中llsincos)(？3.4 阶跃光纤中纵向场分量满足的波动方程的求解arerCKarerAJrAREjlljltlz )()()()(jltltlttjltlttltrjlt
9、lzjltlttltjltltlttrjltlzerBJrljrAJjHerBJrAJrljjHerBJHerBJrAJrljjEerBJrljrJAjEerAJEar)()()()()()()()()()(121222圆柱坐标系中阶跃光纤电磁场分量的表达式纤芯中3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表达式jllljlllrjllzjllljlllrjllzerDKrlrCKjHerDKrCKrljHerDKHerDKrCKrljEerDKrnrKCjEerCKEar)()()()()()()()()()(222222圆柱坐标系中阶跃光纤电磁场分量的表达式包层中3.5 阶跃光纤中电磁场分量的具体表
10、达式光纤的重要参量归一化频率逝场的衰减速度表示导模在包层中的消常数包层中横向归一化传播波场的横向振荡频率表示导模在芯区中的驻常数纤芯中横向归一化传播 :)(:)(222222022222221202222VWUVWnkaaWUnkaaUt3.6 三个重要参量纤芯、包层界面的边界条件1E2E1zE2zE处ar 2211221121212121 2 1 rrrrzzzzHHEEHHEEHHEE包层纤芯3.7 运用边界条件得出本征方程本征方程)11)(11()()()()()()()()(222122221WUWUlWWKWKUUJUJWWKWKUUJUJllllllll推导过程3.33.7 运用边
11、界条件得出本征方程模式及其基本性质TEM模 TE模TM模HE或EH模0zzHE0,0zzHE0,0zzHE0,0zzHE光纤中的模式：HE（EH）模，TE（TM）模3.8 由本征方程出发讨论模式的分类及性质光纤中模式的偏振特性、场强关系和相位关系3.4T:T:T TransverseransverseE:E:E Electric fieldlectric fieldM:M:MMagnetic fieldagnetic field阶跃光纤中的模式分析模式分类讨论本征方程)11)(11()()()()()()()()(222122221WUWUlWWKWKUUJUJWWKWKUUJUJllllll
12、ll模模或时，得到当TETMWWKWKUUJUJWWKWKUUJUJlllllllll 0)()()()(0)()()()(021光纤中各类模式对应的本征方程3.5模和时，可导出当EHHEl13.8 由本征方程出发讨论模式的分类及性质3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件模式临近截止条件和远离截止条件关注包层中电磁场分量表达式jllzeraWCKE)(3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件由各类模式对应的本征方程讨论其临近截止和远离截止条件导出过程3.6各类模式（精确模）对应的本征方程和截止、远离截止条件模式本征方程截止条件远离截止条件mTE0mTM
13、0mHE1)2(lHElm)0(lEHlm0)()()()(0101WWJWKUUJUJ0)()()()(010121WWJWKUUJUJ0)(00cmUJ)0(0)(001mmUUJ0)()()()(101021WWJWKUUJUJ0)()()()(1121WWJWKUUJUJllll0)()()()(11WWJWKUUJUJllll)0(0)(111cmcmUUJ0)(00cmUJ)0(0)(2clmclmlUUJ)0(0)(1lmlmlUUJ)0(0)(clmclmlUUJ)0(0)(1lmlmlUUJ0)(10mUJ)0(0)(001mmUUJ3.9 由各类模式对应的本征方程讨论其临近
14、截止和远离截止条件若干低阶模式有效折射率随归一化频率变化的曲线 3.10 若干低阶模式的色散曲线2220212022202nknknkb上图左纵坐标表示各导模的有效折射率0/k右纵坐标表示归一化变量1.对b的范围的讨论（光能量是否被良好地闭锁在纤芯中）2.模式出现的先后顺序对色散曲线图的说明 3.10 若干低阶模式的色散曲线弱导近似弱导近似weakly guiding approximation21 1)11()()()()(22WUlWWKWKUUJUJllll前面讨论了本征方程的精确解，直观意义不明确并且比较复杂。下面讨论弱导近似下的本征方程。此时，本征方程可简化为3.11 阶跃光纤中的线
15、性偏振模弱导近似下本征方程的统一形式0)()()()(:0)()()()(:21WWKWKUUJUJTEWWKWKUUJUJTMllllllll模模)11()()()()(:122WUlWWKWKUUJUJlllll 0)()()()(11WKWWKUJUUJllll统一形式：推导过程3.7模对应时当模对应时当模对应时当mlmlmmmmHEEHlHETMTElHEl,1,12001,1,1 ,0lmmmLPLPLP103.11 阶跃光纤中的线性偏振模lmLP 模截止值和远离截止值（U值）LP模 截止条件远离截止条件截止、远离截止值 0 3.8317 7.0156 10.173 13.322.4
16、048 5.5201 8.6537 11.79 14.932.4048 5.5201 8.6537 11.79 14.933.8317 7.0156 10.173 13.323.8317 7.0156 10.173 13.325.1356 8.417 11.62 14.79mLP0mLP1mLP2)0(0)(001cmcmUUJ0)(00mUJ0)(10cmUJ)0(0)(111mmUUJ)0(0)(221cmcmUUJ)0(0)(222mmUUJ01LP02LP03LP04LP05LP11LP12LP13LP14LP15LP21LP22LP23LP24LP25LP3.11 阶跃光纤中的线性偏
17、振模3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系推导过程3.8（书上P3537）LP模的含义及具体表达式 简并度3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系LP模横截面场分布形式与下标l,m的关系 推导过程3.9（书上P41-42页）几种低阶LP模横截面上的光斑图（线性偏振模）3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系NoImage几种低阶LP模横截面上的光斑图（线性偏振模）3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系几种低阶LP模横截面上的光斑图（线性偏振模）3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系几种低阶精确模横截面
18、上的光斑图（精确模）3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系几种低阶精确模横截面上的光斑图（精确模）3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系几种低阶精确模横截面上的光斑图（精确模）3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系几种低阶精确模横截面上的光斑图3.12 LP模的场分布形式及与下标l,m的关系几种低阶精确模横截面上的光斑图（精确模）3.13 导模纵向功率流几种低阶模的归一化光功率分布01LP21LP11LP左边b=0.9，右边b=0.1书P42433.14 主模式号、模组、模群和模角书P4344HE11HE21TE01TM01电场磁场四个低阶模式的电磁场矢量结构图（
19、横截面上）3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布电力线、磁力线方程的推导3.103.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布几个低阶模式的电磁场矢量结构图3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布由电力线和磁力线分布图看精确模合成线性偏振模3.15 阶跃光纤中导模电力线和磁力线的分布由电力线和磁力线分布图看精确模合成线性偏振模3.16 阶跃光纤中的导模数量)24cos(2)(lUUUJXlTE/TM 子午光线EH/HE 偏斜光线3.17 波动光学结果与几何光学结果的对照3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法渐变型折射率光纤的折射率分布3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKB
20、J解法渐变型折射率光纤的波动方程0)()()(1)(22222022rRrlrnkdrrdRrdrrRd3.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法用WKBJ法求解渐变折射率光纤的波动方程定态薛定谔方程)()()(222rEurUurum波函数的位置分量势能质点能量0)()()(22rFrUEdrrFd22120nkE22220212041)()(rlrnknkrU渐变折射率光纤波动方程可演变为如下形式演变过程3.113.18 渐变型折射率光纤波动方程的WKBJ解法结合薛定谔方程看渐变折射率光纤中的传导模、泄漏模和辐射模 传输常数的普遍公式为2121)(21ggMmkn 式中，n1、g和k
21、前面已经定义了，M是，m()是传输常数大于的。经计算 2)2()2(22122VggnkaggM)2(2122212)2()(ggnknkMm多模渐变型光纤的模式特性传播常数3.19 渐变型折射率光纤模式特性 对于，g，M=V2/2；对于，g=2，M=V2/4。根据计算分析，在中，凡是和的组合满足 q=2m+l的模式，都具有相同的传输常数，这些简并模式称为。q称为，表示模式群的阶数，第q个模式群有2q个模式，把各模式群的简并度加起来，就得到模式数m()=q2。模式总数M=Q2，Q称为，表示模式群总数。用q和Q代替m()和M，得到第q个模式群的传输常数21221)(21ggqQqkn多模渐变型光
22、纤的模式特性模式数量3.19 渐变型折射率光纤模式特性 端面的(又称为近场)P(r)主要由决定，)()0()()()0()(2222annanrncprp式中P(0)为纤芯中心(r=0)的光强，C为修正因子。多模渐变型光纤的模式特性光强分布3.19 渐变型折射率光纤模式特性 通常认为基模HE11的电磁场分布近似为 式中，A为场的幅度，r为径向坐标，w0为高斯分布1/e点的半宽度，称为。实际的w0是用测量确定的，常规用纤芯半径a归一化的的经验公式为 (r)=A exp)(20wraw0 0.65+1.619V-1.5+2.879V-6=0.65+0.434 +0.01495.1)(c6)(c单模
23、光纤的模式特性模场半径3.20 单模光纤模式特性2.452.52.552.62.652.72.752.82.852.92.950.9511.051.1VW/a单模光纤的模式特性模场半径与纤芯半径的关系3.20 单模光纤模式特性单模光纤的模式特性模场分布3.20 单模光纤模式特性1.某种阶跃折射率分布的光纤，相对折射率差为0.01，纤芯折射率为1.5，纤芯直径a为50m，工作波长在1.31m处（1）求其是单模光纤还是多模光纤？（2）若为多模光纤光纤中传输的模式数量M是多少？（3）如欲制成单模光纤，在保持、n1不变的前提下，纤芯直径应是多少？（4）若2a=10m，则在保持、n1不变的前提下，入射光
24、波长应为多少？2.在阶跃型光纤中，已知纤芯半径a=4m，纤芯折射率n1=1.49，相对折射率差=0.0024，工作波长=1.31m，并且已求出导波归一化径向相位常数u=1.529。求：（1）归一化径向衰减常数w （2）轴向传输常数习题圆柱坐标系中的波动方程坐标变换cossinsincosyxyxrFFFFFFsincosryrx)/(22xyarctgyxrryyrrxxrcos sinsin cosxyxFyFrFFF贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。利用柱坐标求解涉及圆、球与圆柱内的势场的物理问题时出现的一类特殊函数。贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔伯
25、努利在研究悬链振动时提出了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究作出过重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字来命名了这种函数。补充：关于贝塞尔函数(bessel functions)历史贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是整阶形式；在球形域问题中得到的是半奇数阶形式），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：*在圆柱形波导中
26、的电磁波传播问题；*圆柱体中的热传导问题；*圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（FM synthesis）或凯泽窗（Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。补充：关于贝塞尔函数(bessel functions)现实背景和应用范围正态贝塞尔函数第一类正态贝塞尔函数第二类正态贝塞尔函数变态贝塞尔函数第一类变态贝塞尔函数第二类变态贝塞尔函数llllKIYJ补充：贝塞尔函数类型补充：关于贝塞尔函数的性质正态贝塞尔函数大宗量渐近式2.小宗量渐近式渐近特性4.对称性)24sin(2)()24cos(2)(lXXXYlX
27、XXJXlXllXllXlXXXlXYXlXJXXYXJ)2()!1()()2(!1)(2ln2)(1)(000000无界时，有界时，llYXJX00补充：第一类正态贝赛尔函数的曲线图012345678910111213141515-0.500.51 l=0l=1l=2l=3l=4l=5补充：第二类正态贝赛尔函数的曲线图012345678910111213141515-1-0.500.51 l=0l=1l=2l=3l=4l=5补充：关于贝塞尔函数的性质变态贝塞尔函数大宗量渐近式2.小宗量渐近式渐近特性4.对称性XXlXXleXXKeXXI21)(21)(lXllXlXXXlXKlXlXIXXK
28、XI)2()!1(21)()(!1)(2ln)()2X(1)(0000200有界时，无界时，llKXIX补充：第一类变态贝赛尔函数的曲线图0123456012345 l=0l=1l=2l=3l=4l=5补充：第二类变态贝赛尔函数的曲线图012345678910111213141515-1012345 l=0l=1l=2l=3l=4l=5几个低阶贝赛尔函数的曲线图几个低阶贝赛尔函数的零根表贝赛尔函数第一个根2.4048000000第二个根5.52013.83175.13566.3807.5888.779.93第三个根8.65377.01568.4179.76111.06512.3313.58第四个根11.7910.17311.6213.0114.70017.00第五个根14.9313.3214.79)(3UJ)(0UJ)(4UJ)(5UJ)(2UJ)(1UJ)(6UJ
