1、四边形中的几何结构 一、课前预习 条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构请 根据提示，补全思路及图形： 等腰+中点，考虑：直角+中点，考虑平行+（夹）（夹）中点，考虑一边上的中点，考虑 三线合一斜边上的中线等于斜边的一半延长证全等倍长证全等 多个中点，考虑坐标系中见中点，平行+角平分线，考虑三线中两线两线重合，考虑 中位线考虑 中点坐标公式等腰三角形等腰三角形 二、方法技能点睛 1几何计算、证明的基本思考流程 标注条件，合理转化； 组合特征，分析结构； 由因导果，执果索因 2特殊四边形中隐含条件 平行四边形中隐含条件：平行、中点； 菱形中隐含条件：平
2、行、中点、角平分线、垂直； 矩形中隐含条件：平行、中点、垂直； 正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直 3四边形中常见几何结构举例 中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点； 旋转结构：等线段共点，对角互补； 弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂； 面积结构：三个“一半”，平行转化 三个一半平行转化 三、精讲精练 1如图，在平行四边形ABCD中，ABBC2，ABCE 于点E，F为AD的中点，若 54AEF，则 B= 【分析】（体会条件组合与搭配） 方法一方法一：ABCD，F为AD的中点；平行夹夹中点延长证全等； 90CEBGCE，F为AD的中点；直角+中点直角三角形斜边上的中线等于
3、斜边的一半 易证AFEDFG)(SAS，FGEF 90CEBGCE，CFGFEF ABBC2，CDFD 54AEF，36FCEFEC，54GFCDCFD 72108180CDFB 方法二：方法二： F为AD的中点，取CE中点造梯形AECD的中位线（构成CEF两线合一） 54AEF，36FCEFEC，54FCDCFD 72108180CDFB 方法三：方法三： ABCE 于点E，取BC中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 又ABBC2，AFFDCDCGEGBG，ABFGCD， 54AEFGFEGEF，72GEBB 2如图，在菱形ABCD中，110A，E、F分别是边AB、BC的中点，若C
4、DEP 于点P，则 FPC= 【分析】四边形ABCD是菱形，F分别是边BC的中点，构成平行夹中点延长证BEFCGF)(SAS FPFGEF，FGBFBEAE（菱形的四边相等） 70B，55FPCGBEFBFE 3如图，在菱形ABCD中，BDAB ，点E，F分别在边AB，AD上，且DFAE 连接BF，与DE 相交于点G，连接CG，与BD相交于点H则下列结论：AEDDFB；120BGD； 2 4 3 CGS BCDG 四边形 其中正确的是（填序号） 【分析】AEDDFB（SAS），正确 由AEDDFB得21，603231BGE，120BGD正确 18060120BCDBGD（对角互补），CBCD
5、（等线段共点C） 可以考虑将CDG绕点C逆时针旋转60到CBM，也可将CBG绕点C顺时针旋转60 注意：辅助线的叙述与三点共线注意：辅助线的叙述与三点共线 叙述一：将CDG旋转到CBM，必须根据对角互补说明G、B、M三点在一条直线上； 叙述二：延长GB至M，使DGBM （保证了G、B、M三点在一条直线上） ，连接CM，此法只需要 证明CBM)(SASCDG，从而证得CGM是等边三角形 2 4 3 2 3 2 1 2 1 CGCGCGMNCGS BCDG 四边形 ，正确 4 （2019 原创）如图，在ABC中，90ACB，6 BCAC，点D为BC的中点，点P是射线AD(不 与A重合)上的一个动点
6、，则当PBC为直角三角形时，AP的长为 【分析】点P是射线AD上的一点，且不与A重合，90BCP 90ACB，6 BCAC，点D为BC的中点，53 22 ACCDAD 当90BPC，点P在线段AD上，构成直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，353AP 当90BPC，点P在线段AD延长线上，构成直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，353AP 当90PBC时，BPAC，点D为BC的中点，构成平行夹中点，PBDACD 53 ADPD，56AP 综上，AP的值为：353或353或56 四、巩固练习 1如图，在ABCD中，ABAD2，ABCE 于点E，F为AD的中点，连接CF，则下列结论： BCDD
7、CF 2 1 ； CFEF ； CEFBEC SS 2； AEFDFE3 其中一定正确的是（填 序号） 【思路分析】本题给出F为AD的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全 等转移边、转移角 ADBC，CDFDAF，21BCF，正确； 易证：AEFDGF，ABCD，ABCE ，F为AD的中点，GFCFEF，正确； F为AD的中点， CEFECG SS 2，CGBE ， ECGBEC SS ， CEFBEC SS 2，错误 AB/CD，AEFG，FGFC ，CDFD ，AEFG12， AEFAEFADCAEFAAEFDFE321)180(，故正确 综上，其中一定正确的是
8、 2 （2018 哈尔滨）如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OBAB ，点E，点F分别是OA， OD的中点，连接EF，45CEF，BCEM 于点M，EM交BD于点N，10FN，则线段BC 的长为 【思路分析】本题给出OBAB ，点E是OA的中点（等腰+中点构三线合一）连接BE得ACBE 由中位线定理得EFADBC，BCADEF 2 1 2 1 ； 由45CEF，BCEM 于点M，得45CEFBCM，EFMCEMBM 易证BMNFEN，10 FNBN,xNEMN,xBM2，xBC4 由勾股定理得： 222 )10()2(xx，2x，244 xBC 3如图，在梯形ABCD中，ADBC
9、，点E在BC边上，BEAE ，F是CD边的中点，且ABAF 若 7 . 2AD，4AF，6AB，则CE的长为 【思路分析】本题给出ADBC，F是CD边的中点，这是很典型的“平行夹中点” 延长AF，BC交于点G，易证ADFGCF，4 FGAF， ABAF ，由勾股定理可得10BGBEAE ，2B，9021GB， G1，5BEEGAE，3 . 27 . 25CE 4如图，以ABCRt的斜边BC为一边，在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形BCEF的中心为O， 连接OA若4AB，26OA，则AC的长为 【思路分析】本题给出正方形内含有正方形结构，构造弦图易证：ABCGFB，AOBGOF 得OGOA
10、 ，90AOG，12AG，16412 GBAC 5如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O，在DCERt中，90CED， 30DCE，若 2 26 OE，则正方形ABCD的面积为 【思路分析】本题给出ABCD是正方形，90CED，180CEDCOD，180OCEODE 构成对角互补，ODOC ，构成等线段共点，可考虑将ODE顺时针旋转90 将OE顺时针旋转90到OF， 连接CF， 易证ABCGFB， OCFODE，CFDE ，OFOE 180ODEOCEOCDOCE，E、C、F三点共线，OEEF2 2 26 2) 13 a（，1a，22 aCD,4 ABCD S正方形 6如
11、图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，正方形OPQR的顶点O与正方形ABCD的中心重合给 出以下结论： 四边形OECF的面积为1； 2 CFCE； 2 OFOE； 四边形OECF的周长为4 其 中正确的是（填序号） 【思路分析】本题给出正方形OPQR的顶点O与正方形ABCD的中心重合 方法一：1809090ECFEOF（对角互补），连接OC、OD， OEC与OFD构成旋转型全等 1 4 1 ABCDCODOECF SSS 正方形四边形 ，正确 DFCE ，2CDCFEFCFCE，正确 21 OE，21 OF，222OFOE，错误（运动观考虑线段长的取值范围） 由可得四边形OECF的周长大于或等
12、于 4，小于或等于222，错误 综上，正确结论为 方法二：EOF这个直角的两边不是水平线和铅垂线（称为斜直角） ，解决“斜直角”问题常用的方法就 是“斜直角放正”（直角的两边由水平线和铅垂线构成） ，这种方法在直角坐标系中用得很多！ 作BCOG 于G，CDOH 于H，易证OGEOHF，同样可得上述结论 7 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 正方形ABCD的顶点A的坐标为），（20， 顶点B在x轴上， 对角线AC， BD相交于点M若23OM，则点C的坐标为 【思路分析】AMF是斜直角，可考虑“斜直角放正”，得AMGBMF，FBAG ，FMGM 四边形OGMF是正方形，3 OFOG，1 FBAG
13、；OABEBC（三垂全等） ， 2 OABE，4 OBCE，点C的坐标为），（46 构造弦图可得：OABEBC（三垂全等） ，OME是等腰直角三角形， 6OE,2 OABE,4 OBCE,点C的坐标为），（46 8如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为 【思路分析】本题给出正方形和菱形，他们的对角线都是互相垂直平分的，连接BD，AC 18 2 1 BDACS ABCD正方形 ，6 BDAC，6 2 1 EFACS AECF菱形 ，2EF 3 OCOA，1 OFOE，10 22 OEOAAE菱形的边长为10 9如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG、G
14、E、AE，若60F，4EF，则AEG的 面积为 【思路分析】本题给出两个锐角为60的菱形，连接AC，可得60GECACB， ACBG，34324 2 1 2 1 GHCESS CGEAGE （构造平行线造等底等高，平行转移） 10如图，E是ABCD内任一点，若ABCD的面积为8，则图中阴影部分的面积为 【思路分析】过点E作AD的平行线交AB于G，交CD于F，利用平行转移得： 4 2 1 ABCDBCFADFBCEADE SSSSS 平行四边形 11如图，在边长为4的菱形ABCD中，60B，点E，F，G，H分别在边AB，AD，DC，CB上， 且CHAF ，2 DGBEP是直线EF，GH之间的任一
15、点，连接PE，PF，PG，PH，则PEF与 PGH的面积之和为 【思路分析】由已知易证AEFCGH，BEHDGF，FGEHGHEF， 四边形EFGH是平行四边形，由“三个一半，平行转化”知连接EG，过点P作EF的平行线 32324 4 1 4 1 2 1 2 1 2 1 AMBCSSSS ABCDEFGHPGHPEF平四平四 12如图，在平行四边形ABCD中，2:3:BCAB，60DAB，点E在AB边上，且2:1:EBAE，F 为BC边的中点，过点D作AFDP 于点P，CEDQ 于点Q，则DQDP:的值为 【思路分析】CEDQ ，AFDP ，由“三个一半”得 ABCDFADEDC SSS 平四
16、 2 1 ， DPAFDQCE 2 1 2 1 ， AF CE DQ DP (求两高之比，由面积公式转化为底边之反比) 由已知数据求得：32CE，13 2 3 2 7 2 2 22 GFAGAF， 13 392 13 32 DQ DP 重点强化专题中点结构 1已知12AB，BCAB 于点B，ADAB 于点A，5AD，10BC若点E是CD的中点， 则AE的长是 2如图，在四边形ABCD中，ADBC，90D，点M是AB的中点若5 . 6CM，5CD， 7BC，则AD的长为 3如图，在四边形ABCD中，ADBC，BCADAB，M是CD的中点，如果50ABC， 那么BAM的度数为 4已知：如图，ABC
17、和CDE均为等腰直角三角形，90CDEABC，BCAB ，DEDC ， BCCD ，点C、B、D在同一直线上，F是AE的中点则：BFDF ；BFAB ；BFDF ； BCBD2以上结论中一定正确的有 5如图所示，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且 90AFB，若5AB，8BC, 则EF的长为 6 如图，在菱形ABCD中，80A，E、F分别是边AB和BC的中点，CDEP 于点P， 则FPC的度数为 7如图，在平行四边形ABCD中，135A，E、F分别是边AB和BC的中点，CDEP 于点P，若 8AB，23AD，则FP= 8如图，在边长为1的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，
18、点F分别是AB，BC的中 点，CE交BD于点G，连结DF，OF，GF，则BDFBFG 重点强化专题直角结构 1已知 90ABC，D是直线AB上的点，BCAD 如图 1，过点A作ABAE ，并截取BDAE ，连接DC、DE、CE，则CDE的形状是； 如图 2，E是直线BC上一点，且BDCE ，直线AE、CD相交于点P， 则APD= 根据图 1 的启示，构造全等，总结解法，不难想到另两种构图方法 2如图，AD为ABC的外角平分线，且BDAD 、M为BC的中点，若12AB，18AC， 求MD的长为 角平分线+垂线（两线合一），考虑构造等腰和中位线 3、如图，平行四边形ABCD中，72ABC，BCAF 于F，AF交BD于E，若ABDE2，则 AED 执果索因：ABDE2，BCAF ，取DE的中点O，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 得：ABOEODOA 4如图，90CDEACB，CBCA ，DMCD ，M为BE的中点，求证：DMAE2 要证两线段的二倍关系，已知中点，所以倍长构中位线 （两线段二倍关系，执果索因）（两线段二倍关系，执果索因） 5、 如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，90AEDACB， 点D在AB上，M、N分别为BD、 CE的中点，求证： （1）CEMN 2 1 ； （2）CEMN
