1、1.21.2任意角的三角函数任意角的三角函数1.2.1 1.2.1 任意角的三角函数（任意角的三角函数（1 1）思思 考考 问题1：如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？图图从运动达 点题问题转变转变为学问题锐数o0作如2很容易知道：起始位置OA30秒后到P位置，由意知AOP=30，作PH垂直地面交OA于M，又知MHH，所以本成求PH再次求PM。要求PM就是回到初中所的解直角三角形的即角的三角函。OAPHBNM图 2
2、问题锐数义2：角的正弦函如何定？00MPMPsin=MP=Rsin0PRPH=h+Rsinh=h+Rsin所以很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为：o10o20h=h+Rsin30h=h+Rsin45锐围总结000t 在角的范中，h=h+Rsint：问题请问围随着时间为003：t的范呢？的推移，你离地面的高度多少？能不能猜想h=h+Rsint？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦.问题图标设点标终边点标来锐数义吗义数pp4：如建立直角坐系，P(x,y)，你能用直角坐系中角的上的的坐表示角的正弦函的定？能否也定其它函（余弦、正切）？YXOAPBMppppMPys
3、in=;OPROMxsin=;OPRMPytan=OMx问题问题5 5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？回答：不会改变问题问题6 6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？过轮000100通摩天知道：h=h+Rsin150=h=h+Rsin301由此得到：sin150=2问题吗|MP|7：sin=在第三象限角或第四象限能成立？|OP|从发现这实际0001取t=210，而h=h+Rsin210,得到sin210-2|MP|-|MP|与sin=不相符，上是sin=|OP|OP|新课讲解新课讲解OPxy图 3图点为终边点点顶点为则如3,已知P(x,y)角
4、上的，P到O的距离R，：sincostan(,).2yRRxRykkZx问题问题8 8：当摩天轮的半径R1时，三角函数的定义会发生怎样的变化?的终边的终边MPOxyT的终边的终边AT A-11(T)sin,cos,tanyxyx三角函数定义一：定义二：定义域给出下列表格，让学生自己补充完整.sincostan1OP OPRyxyxxRyRRR,2kkZ yx例题例题课5例1：(本P12例1)求的正弦、余弦和正切值。33(1);21(2);2(3)3OPMxy图4课终边经过点0例2：（本P12例2）已知角P(-3,-4)，求角的正弦、余弦和正切值。434解：(1)-;(2)-;(3)553练习变
5、71：例1的式 求的正弦、余弦和正切值。6练习练习2.2.通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”.作业作业作业：P20习题1.2A组 1,2,31.2.1 1.2.1 任意角的三角函数（任意角的三角函数（2 2）复复 习习 A(1,0)O P(x,y)Y x复习:任意角的三角函数的有关概念 设个终边单圆点A)是一任意角,它的与位交于P(x,y),那么:(1)sin=(2)cos=(3)tan=yxyx2B)3.4m已知角 的终边上一点P(-,m)，且sin=，求cos 的值题设从当时当时当时2222222
6、解：由知x=-3,y=m,所以r=|OP|=(-3)+m,得r=3+m,2mmm而sin=,解得m=0或16=6+2mm=5。4r3+mx（1）m=0，r=3,x=-3，cos=-1；rx6（2）m=5，r=2 2,x=-3cos=-；r4x6（3）m=-5，r=2 2,x=-3，cos=-。r4新课讲解新课讲解2.2.利用定义探究三角函数的定义域利用定义探究三角函数的定义域,函数值的符号函数值的符号探究探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数在弧度制下的定义域填入表格；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：(课本13页)思思 考考三角函数定义域第一象限第二象限第三象限
7、第四象限sincostanRRkkZ2，由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：对为对为负对为对为负对为号对为负号y正弦值于第一、二象限正（y 0,r 0），r于第三、四象限（y 0）；x余弦值于第一、四象限正（x 0,r 0），r于第二、三象限（x 0）；y正切值于第一、三象限正（x,y同），x于第二、四象限（x,y异）新课讲解新课讲解 思考思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有何关系?终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sincos(2)cos(kZ)tan(2)tankkk其中公式一：注意：注意：公式一的作用是把任意角的三角函数值问题公式一
8、的作用是把任意角的三角函数值问题转化为转化为0 022间角的三角函数值问题间角的三角函数值问题 例题例题证当仅当组时为sin 0角第三象限角.证明：（1）必要性：是第三象限角，sin 0终边轴轴为（2）充分性：sin0，是第三或第四象限角或在的非正半上tan0，是第一或第三象限角.sin0，tan0都成立.第三象限角.例例2.2.确定下列三角函数值的符号：11cos250sin()tan(672)tan43（1）；（2）；（3）；（4）；解析：（1）负 （2）负 （3）正 （4）负数cosxtanx例3.求函y=+的值域.cosxtanx义终边轴终边轴解析：定 域：cosx0 x的不在x 上又
9、tanx0 x的不在y 上当时当时当时当时为x是第一象限角，x 0,y 0,cosx=cosx,tanx=tanx,y=2;x是第二象限角，x 0,cosx=-cosx,tanx=-tanx,y=-2;x是第三象限角，x 0,y 0,y 0,cosx=cosx,tanx=-tanx,y=0;所以，y的值域2，-2，0作业作业作业：（1）P15 练习 （2）P17 练习 （3）P20 习题1.2 A组 6、7、8、9 1.2.2 1.2.2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系 大家都听过一句话：南美洲亚马逊河雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯州的一场龙卷风
10、.这就是著名的“蝴蝶效应”，他本意是说事物初始条件的微弱变化可能会引起结果的巨大变化.两个似乎毫不相干的事物，却有着这样的联系.那么我们来看看前些天我们所学习的三角函数.在三个式子中有着“同一个角”其中的联系应该更为紧密！西方有一句著名的民谣：丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；坏了一只蹄铁，折了一匹战马；折了一匹战马，伤了一位骑士；伤了一位骑士，输了一场战斗；输了一场战斗，亡了一个帝国.请你写出几个特殊角的三角函数值，观察他们之间的关系，猜想之间的联系.问题问题1 1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？思思 考考问题问题2 2：你能否用代数式表示这两个规律？思思 考考YXOAPBM图设个终边单圆
11、点则2222222如：是一任意角，它的与位交于P（x，y）：sin=y；cos=x直角三角形MPO中：MP+OM=OP，即x+y=1所以：sin+cos=1sin=y,cos=x,ysintan=(k+,kZ)xcos2注意：注意：222sinsinsin是并不是思思 考考思考思考1 1：你能将两个公式变形么？思考思考2 2：判断下列等式是否成立：13cos3sin:1222tan2cos2sin:21)(cos)(sin:3222tan)2cos()2sin(:41cossin:5221)4(cos)49(sin:622归归 纳纳无关22注意一定要“”，至于角的形式重要，如sin 4+cos
12、 4同角=1等；这关对们义注意些系式都是于使它有意的角sin而言的，如tan=(k+,kZ)；cos2对这关仅还灵运变222些系式不要牢固掌握，要能活用（正用、反用、形用），如：cos=1-sin，sin=1-cos，sin cos=等。tan例例 题题3例1：已知，sin=-且是第三象限的角，5求cos，tan的值.条联们联思考1：件“是第三象限的角”有什么作用？思考2：如何建立cos与sin的系？如何建立他与tan的系？222解：是第三象限的角cos 0316cos=1-sin=1-=525164cos 0,cos=-=-255sin3tan=cos 4题3例2（:P19例6）已知，sin
13、=-,求cos，tan的值.5题题区别决这个问题本与例1的主要在哪儿？如何解思考：？为则则222解析：因sin 0,sin1，所以是第三或第四象限角。316cos=1-sin=1-=525若是第三象限角cos 0164cos=-=-255sin3tan=cos443若是第四象限角，那么：cos=，tan=-。54注意：对于不知道是第几象限角的情况，采用“符号看象限”及分类讨论的思想来处理.练习试试1：一：已知，tan=-且是2第四象限的角，求sin与cos的值.为则将两边则为222222解析：因是第四象限角,所以sin 0。1sin1又因tan=-，=-2cos2sin1等式平方：=，：cos
14、=4sin，cos41代入公式：sin+cos=1,解得sin=，552 5因sin 0,所以sin=-,cos=55归归 纳纳过关个数数关过数关联关一：若已知sin或cos，先通平方系得出另外一三角函值，再用商系求得tan。二：若已知tan，先通商系确定sin与cos的系，再代入平方系求得sin与cos。应讨论若所在象限未定，所注意：在象限。题证cosx1+sinx例3：（P19.例7）求：=.1-sinxcosx证边边22法1：由cosx0,知sinx-1,所以1+sinx0,于是：cosx(1+sinx)cosx(1+sinx)左=(1-sinx)(1+sinx)1-sin xcosx(
15、1+sinx)1+sinx=右.cos xcosx所以原式成立.证为22法2：因(1-sinx)(1+sinx)=1-sin x=cos x=cosxcosx且1-sinx0,cosx0,所以cosx1+sinx=.1-sinxcosx思思 考考是否还有其他的证明方法是否还有其他的证明方法边减边则边边则证为方法3：左去右，如果等于零，等式成立。方法4：左除以右，如果等于一，等式成立。(保分母不零)归归 纳纳证明三角恒等式经常使用的方法：证明三角恒等式经常使用的方法：1：从等式左边变形到右边；2：从恒等式出发，转化到所要证明的等式上；3：左边减去右边等于0；4：左边除以右边等于1(保证分母不为零
16、).小小 结结（1）通过本节课的学习，你学会了哪两个公式？（2）学会了运用两个公式去处理什么类型的问题？（3）在解决遇见的两类问题时，应分别注意哪些方面的要点？（4）你能总结本节课的知识体系么？作业作业 一：书中P20页练习题1、2、4、5 二：探究题：已知tan为非零实数，用tan表示sin，cos 三：研究性学习：利用周末时间，查找课外资料,了解同角三角函数的其他几个基本关系.85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。约翰B塔布 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨
17、或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。戴尔卡内基 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。贾柯瑞斯 88.每个意念都是一场祈祷。詹姆士雷德非 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。柏格森 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。托尔斯泰 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。兰斯顿休斯 92.生活的
18、艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。玛科斯奥雷利阿斯 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。约翰纳森爱德瓦兹 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。约翰拉斯金 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。威廉班 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。萧伯纳 97.有三个人是我的朋友爱我的
19、人.恨我的人.以及对我冷漠的人。爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。JE丁格 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。英国哲学家培根 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。马塞尔普劳斯特 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。罗丹 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。托尔斯泰 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又
20、是另一番新的气候。叔本华 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。梭罗 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。威廉彭 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。戴尔卡内基 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。约翰罗伯克 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老
21、。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。撒母耳厄尔曼 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。卡雷贝C科尔顿 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。戴尔卡内基 110.每天安静地坐十五分钟倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。艾瑞克佛洛姆 111.你知道何谓沮丧-就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。坎伯 112.伟大这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。
22、布鲁克斯 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。罗根皮沙尔史密斯 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。阿萨赫尔帕斯爵士 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。威廉海兹利特 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。凯里昂 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。BC福比斯 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令
23、人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。迈可汉默 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。奥古斯汀 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。史迈尔斯 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。CHK寇蒂斯 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。乔治桑 123.未来不是固定在那里等你趋近的
24、，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。约翰夏尔 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。道格拉斯米尔多 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度。老子 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。怀特曼 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。G.K.Chesteron 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。马克吐温 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。约翰鲁斯金
