1、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院三铰拱的受力分析三铰拱的受力分析 本章教学基本要求：了解三铰拱的受力特点，掌握三本章教学基本要求：了解三铰拱的受力特点，掌握三铰拱支座反力及指定截面内力的计算方法；了解三铰拱铰拱支座反力及指定截面内力的计算方法；了解三铰拱压力线的概念，了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合压力线的概念，了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱轴方程理拱轴方程 本章教学内容的重点：三铰拱支座反力和内力的计本章教学内容的重点：三铰拱支座反力和内力的计算方法。算方法。本章教学内容的难点：三铰拱的压力线和合理拱轴。本章教学内容的难点：三铰拱的压力线和合理拱轴。All
2、 Rights Reserved重庆大学土木工程学院 本章内容简介本章内容简介:4.1拱结构的形式和特性拱结构的形式和特性4.2三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算4.3三铰拱的压力线和合理拱轴三铰拱的压力线和合理拱轴All Rights Reserved重庆大学土木工程学院4.1拱结构的形式和特性拱结构的形式和特性一、拱结构一、拱结构在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力在竖向荷载作用下，支座会产生向内的水平反力(推力推力)的曲线形结构，称为拱结构。的曲线形结构，称为拱结构。FP FPFPFPFHAFHBFV AFVBFV AFVBFHA=0a)拱结构拱结构 b)曲梁曲梁 All Right
3、s Reserved重庆大学土木工程学院二、拱结构的形式二、拱结构的形式1、基本形式、基本形式般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式般有三铰拱、两铰拱和无铰拱三种基本形式 拱拱趾趾 拱拱趾趾 跨度跨度l 拱高拱高f 拱顶拱顶 起拱线起拱线 拱身拱身 三铰拱三铰拱 二铰拱二铰拱无铰拱无铰拱All Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、带拉杆的拱结构、带拉杆的拱结构三、拱结构的力学特性三、拱结构的力学特性拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷拱结构截面内一般有弯矩、剪力和轴力，但在竖向荷载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩和剪载作用下，由于有水平推力的存在，使得其弯矩
4、和剪力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将力都要比同跨度、同荷载的梁小得多，而其轴力则将增大。因此，增大。因此，拱结构主要承受压力拱结构主要承受压力。拉杆拉杆 拉杆拉杆拉杆拉杆All Rights Reserved重庆大学土木工程学院4.2三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算 一、支座反力的计算一、支座反力的计算1、竖向支座反力、竖向支座反力0BM0VVAAFF0AM0VVBBFF拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同拱的竖向反力与相当简支梁的竖向反力相同 FP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2ll0VAF0VBF00HAFa1 a2A ABBCCKKFHAFHBFVAFVBxy
5、f0CMAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、水平支座反力、水平支座反力 FHA=FHB=FH 由三铰拱整体平衡由三铰拱整体平衡条件条件 ，可得，可得 0 xF取铰取铰C左边隔离体，左边隔离体，由由 ，可得，可得0CM022H11PVfFalFlFA0H0fFMCfMFC0HFP1FP1FP2FP2l/2l/2l/2l/2ll0VAF0VBF00HAFa1 a2A ABBCCKKFHAFHBFVAFVBxyf0CMAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院小小 结结(1)三铰拱支座反力计算公式为三铰拱支座反力计算公式为fMFFFFFCBBAA0H0VV0
6、VV(2)支座反力与支座反力与l和和f（亦即三个铰的位置）以及荷载情（亦即三个铰的位置）以及荷载情况有关，而与拱轴线形式无关。况有关，而与拱轴线形式无关。(3)推力推力FH与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果与拱高成反比。拱愈低，推力愈大；如果f 0，则，则f ，这时，三铰在一直线上，成为几何可，这时，三铰在一直线上，成为几何可变体系。变体系。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院二、内力的计算二、内力的计算试求指定截面试求指定截面K的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。的内力。约定弯矩以拱内侧受拉为正。(1)由由MK=0，得，得yFMMH0(2)由由FR=0，得，得 sinc
7、osH0QQFFF(3)由由FS=0，得，得 cossinH0QNFFFl/2l/2l/2l/2llFP1FP1FP1FP2FP2FP1xxyyFHAFHAAAABBFVAFVAFVBFHBCCKKKa2a10VAF0VBF0CM00VAFK0QF0M0QFR SFH MAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院小小 结结(1)三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）三铰拱的内力计算公式（竖向荷载、两趾等高）cossinsincosH0QNH0QQH0FFFFFFyFMM(2)由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项），由于推力的存在（注意前两个计算式右边的第二项），拱与
8、相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。拱与相当简支梁相比较，其截面上的弯矩和剪力将减小。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。弯矩的降低，使拱能更充分地发挥材料的作用。(3)在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的在竖向荷载作用下，梁的截面内没有轴力，而拱的截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为截面内轴力较大，且一般为压力（拱轴力仍以拉力为正、压力为负）。正、压力为负）。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)内力与拱轴线形式内力与拱轴线形式(y,j)有关。有关。(5)关于关于值的正负号：左半跨值的正负号：左半跨取正号；右半跨取正号；右半跨取负取
9、负号，即式号，即式(4-2)中，中，cos(-)=cos ，sin(-)=-sin 。三、内力图的绘制三、内力图的绘制 一般可将拱沿跨长分为若干等分（如一般可将拱沿跨长分为若干等分（如8、12、20等等分），应用式（分），应用式（4-2）分别计算其内力值（注意：各截）分别计算其内力值（注意：各截面的面的x、y和和均不相同，可列表计算，见例均不相同，可列表计算，见例4-1），然后），然后逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力逐点描迹，连成曲线。弯矩绘在受拉侧，剪力图和轴力图须注明正负号。图须注明正负号。小小 结结 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例4-1
10、】已知拱轴线方程】已知拱轴线方程 ，试作图示三铰，试作图示三铰拱的内力图。拱的内力图。)(42xlxlfy解：解：(1)计算支座反力计算支座反力（推力）（）（kN604440850kN501612404810kN7016128104400H0VV0VVfMFFFFFCBBAAq=10kN/m FP=40kN AABCDEf=4m xyyE FH=60kN FH=60kNE 4m 4m4m4ml=16mFVA=70kN FVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN0VAF0VBF16mAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)计算各截面几何参数（计算各截面几何参数
11、（y和和）1)求求y 将将l 和和f 代入拱轴线方程代入拱轴线方程)(42xlxlfy得得162xxy2)求求81tanxy代入各代入各x值，即可查得相应的值，即可查得相应的值。值。为绘内力图将拱沿跨度分为为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有个等分，计有9个控制截面，个控制截面，求出各截面的求出各截面的y、等值，列于表中。等值，列于表中。q=10kN/m FP=40kN AABCDEf=4m xyyE FH=60kN FH=60kNE 4m 4m4m4ml=16mFVA=70kN FVB=50kNBCDEq=10kN/mFP=40kN0VAF0VBF16mAll Rights Reserve
12、d重庆大学土木工程学院(3)计算内力计算内力以截面以截面E为例，计算其内力值。为例，计算其内力值。将将x=12m代入代入y 和和 式中，得式中，得yE=3m，=-0.5，查得查得 E=-2634。因此，有。因此，有 yEEyytansin E=-0.447cos E=0.894 将上述截面将上述截面E的各相关值代入公式，即可得各内力值的各相关值代入公式，即可得各内力值1）弯矩计算）弯矩计算 mkN20360200H0EEEyFMMq=10kN/mFP=40kNABCDEf=4mEyExyFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16mAll Rights
13、Reserved重庆大学土木工程学院kN88.17)447.0)(60()894.0)(05(sincoskN88.17)447.0)(60()894.0)(10(sincosH0右右QH0左左QEEQEEEEQEEFFFFFF2）剪力计算）剪力计算3）轴力计算）轴力计算 kN99.75)894.0)(60()447.0)(05(cossinkN11.58)894.0)(60()447.0)(10(cossinH0右N右NH0左N左NEEEEEEEEFFFFFFAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院用同样的方法和步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如用同样的方法和
14、步骤，可求得其它控制截面的内力。列表进行计算，如表表4-1所示。所示。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(4)作内力图作内力图 M图图(kNm)1515205520AAAABBBBCCCCDDDDEEEEFQ图图(kN)7.144.9104.917.917.947FN图图(kN)91.9786760.660 60.67877.87658.1q=10kN/mFP=40kNf=4mFH=60kNFH=60kNFVA=70kNFVB=50kN4m4m4m4ml=16mxyyEEAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院【讨论】对于如图【讨论】对于如图4-5a所
15、示的二次抛物线三铰拱：所示的二次抛物线三铰拱：(1)当仅在左半跨或右半跨作用均当仅在左半跨或右半跨作用均布荷载布荷载q时，其时，其M图都是反对称的，图都是反对称的，如图所示；而如图所示；而FQ图都是对称的。图都是对称的。q仅在左半跨作用均布荷载时的M图 仅在右半跨作用均布荷载时的M图仅在左半跨作用均布荷载时的FQ图 仅在右半跨作用均布荷载时的FQ图 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)显见，当全跨同时作用均布荷载显见，当全跨同时作用均布荷载q时，时，M图将为零，图将为零，FQ图也将为零图也将为零(只须将相应内力图相叠加，即可得到验证只须将相应内力图相叠加，即可得到验
16、证)，拱仅受轴向压力拱仅受轴向压力FN作用。作用。仅在左半跨作用均布荷载时的M图 仅在右半跨作用均布荷载时的M图仅在左半跨作用均布荷载时的FQ图 仅在右半跨作用均布荷载时的FQ图 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，这种在给定荷载作用下，拱处于无弯矩状态的拱轴线，是最合理的拱轴线。是最合理的拱轴线。四、带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算四、带拉杆的三铰拱和三铰拱式屋架的计算【例【例4-2】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用】试求图示有水平拉杆的三铰拱在竖向荷载作用下的支座反力和内力。下的支座反力和内力。解：该三铰
17、拱由拉杆解：该三铰拱由拉杆AB来来阻止支座的水平位移，因阻止支座的水平位移，因此，拱的一个支座改为可此，拱的一个支座改为可动铰支座。相当简支梁如动铰支座。相当简支梁如图图4-8b所示所示 I FP1 FP1FP2FP2FP3FP3AABBCCDDEEFFFHFV AFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉杆拉杆 flCF 0VAF0VBFAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(1)计算支座反力计算支座反力 由整体平衡条件由整体平衡条件Fy=0、MB=0和和MA=0，可分，可分别求得别求得 0VV0VVH,0BBAAFFFFFFH=0是其计算特点之一是其计算特点之一(2)计算
18、拉杆内力计算拉杆内力 取截面取截面I-I之右为隔离体。之右为隔离体。由由MC=0，得，得 flFlFFCFBS/)2(3PVfMFCS0FP1 FP1FP2FP2FP3FP3AABBCCDDEEFFFHFV AFVBIIl/2l/2l/2l/2ll拉杆拉杆 flCF 0VAF0VBFFP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCyAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(3)计算拱身内力计算拱身内力在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用在无拉杆三铰拱的内力计算式中，只须用FS去取代去取代FH，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为，即可得出有水平拉杆拱身内力计算式为 cossinsin
19、cos0QN0QQ0SSSFFFFFFyFMMFP3FVBl/2BCFIIFSFCxFCyAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例4-3】试求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支座】试求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支座反力和内力。反力和内力。解：解：(1)计算支座反力计算支座反力 0VV0VVH,0BBAAFFFFF(2)计算拉杆内力计算拉杆内力 fMFCS0(3)计算拱身内力计算拱身内力须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩须注意两个计算特点：一是要考虑偏心矩e1，二是左、，二是左、右半跨屋面倾角右半跨屋面倾角为定值。于是，可参照式为定值。于是，可参照式(4-6
20、)写出拱写出拱身内力计算式为身内力计算式为 cossinsincos)(0QN0QQ10SSSFFFFFFeyFMMABCFHFVAFVBxyfql/2l/2le1 钢拉杆（拉力钢拉杆（拉力FS）All Rights Reserved重庆大学土木工程学院4.3三铰拱的压力线和合理拱轴三铰拱的压力线和合理拱轴 一、压力线一、压力线1、压力线的意义、压力线的意义拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱中外力对拱身横截面上作用力的合力常为压力，拱拱各横截面上合力作用点的连线，称为压力线各横截面上合力作用点的连线，称为压力线，代表拱，代表拱内压力经过的路线。内压力经过的路线。如果三铰拱中，某截面
21、如果三铰拱中，某截面D左边左边(或右边或右边)所有外力的合力所有外力的合力FRD已经确定，则由已经确定，则由此合力便可分解为该截面形心上的三此合力便可分解为该截面形心上的三个内力个内力DDDDDDDDDFFFFrFMcossinRNRQRrD为由截面形心到合力为由截面形心到合力FRD的的垂直距离；垂直距离；aD为合力为合力FRD与与D点拱轴切线之间的夹角。点拱轴切线之间的夹角。D MD FND FQD rD 合力合力FRD D DAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院2、压力线的图解法、压力线的图解法(1)确定各截面合力的大小和方向确定各截面合力的大小和方向 由力多边形的射
22、线来确定由力多边形的射线来确定 FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1 K2K3压力线（一种特殊的索多边形）12122323自 行 封 闭的力多边形 极点O All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)确定各截面合力的作用线确定各截面合力的作用线 三铰拱各截面合力的作用线可由三铰拱各截面合力的作用线可由索多边形中索多边形中的各索线的各索线来确定来确定,当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为当某段内竖向力连续分布时，该段的压力线为曲线。曲线。FP1FP1FP2FP2FP3FP3FRAFRBFRAFRBABCDFGHK1 K2K3压力线
23、（一种特殊的索多边形）12122323自 行 封 闭的力多边形 极点O All Rights Reserved重庆大学土木工程学院3、压力线的用途、压力线的用途(1)求任一拱截面的内力求任一拱截面的内力(2)选择合理拱轴选择合理拱轴 由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线形式，应使形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯矩），最好重合（此时截面弯矩为零）矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强。对抗拉强度低的砖石拱和
24、混凝土拱，则要求截面上合力度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR作用点不超出截面核心作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应对于矩形截面，压力线应不超过截面对称轴上三等分的中段范围不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院二、三铰拱的合理拱轴线二、三铰拱的合理拱轴线1、合理拱轴线、合理拱轴线在在固定荷载固定荷载作用下，使拱处于作用下，使拱处于无弯矩状态无弯矩状态的轴线，称为的轴线，称为合理拱轴线合理拱轴线。2、合理拱轴的数解法、合理拱轴的数解法0H0yFMM由由 得得H0FMy 上式表明，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴上式表明
25、，在固定荷载作用下，三铰拱的合理拱轴线线y与相当简支梁弯矩图的竖标与相当简支梁弯矩图的竖标M 0成正比。成正比。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(1)满跨竖向均布荷载满跨竖向均布荷载【例【例4-4】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，】设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。试求其合理拱轴线。)(20 xlxqM解解:fqlfMFCH820H0FMy)(42xlxlf三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为三铰拱在沿水平方向均匀分布的竖向荷载作用下，其合理轴线为一抛物线。在方程一抛物线。在方程(4-9)中，拱高中，拱高f没有确
26、定。因此，具有不同高跨没有确定。因此，具有不同高跨比的任一抛物线都是合理拱轴。比的任一抛物线都是合理拱轴。(4-9)qqAABBCl/2l/2lxyxql/2 ql/2fAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)竖向连续分布荷载竖向连续分布荷载【例【例4-5】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试】设在三铰拱的上面填土，填土表面为水平面。试求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为求在填土容重下三铰拱的合理轴线。设填土的容重为，拱，拱所受的竖向分布荷载为所受的竖向分布荷载为q=qC+y。解：将式解：将式 对对x微分两次，得微分两次，得 H0/FMy 202H22d
27、d1ddxMFxy用用q(x)表示沿水平线单表示沿水平线单位长度的荷载值，则位长度的荷载值，则)(dd202xqxMH22)(ddFxqxy这就是在竖向荷载作这就是在竖向荷载作用下拱的合理轴线的用下拱的合理轴线的微分方程微分方程 ABCxyfl/2l/2qC+gf qCAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院H22)(ddFxqxy式中，规定式中，规定y向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应向上为正。对于轴向下的情况，上式右边应该取正号，即该取正号，即 H22)(ddFxqxy将将q=qC+y代入上式，得代入上式，得 H22ddFqyHxyCg这个微分方程的解答可用双曲线函数
28、表示为这个微分方程的解答可用双曲线函数表示为 gggCqxFBxFAyHHshchAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院gggCqxFBxFAyHHshch两个常数两个常数A和和B，可由边界条件求出如下：，可由边界条件求出如下：在在x=0处，处，y=0，得，得 gCqA 在在x=0处，处，=0，得，得B=0。xydd因此因此 1chHxFqyCgg在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一在填土重量作用下，三铰拱的合理轴线是一悬链线悬链线(3)均匀径向荷载作均匀径向荷载作(推导略推导略)三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条三铰拱的合理轴线，经推导表明，是一条圆弧线圆弧线。All Rights Reserved重庆大学土木工程学院在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的作用，而对在实际工程中，同一拱结构往往要受到不同荷载的作用，而对应不同的荷载就有不同的合理轴线。通常，是以主要荷载作用应不同的荷载就有不同的合理轴线。通常，是以主要荷载作用下的合理轴线作为拱的轴线。这样，在一般荷载作用下，拱仍下的合理轴线作为拱的轴线。这样，在一般荷载作用下，拱仍会产生不大的弯矩。会产生不大的弯矩。
