1、则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量(省去xxo,x的极限符号“lim”表示任一极限过程).（1）定义1.若lim f(x)=0,1、无穷小量、无穷小量一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例如例如,0sinlim0 xx.0sin时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数xx,01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注注1:1:无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量注2：无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程谈无穷小量
2、,2.1sinlim2xxx因此，它不是.时的无穷小量小量,但如sinx是x0时的无穷一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量（2）、无穷小与函数极限的关系）、无穷小与函数极限的关系证证 必要性必要性,)(lim0Axfxx 设设,)()(Axfx 令令,0)(lim0 xxx则则有有).()(xAxf 充分性充分性),()(xAxf 设设,)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx)(lim)(lim00 xAxfxxxx 则则)(lim0 xAxx .A 一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量（3）、无穷小的运算性质）、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中
3、,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.注意注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.是是无无穷穷小小，时时例例如如nn1,.11不不是是无无穷穷小小之之和和为为个个但但nn一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0,0,0101MuxxM 恒恒有有时时使使得得当当则则,0时时的的无无穷穷小小是是当当又又设设xx .0,0,0202Mxx 恒恒有有时时使使得得当当一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大
4、量推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM ,.,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例例如如都是无穷小都是无穷小一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量2、无穷大量、无穷大量在某个极限过程下在某个极限过程下,绝对值无限增大的变量绝对值无限增大的变量称为称为无穷大量无穷大量.0lim
5、(),lim()xxxf xf x 记作：一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量（1）概念）概念特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大0lim()(lim()xxxf xf x 或注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;（3）无穷大是一种特殊的无界变量）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim20认认为为极极限限存存在在）切切勿勿将将（xfxx一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量.,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx)
6、,3,2,1,0(221)1(kkxk取取,22)(kxyk.)(,Mxykk 充充分分大大时时当当),3,2,1,0(21)2(kkxk取取,kxk 充充分分大大时时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是无穷大不是无穷大无界，无界，一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量例例2:试从函数图形判断下列极限.222(1)limtan,lim tan,lim tan,xxxxxx ,lim ,lim )2(xxxxee ,lnlim ,lnlim )3(0 xxxx 一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量解解：(1)2232xy0 xyy=tanxxy一、一、无穷小量与无穷大量无
7、穷小量与无穷大量从图上可看出222limtan,lim tan,lim tan.xxxxxx 一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 ,lim xxe从图上看出(2)xoyxxyy?lim?,lim(xxxxaa一般 ).1,10讨论分aaxey .0limxxex+x一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 ,lnlim )3(xx ).1,10讨论分aa?loglim?,loglim(0 xxaxax一般.lnlim 0 xx一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量,)1(1(nnnx例4：例4：.)1(1(lim nnn但.2 0 2 0 2 0642是无界数列，一、一、无
8、穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量3、无穷小与无穷大的关系、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.一、一、无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较 观察03lim20 xxx 203limxxx 1sinlim0 xxx 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度 在x0的过程中 x2
9、比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sin x与x趋于零的速度相仿（1）无穷小的阶 设 及b 为同一个自变量的变化过程中的无穷小 如果0limb 就说b是比高阶的无穷小 记为bo()如果blim 就说b 是比 低阶的无穷小 如果0limcb 就说b 与 是同阶无穷小 如果1limb 就说b与是等价无穷小 记为b 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较（2）阶的比较举例所以当x0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2o(x)(x0)所以当x3时 x29与x3是同阶无穷小 所以当 n时 n1是比21n低阶的无穷小 因为211limnnn 例2 例例 3
10、 因为639lim23xxx 例3 例例 1 因为03lim20 xxx 例1 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较所以当x0时 1cos x 是关于x 的二阶无穷小 所以当x0时 sin x 与x是等价无穷小 即sin xx(x0)例例 4 因为21cos1lim20 xxx 例4 例例 5 因为1sinlim0 xxx 例5 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较定理1 b 与是等价无穷小的充分必要条件为b o()(主部)（3）关于等价无穷小的定理 必要性:证明 01lim)1lim(limbbb所以b o()因为设b 只需证b o()01li
11、m)1lim(limbbb01lim)1lim(limbbb 充分性:设bo()则 1)(1lim)(limlimboo1)(1lim)(limlimboo1)(1lim)(limlimboo1)(1lim)(limlimboo 因此b 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较所以当x0时 有 sin xxo(x)tan xxo(x)1cos x)(2122xox 例例 6 因为当 x0 时 sin xx tan xx 1cos x221x 例6 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较 设 bb 且blim存在 则bblimlim 定理2(等价无穷小替
12、换定理)bbbblimlimbbbblimlimlimlim 证明 bbbblimlimbbbblimlimlimlim 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 可使计算简化 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较常用等价无穷小常用等价无穷小,0时时当当 x2sin,arcsin,tan,arctan,1ln(1),1,1 cos.2(1)1(0),1ln1xxxxxxxxxxxexxxxxxxx当时，不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意二、无穷小量与无穷大量阶的比较二
13、、无穷小量与无穷大量阶的比较例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较例例8 8.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解),(5tanxoxx ),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 二、无穷小量与无穷大量阶的比较二、无穷小量与无穷大量阶的比较
