1、第六节第六节 独立性独立性两个事件的独立性两个事件的独立性多个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用小结小结 布置作业布置作业显然显然 P(A|B)=这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的概发生的概率率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点，B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 P(A)由乘法公式知，由乘法公式知，当事件当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=
2、P(A)P(B)用用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B)=P(A)或或 P(B|A)=P(B)更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约.P ABP A B P B 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)=P(A)P(B)(1)则称则称A、B相互独立相互独立，简称，简称A、B独立独立.两事件独立的定义两事件独立的定义 1 定定理理 独独立立的的充充要要条条件件为为、事事件件BA 0,|0,|APBPABPBPAPBAP 或或 证证.先先证证必必要要性性,由由独独立立定定义义知知独独立立、设设事事件件BA BPAPABP|,0 ,B
3、PABPBAPBP 时时当当所所以以 BPBPAP AP|,0 ,APABPABPAP 时时当当或或者者 APBPAP BP :再再证证充充分分性性 ,|则则有有成成立立设设APBAP BPBAPABP|BPAP .,相互独立相互独立、事件事件由定义可知由定义可知BA 例例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见,P(AB)=P(A)P(B)由于由于 P(A)=4/52=1/13,故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=2
4、6/52=1/2,前面我们是根据两事件独立的定义作出结论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K,B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的,在实际应用中在实际应用中,往往往往根据问题的实际意义去根据问题的实际意义去判断两事件是否独立判断两事件是否独立.可见可见 P(A)=P(A|B),即事件即事件A、B独立独立.则则P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13 在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判往往根据问题的实际意义去判断两
5、事件是否独立断两事件是否独立.由于由于“甲命中甲命中”并不影响并不影响“乙命中乙命中”的概率，的概率，故认为故认为A、B独立独立.甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中,B=乙命乙命中中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）(2)求取到的数能被8整除的概率；P(AB)=2/52=1/26.故 事件A、B独立.例11 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.一般地，把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去(n m)，则每盒至多有一球的概率
6、是：用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；称这种试验为几何概型.P(B)=26/52=1/2,它们下方的数是它们各自正常工作的概率.因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.（2）3名运动员集中在一个组的概率。一般地，把n个球随机地分成 m 组(n m),要求第 i 组恰有n i个球(i=1,m)，共有分法：P(B)=26/52=1/2,对 n(n 2)个事件为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.三、独立性的概念在计算概率中的应用一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，
7、从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的,则则A1与与A2独立独立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独立不独立.2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)(BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例
8、如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如如图图若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(ABP则则,41)()(BPAP又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥可以证明：可以证明：特殊地，特殊地，时时，有有当当0)(,0)(BPAPA与与B 独立独立 A与与
9、B 相容相容(不互斥不互斥)或或 A与与B 互斥互斥 A与与B 不独立不独立证证若若A与与B 独立独立,则则)()()(BPAPABP 0)(,0)(BPAP0)()()(BPAPABP AB故故即即 A与与B 不互斥不互斥(相容相容).若若A与与B互斥，则互斥，则 AB=B发生时，发生时，A一定不发生一定不发生.0)(BAP这表明这表明:B的发生会影响的发生会影响 A发生的可能性发生的可能性(造成造成A不发生不发生),即即B的发生造成的发生造成 A发生的概率为零发生的概率为零.所以所以A与与B不独立不独立.理解理解:BA=P(A)1-P(B)=P(A)-P(AB)BP(A )=P(A-A B
10、)A、B独立独立概率的性质概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证仅证A与与 独立独立B定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立,则则 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.证明证明B=P(A)P()故故 A与与 独立独立B 定义定义,如如果果满满足足等等式式为为三三事事件件、设设CBA CPBPBCPCPAPACPBPAPABP.为为两两两两独独立立的的事事件件、则则称称三三事事件件CBA,等式等式两两独立时两两独立时、当事件当事件CBA CPBPAPABCP .不不一一定定成成立立二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性问买下的这一箱含有一个次品的概率是多少？例9 盒中有3个红球
11、，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。是男孩,T 表示某个孩子是女孩（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）古典概型中事件A的概率的计算公式:若A与B互斥，则 AB=从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的,如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化.设A、B是两个事件，且P(B)0,则称可见,P(AB)=P(A)P(B)(2)每个样本点出现的可能性相同.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.若抽取是无放回的，则A
12、1与A2不独立.故 事件A、B独立.问事件A、B是否独立？为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.独立性的概念在计算概率中的应用=P(A)-P(AB)一般地，把n个球随机地分成 m 组(n m),要求第 i 组恰有n i个球(i=1,m)，共有分法：S=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT 例例如如 ,4321 S ,3121 BA ,41则则 C ,21 CPBPAP ,BPAP 41 ACP,并且并且 41 ABP ,P A P C 41 BCP .CPBP.两两两两独独立立、即即事事件件CBA但是但是 41 ABCP .CPBPAP 对于三个事件对于三个事件A
13、、B、C，若，若 P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立四个等式同时成立,则称则称事件事件A、B、C相互独立相互独立.:有有限限多多个个事事件件的的情情形形此此定定义义可可以以推推广广到到任任意意 定义定义,21如如果果对对于于任任意意个个事事件件为为设设nAAAn 1 ,1 21有有等等式式和和任任意意的的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121.,21为相互独立的事件为相互独立的事件则称则称nAAA请注意请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系多个事件两两独立
14、与相互独立的区别与联系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n(n 2)个事件个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用,0.9 0.8 1和和苗苗率率分分别别为为有有甲甲、乙乙两两批批种种子子，出出例例,求求取一粒取一粒现从这两批种子中各任现从这两批种子中各任 ;1 两两粒粒种种子子都都出出苗苗的的概概率率 ;2出苗的概率出苗的概率恰好有一粒种子恰好有一粒种子 .3概概率率至至少少有有一一粒粒种种子子出出苗苗的的 解解 子出苗子出苗由甲批中取出的一粒种由甲批中取出的一粒种设设 A 子出苗子出
15、苗由乙批中取出的一粒种由乙批中取出的一粒种 B,两两粒粒种种子子都都出出苗苗且且事事件件相相互互独独立立、则则事事件件BA:表示为表示为,AB:表表示示为为恰恰好好有有一一粒粒出出苗苗,BABA :表表示示为为至至少少有有一一粒粒种种子子出出苗苗.BA ABP 1 BPAP ;0.720.90.8 BABAP 2 BAPBAP BPAPBPAP .0.260.10.80.90.2 BAP 3 ABPBPAP BPAPBPAP 0.90.80.90.8 .0.98 BAP 或或者者 BAP 1 BAP 1 BPAP 1.0.98 ,2都都每每一一门门击击中中飞飞机机的的概概率率设设有有两两门门高
16、高射射炮炮例例:,0.6 求下列事件的概率求下列事件的概率是是?1中飞机的概率是多少中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击同时发射一发炮弹而击 99%,2以以上上的的概概率率欲欲以以若若有有一一架架敌敌机机入入侵侵领领空空?,炮炮问问至至少少需需要要多多少少门门高高射射击击中中它它 解解 ,而击中飞机而击中飞机门高射炮发射一发炮弹门高射炮发射一发炮弹第第设设kAk ,6.0,2,1 于于是是且且之之间间相相互互独独立立则则 kkAPAk 21 1AAP 211AAP 211AAP 211APAP 24.01 .0.84 ,2由由题题知知门门高高射射炮炮设设至至少少需需要要n 21nAAAP 1
17、21nAAAP 121nAAAP nAPAPAP 211n4.01 0.99 ,01.00.4 n,解之得解之得.026.54.0ln01.0ln n即即,2都都每每一一门门击击中中飞飞机机的的概概率率设设有有两两门门高高射射炮炮例例:,0.6 求下列事件的概率求下列事件的概率是是?1中飞机的概率是多少中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击同时发射一发炮弹而击 99%,2以以上上的的概概率率欲欲以以若若有有一一架架敌敌机机入入侵侵领领空空?,炮炮问问至至少少需需要要多多少少门门高高射射击击中中它它?.4 100 .0.01 ;0.95 .,3 ,)3 (3 :.100 3 概率是多少概率是多少
18、试问这批乐器被接收的试问这批乐器被接收的音色不纯的音色不纯的件是件是件乐器中恰有件乐器中恰有如果已知这如果已知这的概率为的概率为测试被误认为不纯测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经而一件音色纯的乐器经为为出其为音色不纯的概率出其为音色不纯的概率试查试查件音色不纯的乐器经测件音色不纯的乐器经测设一设一收收则这批乐器就被拒绝接则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯被认为音色不纯中中件中至少有一件在测试件中至少有一件在测试如果如果是相互独立的是相互独立的件乐器的测试件乐器的测试设设件测试件测试该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取自自验收方案如下验收方案如下乐器乐器件件要验收一批要验收一批例例 解解 ,3
19、 件音色不纯件音色不纯恰有恰有件件随机地取出随机地取出设设iHi .3210,i .这批乐器被接收这批乐器被接收 A 则则 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 其中其中 0HP,3100396CC 1HP,142310096CCC 2HP,241310096CCC 3HP,343100CC 4 100 件是音色不纯的件乐器中恰有如果已知这 0H|AP ,0.993 1H|AP ,0.050.992 2H|AP ,0.050.992 3H|AP .0.053 :概率为概率为所以这批乐器被接收的所以这批乐器被接收的 AP 11HPH|APHPH|AP 00
20、3322HPH|APHPH|AP 30.99 3100396CC 0.050.992142 310096CCC 22410.050.99 310096CCC 0.053343100CC .0.8629 0.01 ;0.95 的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率测试查一件音色不纯的乐器经 例例5 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件都是电路中的元件.它们下它们下方的数是它们各自正常工作的概率方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工求电路正常工作的概率作的概率.ABCEDFGH95.095.095.
21、070.070.070.075.075.0 解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工，由于各元件独立工作，有作，有其中其中P(W)0.782代入得代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0 P WP A P B P CDE P FG P H 0.973 1P FGP F P G 0.9735 EPDPCP1EDCP)(四、小结四、小结 这一讲，我们介绍这一讲，我们介绍了事件独立性的概念了事件独立性的概念.不不难发现，当事件相互独立时，乘法公式难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分变得十分简单，因而也就特别重要和有用简单，因而
22、也就特别重要和有用.如果事件是独如果事件是独立的，则许多概率的计算就可大为简化立的，则许多概率的计算就可大为简化.称这种试验为等可能随机试验或古典概型.一般地，把 n 个球随机地分配到 m 个盒子中去(n m)，则每盒至多有一球的概率是：它们下方的数是它们各自正常工作的概率.例6（随机取数问题）从1到200这200个自然数中任取一个；P(A|B)=P(A)一般地，把n个球随机地分成 m 组(n m),要求第 i 组恰有n i个球(i=1,m)，共有分法：求电路正常工作的概率.例11 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.(1)求取到的数能被6整除的概率；A=
23、第二次掷出6点，B=第一次掷出6点，P(AB)=P(A)P(B)(1)例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K,B=抽到的牌是黑色的独立是事件间的概率属性例10 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。2 独立与互斥的关系解 设A:每组有一名运动员;B:3名运动员集中在一组P(A )=P(A-A B)例11 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.即 A与B 不互斥(相容).(2)求取到的数能被8整除的概率；例5 下面是
24、一个串并联电路示意图.第一章第一章 习题课习题课 主要内容主要内容例题选讲例题选讲 概率的公理化定义概率的公理化定义 S,是是它它的的是是随随机机试试验验设设 E ,AP ,赋赋予予一一个个实实数数的的每每一一个个事事件件对对于于样样本本空空间间AE:,A件件如果它满足下列三个条如果它满足下列三个条的概率的概率称之为事件称之为事件 ;0 1 AP 非非负负性性 ;1 2 SP 规范性规范性 ,321有有对对于于两两两两互互斥斥事事件件AA 2121 APAPAAP 可列可加性可列可加性一、概率的定义一、概率的定义 1性质性质 0.P 2性性质质,21则则两两两两互互斥斥设设有有限限个个事事件件
25、nAAA 1212.nnP AAAP AP AP A 3 性质性质,有有对于任何事件对于任何事件 A .1APAP 4 性质性质,则则且且为为两两事事件件、设设BABA BPAPBAP 并并且且 .BPAP 二、概率的性质二、概率的性质 5 性质性质,都有都有对于任一事件对于任一事件 A .1 AP 6 性质性质,则则为任意两个事件为任意两个事件设设BA ABPBPAPBAP CBAP ABPCPBPAP ABCPBCPACP 称这种试验为称这种试验为等可能随机试验等可能随机试验或或古典概型古典概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间只有有限多个样本点；
26、它的样本空间只有有限多个样本点；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.AP 中的基本事件总数中的基本事件总数包含的基本事件数包含的基本事件数SA 三、古典概型三、古典概型古典概型中事件古典概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式:称这种试验为称这种试验为几何概型几何概型.若随机试验满足下述两个条件：若随机试验满足下述两个条件：(1)它的样本空间有无限多个样本点，它的样本空间有无限多个样本点，且具有有限的几何度量；且具有有限的几何度量；(2)每个样本点出现的可能性相同每个样本点出现的可能性相同.AP 的几何度量的几何度量 S S 事件的几何度量事件的几何度量 A A 四
27、、几何概型四、几何概型几何概型中事件几何概型中事件A的概率的计算公式的概率的计算公式:设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 )()()|(BPABPBAP1.条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.五、条件概率五、条件概率 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后改变了的情况去算 2.条件概率的计算条件概率的计算1)用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0若若 P(B)0,则则 P(AB)=P(B)P(A|B)若若 P(A)0,则则 P(AB)=P(A)P(B|A),SE 的的样样
28、本本空空间间为为设设试试验验nBBB,21 ,则则对对且且的的一一个个划划分分为为n,iBPSi 210,恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(ni,21,SE 的的样样本本空空间间为为设设试试验验12,nAAA为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分,B 为为 S 中的任一事件中的任一事件,且且P(B)0,则有则有P(Ai)0,求电路正常工作的概率.N(2)=200/8=25不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.可见 P(A)=P(A|B),即事件A、
29、B独立.不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用.若A与B互斥，则 AB=因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响.三、独立性的概念在计算概率中的应用则称A、B相互独立，简称A、B独立.P(Ai)0,称这种试验为几何概型.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.例10 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。这一讲，我们介绍了事件独立性的概念.是男孩,T 表示某个孩子是女孩P(A )=P(A-A B)例6（随机取数问题）从1到200这2
30、00个自然数中任取一个；例例1 1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以以A A、B B、C C分别表示甲、乙、丙命中目标，试分别表示甲、乙、丙命中目标，试用用A A、B B、C C的运算关系表示下列事件：的运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例例2:2:有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概设每个孩子是男是女的概率相等率相等,则至少有一个男孩的
31、概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少?S S=HHHHHH,HHTHHT,HTHHTH,THHTHH,HTTHTT,TTHTTH,THTTHT,TTTTTT A A=HHHHHH,HHTHHT,HTHHTH,THHTHH,HTTHTT,TTHTTH,THTTHT 87)()()(SNANAP解解:设设A A表示表示“至少有一个男孩至少有一个男孩”,以以H H 表示某个孩子表示某个孩子是男孩是男孩 ,T T 表示某个孩子是女孩表示某个孩子是女孩例例3 3（摸球问题）（摸球问题）设盒中有设盒中有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现个红球，现从中任抽从中任抽2 2个球，求取到一红一白的概率。个球
32、，求取到一红一白的概率。解解:设设A A表示表示“取到一红一白取到一红一白”25)(CSN1213)(CCAN53)(251213CCCAP一般地，设合中有一般地，设合中有N N个球，其中有个球，其中有M M个白球，现从中任抽个白球，现从中任抽n n个球，则这个球，则这n n个球中恰有个球中恰有k k个白球的概率是个白球的概率是nNknMNkMCCCp例例4 4（分球问题）将（分球问题）将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，个盒子中去，问：（问：（1 1）每盒恰有一球的概率是多少？（）每盒恰有一球的概率是多少？（2 2）空一）空一盒的概率是多少？盒的概率是多少？解解 设设 A:
33、A:每盒恰有一球每盒恰有一球,B:,B:空一盒空一盒33)(SN!3)(AN92)(AP1)(全有球空两合PPBP32923313 一般地，把一般地，把 n 个球随机地分配到个球随机地分配到 m 个盒子中去个盒子中去(n m)，则每盒至多有一球的概率是：则每盒至多有一球的概率是：nnmmPp 例例5 5（分组问题）（分组问题）3030名学生中有名学生中有3 3名运动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：（组，求：（1 1）每组有一名运动）每组有一名运动员的概率；（员的概率；（2 2）3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。!10!10!1
34、0!30)(101010201030CCCSN20350)(!9!9!9!27!3)(SNAP)(3)(10101020727SNCCCBP解解 设设A:A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B:3;B:3名运动员集中在一组名运动员集中在一组 一般地，把一般地，把n n个球随机地分成个球随机地分成 m 组组(n m),),要求第要求第 i 组恰有组恰有n i个球个球(i=1,=1,m)，共有分法：，共有分法：!.!1mnnn例例6 6（随机取数问题）（随机取数问题）从从1 1到到200200这这200200个自然数中任个自然数中任取一个；取一个；(1)(1)求取到的数能被求取到的数能被6 6整
35、除的概率；整除的概率；(2)(2)求求取到的数能被取到的数能被8 8整除的概率；整除的概率；(3)(3)求取到的数既能被求取到的数既能被6 6整除也能被整除也能被8 8整除的概率整除的概率.解:N(S)=200,N(S)=200,N(3)=200/24=8N(3)=200/24=8N(1)=200/6=33,N(1)=200/6=33,N(2)=200/8=25N(2)=200/8=25(1),(2),(3)(1),(2),(3)的概率分别为的概率分别为:33/200,1/8,1/25:33/200,1/8,1/25例例7 7 某市有甲某市有甲,乙乙,丙三种报纸丙三种报纸,订每种报纸的人数订每
36、种报纸的人数分别占全体市民人数的分别占全体市民人数的30%,30%,其中有其中有10%10%的人同时定的人同时定甲甲,乙两种报纸乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙报纸没有人同时订甲乙或乙丙报纸.求求从该市任选一人从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率他至少订有一种报纸的概率.%80000%103%30)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP解解 设设A,B,C分别表示选到的人订了甲分别表示选到的人订了甲,乙乙,丙报丙报例例8 8 在在1 1 1010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求（1 1）取到的数能被）取到的数能被2 2或或3
37、3整除的概率，整除的概率，（2 2）取到的数即不能被）取到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率，（3 3）取到的数能被）取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。解解设设 A取到的数能被取到的数能被2 2整除整除;取到的数能被取到的数能被3 3整除整除.故故21)(AP103)(BP)()()()()1(ABPBPAPBAP101)(ABP107)(1)()2(BAPBAP103)()()()3(ABPAPBAP52例例9 9 盒中有盒中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一只个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，
38、并再放入一只与所取之球颜色，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球相同的球，若从合中连续取球4 4次次,试求第试求第1 1、2 2次取得次取得白球、第白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解解设设Ai 为第为第 i 次取球时取到白球，则次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP例例10 10 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的
39、市场占有率分别为牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/41/4、1/41/4、1/21/2，且三家工厂的次品率分别为，且三家工厂的次品率分别为 2 2、1 1、3 3，试求市场上该品牌产品的次品率。，试求市场上该品牌产品的次品率。买到一件丙厂的产品买到一件乙厂的产品买到一件甲厂的产品：买到一件次品设：:321AAAB)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(321BAPBAPBAPBP例例11 11 商店论箱出售玻璃杯商店论箱出售玻璃杯,每箱每箱2020只只,其中每箱含其中每箱含0 0，1 1，2
40、 2只次品的概率分别为只次品的概率分别为0.8,0.1,0.10.8,0.1,0.1，某顾客，某顾客选中一箱，从中任选选中一箱，从中任选4 4只检查，结果都是好的，便买只检查，结果都是好的，便买下了这一箱下了这一箱.问买下的这一箱含有一个次品的概率是问买下的这一箱含有一个次品的概率是多少？多少？解解设设A:从一箱中任取从一箱中任取4 4只检查只检查,结果都是好的结果都是好的.B0 0,B1 1,B2 2分别表示事件每箱含分别表示事件每箱含0 0，1 1，2 2只次品只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.11)|(0BAP54)|(4204191CCBAP1912)
41、|(4204182CCBAP由由Bayes 公式公式:20111)|()()|()()|(iiiBAPBPBAPBPABP0848.019121.0541.018.0541.0例例12 12 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用如图，如图，1 1、2 2、3 3、4 4、5 5表示继电器触点表示继电器触点,假设每个触假设每个触点闭合的概率为点闭合的概率为 p,且各继电器接点闭合与否相互且各继电器接点闭合与否相互独立，求独立，求 L 至至 R 是通路的概率。是通路的概率。)()|(52413AAAAPAAP422pp 设设 A 表示表示“L 至至 R 为通路为通路”,Ai表示表示“第第 i 个继电器通个继电器通”,i=1,2,5.=1,2,5.)()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp
