1、1第三节第三节2 并非所有方阵都可对角化并非所有方阵都可对角化,但是但是实对称实对称矩阵矩阵必可对角化必可对角化.为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要为了讨论实对称矩阵的有关性质，需要研究向量内积和正交的概念和性质。研究向量内积和正交的概念和性质。3定义定义的的内内积积),(定定义义为为：两个两个n维向量维向量TnTnbbbaaa),(,),(2121 nnbababa 2211),(向量的内积具有如下基本特性：向量的内积具有如下基本特性：(1)(1),(),(证略证略.(2 2),(),(),(3 3),(),(kk（k为为实实数数）(4 4)0),(，0),(当当且且仅仅当当 。.T 一、向
2、量的内积一、向量的内积,正交和长度正交和长度4向量长度的性质向量长度的性质:(1)(1)0 ，0 当且仅当当且仅当0 ；记记),(，称称为为向向量量 的的长长度度。由定义可知由定义可知.22221naaa 如如果果1 ，则则称称 为为单单位位向向量量。定义定义(2 2)kk,（k为为实实数数）例例1证证证证明明：对对任任意意非非零零向向量量 ，1为为单单位位向向量量。1 1.1 1称称为为 的的单单位位化化向向量量。5二、正交向量组和正交矩阵二、正交向量组和正交矩阵当当0),(时时，称称向向量量 与与正正交交。定义定义显然零向量与任何向量都正交显然零向量与任何向量都正交。n维基本单位向量组维基
3、本单位向量组 是两两正交的。是两两正交的。n ,21,)0,0,1(1T ,)0,1,0(2T ,)1,0,0(Tn ,显然有显然有,0),(ji ),1,(njiji 6设设)3,0,1(，)1,2,1(,求求一一个个 3 维维单单位位向向量量，使使它它与与向向量量 ,都都正正交交。例例2解解设设),(321xxx ，则则 02),(03),(32131xxxxx 121301A,210301 求求得得通通解解为为 )1,2,3(k，特特别别取取1 k，即即得得 )1,2,3(，将将向向量量 单单位位化化，即得所求向量为即得所求向量为.)141,142,143(1 7定义定义s ,21若非零
4、向量若非零向量两两正交，两两正交，则称之为则称之为正交向量组正交向量组。定理定理 正交向量组必线性无关。正交向量组必线性无关。证证设设s ,21是正交向量组，是正交向量组，,0021111 T由由.01 k从而有从而有,02 skk同理可得同理可得.,21线性无关线性无关故故s 使使设有数设有数,21skkk,02211 sskkk 得得左左乘乘上上式式两两端端以以,1T,0111 Tk8施密特正交化方法施密特正交化方法施施密密特特正正交交化化方方法法是是将将一一组组线线性性无无关关的的向向量量s ,21转转化化为为与与之之等等价价的的一一组组正正交交向向量量组组的的方方法法，具具体体程程序序
5、如如下下：,11 ,),(),(1111222 ,),(),(),(),(222231111333 .),(),(),(),(),(),(11122221111 ssssssss 可可以以证证明明，s ,21是是一一组组两两两两正正交交的的向向量量，且且与与s ,21等等价价。证略。证略。9例例3解解用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：用施密特正交化方法，将下列向量组正交化：TTT)1,1,5,3(,)4,0,1,1(,)1,1,1,1(321 ,)1,1,1,1(11T TT)1,1,1,1(44)4,0,1,1(,)3,1,2,0(T 1111222),(),(222231111333
6、),(),(),(),(TTT)3,1,2,0(1414)1,1,1,1(48)1,1,5,3(.)0,2,1,1(T 10例例4解解将向量组将向量组 014,131,121321 标准正交化标准正交化.121 131,11135 ,11 1111222),(),(222231111333),(),(),(),(111 121 014,60631 46,1112 265 3,1013 11,1211 ,1112 ,1013 再单位化再单位化,121611 ,111312 .101213 .,321即为所求即为所求 12已已知知T)1,1,1(1 ，求求一一组组非非零零向向量量32,，使使321
7、,两两两两正正交交.例例5解解即即应应满满足足方方程程,0,132 xT ,0321 xxx.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为再正交化，再正交化，,12 101211101111223),(),(.12121 13正交矩阵的性质：正交矩阵的性质：(1)若若Q为正交矩阵，则为正交矩阵，则1 Q；(2)若若Q为为正正交交矩矩阵阵，则则Q可可逆逆，且且TQQ 1；(3)若若 P 与与Q都是正交矩阵，则都是正交矩阵，则 PQ也是正交矩阵。也是正交矩阵。证证)()(PQPQT)(PQPQTT QPPQTT)(从从而而有有 EQQT；EQQT QQT.E 定义定义 若若n阶矩阵阶矩阵Q 满
8、足满足,EQQT 则称则称 Q为为 正交矩阵。正交矩阵。14 Q为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是Q的的列列向量组向量组是单位正交向量组是单位正交向量组证明证明定理定理,),(21nQ EQQnTnTTT ),(2121 EnTnTnTnnTTTnTTT 21222121211115),2,1,(,0,1 njijijiijTji 当当当当 n ,21即即是单位正交向量组是单位正交向量组EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111同理同理,由由EQQT 可知可知Q的的行行向量组是单位正交向量组是单位正交向量组向量组.16;)2(1TQQ ;)1(EQQT Q为正
9、交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：;EQQT(3)Q的行向量是两两正交的单位向量的行向量是两两正交的单位向量.(4)Q的列向量是两两正交的单位向量的列向量是两两正交的单位向量.17例例6 判别下列矩阵是否为正交矩阵判别下列矩阵是否为正交矩阵,12131 21 12131 211 )1(.97 94949491 98949891 )2(解解(1),021311)21()21(1 不是正交矩阵不是正交矩阵18(2)T 979494949198949891所以它是正交矩阵所以它是正交矩阵,100010001 979494949198949891 979494
10、94919894989119 2121000021 2121 2121212121 2121P练习练习验证矩阵验证矩阵是正交矩阵是正交矩阵.P 每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以每个列向量都是单位向量，且两两正交，所以P是正交矩阵。是正交矩阵。20实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵的特征值都是实数.三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化定理定理并非所有方阵都可对角化并非所有方阵都可对角化,但是实对称矩阵必可对角化但是实对称矩阵必可对角化.证证证略证略.实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.定理定理只证两个特征向量的情况只
11、证两个特征向量的情况.设设A是是一一个个实实对对称称矩矩阵阵，,A,A),(),(),(),(A TA)(TTA AT),(A,),(,0),()(，而而 .0),(21定理定理证略证略.设设A是是一一个个实实对对称称矩矩阵阵，则则存存在在正正交交矩矩阵阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵。具体计算步骤如下：具体计算步骤如下：(1)求出实对称矩阵求出实对称矩阵A的全部特征值；的全部特征值；(2)若特征值是若特征值是单根单根，则求出一个线性无关的特征，则求出一个线性无关的特征向量，并加以向量，并加以单位化单位化；若特征值是若特征值是重根重根，则求出重，则求出重数数个线性无关的特个线性无关的特征向
12、量，然后用征向量，然后用施密特正交化施密特正交化方法化为正交组，再方法化为正交组，再单位化；单位化；(3)将这些两两正交的单位特征向量按将这些两两正交的单位特征向量按列列拼起来，就拼起来，就得到了正交矩阵得到了正交矩阵P P。22例例7解解设设,633312321 A求正交阵求正交阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵.633312321 AE,)9)(1(，01 ,1111 ，12 ,0112 ，对对93 ,2113 再单位化再单位化,111311 ,011212 ,211613 23,111311 ,011212 ,211613 于是于是所求所求正交阵正交阵为为,62031612131612
13、131),(321 P使使.9101 APP24例例8解解324262423 AE,)7)(2(2 设设求正交阵求正交阵P，使使APP1 为为对对角角阵阵.,324262423 A31cc 327260427 ，对对21 特征向量特征向量,)2,1,2(1T 5242824252AE,000120141 31rr 25324262423 AE,)7)(2(2 ，对对72 特征向量特征向量,)0,2,1(2T 4242124247AE,000000212 ,)1,0,1(3T 021 1013,52451 15,5243 26,2121 ,0212 ,5243 再单位化再单位化,拼起来得拼起来得
14、.45503245252314545132 P使使.7721 APP27解解例例9 设三阶实对称矩阵设三阶实对称矩阵A A的特征值是的特征值是1,2,3；属于特征属于特征值值1,2的特征向量分别为的特征向量分别为 T)1,1,1(1 ,T)1,2,1(2 ,(1)(1)求属于特征值求属于特征值3的特征向量；的特征向量；(2)(2)求矩阵求矩阵A.设设属属于于特特征征值值 3 的的特特征征向向量量为为3,矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有于是有 由于实对称由于实对称031 T,032 T,即解齐次线性方程组即解齐次线性方程组,其系数矩阵为其系数矩
15、阵为 121111,030111 28基基础础解解系系为为T)1,0,1(,121111,030111 属于特征值属于特征值3的特征向量为的特征向量为 Tk)1,0,1(3 ,k为任意常数为任意常数;(2)(2)记记 111021111P，求求得得 303121222611P，1321 PPA所以所以.13252102521361 T)1,1,1(1 ,T)1,2,1(2 ,29解解 20212022EA 214 0.2,1,4321 得得,020212022)1(A 310130004)2(A例例1010 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对
16、角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A30 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi,0 得得由由对对,04,41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.1221 得得由由对对,0,12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 31 得得由由对对,02,23 xEA 02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3,321321故它们必两两正交故它们必两两正交的特征
17、向量的特征向量个不同特征值个不同特征值的的是属于是属于由于由于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化.3,2,1,iiii 令令32,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则33 310130004)2(A 310130004EA ,422 .4,2321 得特征值得特征值 得基础解系得基础解系由由对对,02,21 xEA 1101 得得基基础础解解系系由由对对,04,432 xEA 34.110,00132 ,32恰恰好好正正交交与与 .,321两两两两正正交交所所以以 得得令令单位化单位化再将再将3,2,1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 35于是得正交阵于是得正交阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则36使得使得故存在可逆阵故存在可逆阵且秩为且秩为阵阵是实对称是实对称又又或或的特征值为的特征值为可得可得由由,01 2PrAAAA 解解,0001 rEAPP)2det()2det(11PPPPAE 从而从而)2det(E EErnr200det.2rn 2 ,det 2.11nAAAArEA设 阶实对称矩阵 满足且 的秩为试求行列式的值例.阶单位阵阶单位阵是是其中其中rEr37END
