1、第十一章第十一章 区间估计区间估计置信区间置信区间正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间第一节第一节 置信区间置信区间对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计量对应总体的某一个样本观测值，我们可以得到点估计量的一个观测值，但是它仅仅是参数的一个观测值，但是它仅仅是参数的一个近似值的一个近似值.由于由于 是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机变是一个随机变量，它会随着样本的抽取而随机变化，不会总是和化，不会总是和相等，而存在着或大、或小，或正、或负相等，而存在着或大、或小，或正、或负的误差的误差.即便点估计量具备了很好的性质，但是它本身无法即便点估计量具备了很好的性质，但是它本身无法反
2、映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围反映这种近似的精确度，且无法给出误差的范围.为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道为了弥补这些不足，我们希望估计出一个范围，并知道该范围包含真实值的可靠程度该范围包含真实值的可靠程度.这样的范围通常以区间的形这样的范围通常以区间的形式给出，同时还要给出该区间包含参数式给出，同时还要给出该区间包含参数真实值的可靠程度真实值的可靠程度.这种形式的估计称之为这种形式的估计称之为区间估计区间估计.第一节第一节 置信区间置信区间例例 对明年小麦的亩产量作出估计为:若设X表示明年小麦亩产量,则估计结果为P(800X1000)=80%明年小麦亩产量八成为明年
3、小麦亩产量八成为800-1000800-1000斤斤.区间估计区间估计第一节第一节 置信区间置信区间例例1 1某农作物的平均亩产量某农作物的平均亩产量X(X(单位单位)服从正态分布服从正态分布N(,N(,2 2),),今随机抽取今随机抽取100100亩进行试验亩进行试验,观察其亩产量值观察其亩产量值x x1 1,x,x2 2,x,x100100,基此算出基此算出 ,因此因此的点估计值为的点估计值为500.500.由于抽由于抽 )(500 kgx 样的随机性样的随机性,的真值与的真值与 的值总有误差的值总有误差,我们希望以我们希望以x95%95%的可靠度估计的可靠度估计 与与的最大误差是多少的最
4、大误差是多少?x因为因为,),(2nNx从而存在从而存在c0,c0,使得使得,95.0)|(|cXP因此因此,这个这个c c就是可允许的最大误差就是可允许的最大误差第一节第一节 置信区间置信区间定义定义 设设X X1 1,X,X2 2,X,Xn n是来自总体是来自总体f(x,f(x,)的样本的样本,未知未知,对于任给对于任给（0 0 1),1),若有统计量若有统计量 则称随机区间则称随机区间 为为 的的双侧双侧1 1的的置信区间置信区间,1,1为为置信水平置信水平,),.,(21nXXX 1P,限。的置信上限和置信下分别称为置信度为1和,),.,(21nXXX 使得使得 第一节第一节 置信区间
5、置信区间.,1),.,(),.,(:2121则犯错误的概率为的真值含着参数包区间因此若认为的真值的概率为包含参数区间随机解释为的区间估计的意义可以参数 nnXXXXXX.1,1,的概率包含以而只能说区间的概率落入随机区间以所以不能说参数不是随机变量由于 第一节第一节 置信区间置信区间包含参数.)以概率1x,.,x,(x,)x,.,x,(x不能说区间(要么没有包含参数,要么包含了参数),x,.,x,(x),x,.,x,(x(得到的一个确定的区间对于一次具体的抽样所n21n21n21n21 参数.)%的区间包含未知大约有100(1这些区间中),x,.,x,(x),x,.,x,(x(将得到许多不同的
6、区间在重复取样下,n21n21 第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间第一节第一节 置信区间置信区间这时必有这时必有 1),(),(2121nnXXXXXXP例例1 1某农作物的平均亩产量某农作物的平均亩产量X(X(单位单位)服从正态分布服从正态分布N(,N(,2 2),),今随机抽取今随机抽取100100亩进行试验亩进行试验,观察其亩产量值观察其亩产量值x x1 1,x,x2 2,x,x100100,基此算出基此算出 ,因此因此的点估计值为的点估计值为500.500.由于抽由于抽 )(500 kgx 样的随机性样的随机性,的真值与的真值与
7、的值总有误差的值总有误差,我们希望以我们希望以x95%95%的可靠度估计的可靠度估计 与与的最大误差是多少的最大误差是多少?x因为因为,),(2nNx因此因此,就是就是c c值，值，解解此处此处,2 2=100=1002 2，n=100,n=100,因此因此)1,0()(),(NXnXGdef nXXG96.1|96.1),(05.0 1)96.1,96.1(nXnXPn96.1置信区间置信区间,cXcX 第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2)的情形的情形一、均值估计（均值一、均值估计（均值的置信区间）的置信区间）1.1.2 2已知时
8、已知时X X1 1,X,X2 2,X,Xn n为取自为取自N(,N(,2 2)的样本的样本,求求的的1-1-置信区间置信区间的一个点估计，是X)1,0()(NXnU ,是枢轴函数因此 U时当2/1-uk 1)|(|kUPnkX,nk-X|等价于kU nkX,n-kX -1置信区间为：的第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2)的情形的情形2.2.2 2未知时未知时的估计作用*S)1()(*ntSXnT,得到枢轴函数为),1(2/1 ntk-取 1)|(|kTP)1()1(*21*21nSntX,nSn-tX -1置信区间为：的0t1220
9、t 第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间720.6 x单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2)的情形的情形未知，此处)1()1(*975.0*975.0nSntX,nSn-tX 例例为估计一批钢索所能承受的平均张力（单位：为估计一批钢索所能承受的平均张力（单位：kg/cmkg/cm2 2），），从中随机抽取从中随机抽取1010个样品作试验，由实验数据算出个样品作试验，由实验数据算出 ，假定张力服从正态分布，求平均张力的置信水平假定张力服从正态分布，求平均张力的置信水平为为95%95%的置信区间的置信区间.解解 的置信区间为：的平均张力%95代入数据,6720 x,220*
10、S,10 n262229750.t.查表观察值是平均张力的置信区间的6877.6815，6562.6185,220*S第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2)的情形的情形二、方差的估计（方差二、方差的估计（方差2的置信区间）的置信区间）1.1.已知时已知时X X1 1,X,X2 2,X,Xn n为取自为取自N(,N(,2 2)的样本的样本,求求2的的1-1-置信区间置信区间的点估计，且是2122)(1niiXnS)1(2222nnS,2是枢轴函数因此使得容易找到b,a 1)(2baP(n)(n),ba22122 一般取 22222122
11、(n)n,(n)n -1置信区间为：的此时对应的第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间单个正态总体单个正态总体N(,N(,2 2)的情形的情形1.1.未知时未知时，代替用X22nS,可得枢轴变量为11 22222122)(nnS,)(nnS -1置信区间为：的22212122由基本抽样定理，)1(22 n第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2),N(),N(2 2,2 22 2)的情形的情形设设X X1 1,X,X2 2,X,Xm m为取自为取自N(N(1 1,1 12 2)的样本的样本,Y,Y1 1,Y,Y2
12、 2,Y,Yn n为取自为取自N(N(2 2,2 22 2)的样本的样本,且（且（X X1 1,X,X2 2,X,Xm m，）与，）与（Y Y1 1,Y,Y2 2,Y,Yn n）相互独立，求二总体均值差）相互独立，求二总体均值差1 1-2 2的的1-1-置信区间置信区间第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间的点估计，且由是21 YX两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2),N(),N(2 2,2 22 2)的情形的情形1 1-2 2 的置信区间的置信区间1.1.1 12 2,22已知时已知时),(222121nmNYX 可导出枢轴函数为，有取2/1-uk 1)|(
13、|kUP 222121222121mmYX,mmYX ,)(222121nmYXU miimiiYnYXmX111,1 此处，），（显然，10 NU 置信区间为：的-121 第二节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间,)()(2121212 njimiiwYYXXnmS 记，两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2),N(),N(2 2,2 22 2)的情形的情形2.2.1 12 2=2 22 2=2 2未知时未知时令 22212221mmkSYX,mmkSYXww ,nmS)(YXTw222121 )2(nmtT 置信区间为：的-121)n(mtk-22/1 其中第二
14、节第二节 正态总体下的置信区间正态总体下的置信区间两个正态总体两个正态总体N(N(1 1,1 12 2),N(),N(2 2,2 22 2)的情形的情形5367.0357.05245.08131 wS例例 甲、乙两台机床加工同一种零件，今在机床甲加工的零甲、乙两台机床加工同一种零件，今在机床甲加工的零件中随机抽取件中随机抽取9 9件，在乙加工的零件中随机抽取件，在乙加工的零件中随机抽取6 6件，分件，分别测量零件的长度（单位：别测量零件的长度（单位：mmmm），由测得的数据可算出），由测得的数据可算出,0648.2 x,0594.2 y,245.02*1 S.257.02*2 S假定零件长度服
15、从正态分布，试求两台机床加工零件长假定零件长度服从正态分布，试求两台机床加工零件长度的均值差度的均值差1 1-2 2的水平为的水平为95%95%的置信区间。的置信区间。解解令令n n1 1=9,=9,n n2 2=6=661911604.2)13(975.0 tk水平为水平为95%95%的的1 1-2 2的置信区间为的置信区间为-0.6056-0.6056，0.61640.6164例例1 1 某工厂生产一批滚珠,其直径 X 服从正态解解(1)6/06.0,(NX)01.0,(N即)1,0(1.0NX96.1975.012 uu分布 N(2),现从某天的产品中随机抽(1)若 2=0.06,求 的
16、置信区间(2)若 2未知,求 的置信区间(3)求方差 2的置信区间.取 6 件,测得直径为15.1,14.8,15.2,14.9,14.6,15.1置信度均为0.95 的置信区间为)61.096.195.14,61.096.195.14(2)取)5(6*tSXT 5706.2)5(975.0 t查表由给定数据算得95.14x226.0.051.0)6(51*26122*sxxsii)187.15,71.14()5(6),5(6(975.0*975.0*tsxtsx 2 的置信区间为(3)选取枢轴量)5(5222SK 831.0)5(,832.12)5(2025.02975.0)3069.0,0199.0()5(5,)5(5(2025.022975.02ss查表得.051.02s 的置信区间为
