1、第十章第十章 时间序列模型时间序列模型 10.1 时间序列的一些基本概念时间序列的一些基本概念一、随机过程的定义1随机过程（随机过程（stochastic process）随机时间由随机变量组成的一个有序序列，或一个随机变量按照时间编排的集合，称为随机过程。记作Xt、Yt；或Xt、Yt（t=1，2，）。2.时间序列时间序列随机过程的一次观测结果称为时间序列。记法同上。随机过程或时间序列一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。3.白噪音（声）（白噪音（声）（white noise）若一个随机时间序列Xt是一个具有零均值同方差，而且不存在序列相关，即 （10.1.1）则称序列Xt是一个白噪音
2、白噪音或白噪声白噪声过程，即纯随机过程纯随机过程（purely random process）。如果序列Xt是独立同分布的，则称之为严格严格白噪音白噪音（strictly white noise）。2()0,(),(,)0,0tttt kE XVar XCov XXk二、平稳性的定义1.平稳随机过程平稳随机过程若一个随机时间序列Xt满足下列条件：（1）（10.1.2）（2）（10.1.3）（3）（10.1.4）则称该时间序列是弱平稳的弱平稳的（weakly stationary），该随机过程称为弱平稳或协方协方差平稳差平稳（covariance stationary）随机过程。()tE X2(
3、)tVar X(,)tt kkCov XX 文字描述：若一个随机过程的均值或方差在时间上保持不变，并且任何两个时期之间的协方差仅依赖于该两个时期间的距离或滞后期长度，而不依赖于计算这个协方差的实际时间，则称之为平稳随机过程。我们通常所讲的时间序列的平稳性就是泛指这种弱平稳过程。如果一个时间序列按上述定义不是平稳的，则称之为非平稳非平稳（non-stationary）时间序列。2.白噪音是一个平稳时间序列白噪音是一个平稳时间序列 白噪音是一个平稳时间序列，是最简单的时间序列，是一个纯随机过程。白噪音序列在时间序列分析中具有非常重要的意义。3.随机游走模型（随机游走模型（random walk m
4、odel,RWM）另一个简单的随机时间序列为 （10.1.5）其中ut为白噪音，称为随机游走模型。1tttXXu 根据第六章，一阶自回归模型AR(1)：当=1的时候，即为完全一阶正自相关情况。这正是随机游走的情况。假设初始值为 X0，E(Xt)=E(Xt-1)，（10.1.6）1tttuuv10121201201,ttkkXXuXXuXuuXXu从而 (10.1.7)（10.1.8）这说明时间序列Xt的方差与时间t有关，并随时间无限增大。因此，随机游走模型是一个非平稳的随机过程。0()tE XX2()tVar Xt二、自协方差与自相关函数的定义 1自协方差自协方差 相隔k期的两个随机时间序列变
5、量Xt与Xt-k的协方差，即滞后k期的自协方差，定义为 （10.1.9）当k=0时，即为时间序列的方差 （10.1.10）(,)()()ktt ktt kCov XXE XX20()tXVar X 2.自相关函数自相关函数 由自相关系数定义 （10.1.11）对于一个平稳过程，有 （10.1.12）式子（10.1.11）变为 （10.1.13）(,)()()tt kktt kCov XXVar XVar X2()()tt kXVar XVar X20(,)()()tt kkkkXtt kCov XXVar XVar X 当时k=0，0=1，即自相关系数为1。k也称为自相关函数自相关函数（aut
6、ocorrelation function，ACF）。实际上，我们只能计算出样本自相关函数样本自相关函数（sample autocorrelation function，SACF）(10.1.14)（10.1.15）（10.1.16）对k的描点图称为样本相关图（sample correlogram）。0kk(X)(XX)tt kkXn20(X)tXnk10.2 时间序列模型的分类时间序列模型的分类一、自回归模型如果一个线性随机过程表示为 （10.2.1）其中为ut白噪音，则称之为1阶自回归过程（模型）阶自回归过程（模型），记作AR(1)。（10.2.2）其中ut为白噪音，则称之为p阶自回归过程
7、（模型）阶自回归过程（模型），记作AR(p)。11tttXXu1122tttptptXXXXu 如果定义L表示一阶滞后算子，有 （10.2.3）同理，如果定义Lk为k阶滞后算子，有 （10.2.4）式子（10.2.1）用滞后算子表示为 （10.2.5）式子（10.2.2）用滞后算子表示为 （10.2.5）1ttLXXktt kL XX1(1)ttL Xu212(1)()pptttLLLXL Xu 称为自回归算子自回归算子或自回归特征多项式自回归特征多项式。如果特征方程 (10.2.6)的所有根的绝对值都大于1，则该过程是一个平稳过程（证明省略）。212()1ppLLLL()0L 对一阶自回归过
8、程（10.2.1）的特征方程 (10.2.7)的根的绝对值大于1，则 或 （10.2.8）1()10LL 1|1/|11|1 利用泰勒级数展开有 （10.2.9）显然，若 ，则 发散，从而Xt为非平稳随机过程。因此，Xt是平稳过程，必须满足 。1121110(1)1()()tttiitiXLuLLuL u1|111(1)L1|1 另外，AR(1)过程也可以表示为 （10.2.10）因为ut为白噪音，有 所以，当 时，Xt 是平稳的；当 时，Xt 是非平稳的。当 时，即为随机游走。211122311121310ttttttttit iiXuuXuuuuu()0tE X2222112001()()
9、1iiuttuiiVar XVar u1|11|111二、移动平均模型如果一个线性随机过程表示为 （10.2.11）其中ut为白噪音，则称之为q阶移动平均阶移动平均（Moving average）过程（模型）过程（模型），记作MA(q)。用滞后算子表示为：（10.2.12）其中 称为移动平均算子移动平均算子或移动平均特征多项式移动平均特征多项式。1122ttttqt qXuuuu212(1)()qtqttXLLL uL u212()1qqLLLL 与移动平均过程相关的一个重要概念是可逆性，移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程 （10.2.13）的所有根的绝对值必须都大于1。可以证明，有限阶移
10、动平均过程都是平稳的。212()10qqLLLL 三、自回归移动平均模型自回归移动平均过程（模型）自回归移动平均过程（模型），记ARMA(p，q)，（10.2.14）或 （10.2.15）简化为 （10.2.16）可以证明，ARMA(p，q)的平稳性只依赖于其自回归部分，其可逆性则只依赖于移动平均部分。11221122tttptptttqt qXXXXuuuu221212(1)1pqptqLLLXLLL()()ttL XL u10.3 时间序列的非平稳性及其检验时间序列的非平稳性及其检验一、单整 若一个非平稳时间序列Xt必须经过d次差分之后才能变换成一个平稳的、可逆的时间序列，则称Xt具有d阶
11、单整（积）（integrated of order d）性。记作XtI(d)对于平稳时间序列，应该表示为I(0);随机游走模型就是一个一阶单整过程（integrated process）由 （10.1.5）可以得到 而ut为白噪音，这就把随机游走模型变成平稳的。因此，一个随机游走模型就是一个一阶差分平稳过程一阶差分平稳过程（difference stationary process，DSP）。1tttXXut1tttXXXu单整时间序列具有如下性质：1若XtI(1)，YtI(1)，则Zt=Xt+YtI(1)。2若Xt I(d)，则Zt=a+b Xt I(d)，其中a和b为常数。3若XtI(d1
12、)，YtI(d2)，则Zt=aXt+bYtI(d2)，其中d1d2。4若XtI(d)，YtI(d)，则Zt=aXt+bYtI(d*)，通常情况下d*=d，但在某些情况下d*1，此时序列急剧扩大，因此排除0的可能性。从而，原假设H0：=1或=0，即存在单位根，时间序列是非稳定的；备择假设H1：1或1，即时间序列是不断扩张、发散的。因此，选择时间序列的长度为19782003年，估计结果为（见表10.2）：112123.247022.953350.9970821.1995520.673046ttttXtXXX 表表10.2 19782003年我国年我国GDP序列模型估计结果序列模型估计结果Depen
13、dent Variable:XMethod:Least SquaresDate:09/27/13 Time:11:37Sample(adjusted):1981 2003Included observations:23 after adjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-123.2470112.7859-1.0927520.2889T22.9533514.223491.6137640.1240X(-1)0.9970820.03090732.260190.0000X(-1)-X(-2)1.1995520.2062615.8
14、157150.0000X(-2)-X(-3)-0.6730460.210057-3.2041150.0049R-squared0.998670 Mean dependent var3856.217Adjusted R-squared0.998374 S.D.dependent var3283.574S.E.of regression132.4000 Akaike info criterion12.79919Sum squared resid315535.8 Schwarz criterion13.04604Log likelihood-142.1907 Hannan-Quinn criter.
15、12.86127F-statistic3378.330 Durbin-Watson stat1.849416Prob(F-statistic)0.000000在原假设H0：=1 条件下，检验单位根的t统计量：查DF表（表10.1）样本容量为25所对应的1%、5%和10%的临界值分别为-4.38、-3.60和-3.24，显然皆小于上述t统计量值，从而不能拒绝原假设，说明我国19782003年GDP序列是非平稳的。110.99708210.094412.Error()0.030907()tDFEst StdSE 实际上，使用 原假设H0：=0，即存在单位根，序列是非平稳的；备择假设H1：1，因此，
16、时间序列是非平稳的。对时间序列lnimport的一阶差分的单整性检验的方法同于上述序列单整性检验，只是在单位根检验的Test for unit root in 中选择1st difference，而不是level即可。见表10.5。表表10.5 10.5 lnimport 一阶差分序列的一阶差分序列的ADF检验结果检验结果Null Hypothesis:D(LNIMPORT)has a unit rootExogenous:ConstantLag Length:2(Fixed)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-5.
17、717805 0.0000Test critical values:1%level-3.5482085%level-2.91263110%level-2.594027*MacKinnon(1996)one-sided p-values.从检验结果看，统计量t=-5.7178小于所有Mackinnon临界值，即序列是平稳的。按照同样的方法对序列lnexport进行检验，得lnexportI(1)。为了分析lnexport与lnimport之间是否存在协助关系，先对两个变量进行回归，然后检验回归残差的平稳性。以lnimport为解释变量，lnexport为被解释变量，利用OLS方法得到回归模型为（
18、见表10.6）：(10.5.1)0.0730931.019347lnlntttexportimporte表表10.610.6 lnexport 对对lnimport的的OLS回归结果回归结果Dependent Variable:LNEXPORTMethod:Least SquaresDate:10/02/13 Time:05:12Sample:1950 2011Included observations:62VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-0.0730930.050002-1.461790.149LNIMPORT1.0193470.0
19、08654117.79380.000R-squared0.995694 Mean dependent var5.315383Adjusted R-squared0.995623 S.D.dependent var2.402858S.E.of regression0.158977 Akaike info criterion-0.808391Sum squared resid1.516417 Schwarz criterion-0.739774Log likelihood27.06012 Hannan-Quinn criter.-0.78145F-statistic13875.37 Durbin-
20、Watson stat0.716635Prob(F-statistic)0.000000 对残差项稳定性检验：Quick Generate Series 设置et=resid，然后，双击et序列进行单位根检验。选择无截距项、无趋势项的DF检验，检验结果见表10.7。从检验结果看，t统计量为-3.617144小于各显著性水平下的Mackinnon临界值，表明残差序列不存在单位根，是平稳序列，从而变量lnexport与lnimport之间存在协整关系。表表10.7 10.7 残差序列平稳性检验结果残差序列平稳性检验结果Null Hypothesis:ET has a unit rootExogen
21、ous:NoneLag Length:0(Fixed)t-Statistic Prob.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-3.617144 0.0005Test critical values:1%level-2.6034235%level-1.94625310%level-1.613346*MacKinnon(1996)one-sided p-values.从表10.6回归结果看，协回归模型中的截距项t检验不显著，因此，可以选择没有截距项的协回归模型（见表10.8）：(10.5.2)1.0077lnln74tttexportimporte表表10
22、.8 10.8 不带截距项的不带截距项的lnexport 对对lnimport的的OLS回归结果回归结果Dependent Variable:LNEXPORTMethod:Least SquaresDate:10/02/13 Time:12:32Sample:1950 2011Included observations:62VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.LNIMPORT1.0077740.003527285.76380.0000R-squared0.995541 Mean dependent var5.315383Adjusted R-
23、squared0.995541 S.D.dependent var2.402858S.E.of regression0.160451 Akaike info criterion-0.805655Sum squared resid1.570422 Schwarz criterion-0.771346Log likelihood25.97529 Hannan-Quinn criter.-0.792184Durbin-Watson stat0.675802 重新检验残差项的稳定性，检验结果见表10.9。从表10.9检验结果看，t 统计量为-3.510003小于各显著性水平下的Mackinnon临界值
24、，表明残差序列不存在单位根，是平稳序列，从而变量lnexport与lnimport之间仍然存在协整关系。这说明模型（10.5.2）所建立的长期均衡关系是成立的。但是，可能存在短期非均衡关系。以残差项作为误差修正项，可建立如下误差修正模型（回归结果见表10.10）：(10.5.3)11lnln+lntttttexportimportexporteu 表表10.9 10.9 残差序列平稳性检验结果残差序列平稳性检验结果Null Hypothesis:ET has a unit rootExogenous:NoneLag Length:0(Fixed)t-Statistic Prob.*Augmen
25、ted Dickey-Fuller test statistic-3.510003 0.0007Test critical values:1%level-2.6034235%level-1.94625310%level-1.613346*MacKinnon(1996)one-sided p-values.表表10.1010.10 修正回归模型的回归结果修正回归模型的回归结果Dependent Variable:LNEXPORT-LNEXPORT(-1)Method:Least SquaresDate:10/02/13 Time:13:22Sample(adjusted):1952 2011In
26、cluded observations:60 after adjustmentsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.LNIMPORT-LNIMPORT(-1)0.6563980.0744788.8133160.0000LNEXPORT(-1)-LNEXPORT(-2)0.1821040.0831412.1902940.0326ET(-1)-0.2475350.079107-3.1291050.0028R-squared0.537958 Mean dependent var0.130387Adjusted R-squared0.521746 S
27、.D.dependent var0.134253S.E.of regression0.092844 Akaike info criterion-1.867082Sum squared resid0.491342 Schwarz criterion-1.762364Log likelihood59.01245 Hannan-Quinn criter.-1.826121Durbin-Watson stat2.010306 从而，最终得到的误差修正模型的估计结果为：（10.5.4）从式子（10.5.2）得知，出口关于进口的长期弹性是1.0078，由式子（10.5.4）得知，出口关于进口的短期弹性是0.6564。11ln0.6564 ln+0.1821 ln0.2475ttttexportim portexporte
