1、第三章第三节二维随机变量函数的分布 在第二章中，我们讨论了一维随机变量在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论函数的分布，现在我们进一步讨论:首先讨论两个随机变量函数的分布问题，首先讨论两个随机变量函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机向量当随机向量X1,X2,Xn的联合分布已的联合分布已知时，如何求出它们的函数知时，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1,X2,Xn),i=1,2,m的联合分布的联合分布?一、离散型随机向量函数的分布一、离散型随机向量函数的分布设设),(YX是二维离散型随机向量，是二维离散型随机向量，),
2、(yxg是一个二是一个二元函数，元函数，则则),(YXg作为作为),(YX的函数是一个随机变的函数是一个随机变量，量，如果如果),(YX和概率分布为和概率分布为).,2,1,(,jipyYxXPijji设设),(YXgZ 的所有可能取值为的所有可能取值为,2,1,kzk则则Z的概率分布为的概率分布为,),(),(kjizyxgjikkyYxXPzYXgPzZP,2,1 k例例1 设随机向量设随机向量),(YX函数函数Z的分布：的分布：;)1(YXZ .)2(XYZ 解解由由),(YX的概率分布可得的概率分布可得的概率分布如右表：的概率分布如右表：YX1 0121 2.015.01.03.021
3、.001.005.0求随机向量求随机向量),(YX的的2.015.01.03.01.001.005.0YXZ XYZ ijp),(YX)1,1(2 1)0,1(1 0)1,1(01)2,1(12)1,2(12)0,2(20)1,2(32)2,2(43与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同,把把Z值相同项对应的概率值合并可得：值相同项对应的概率值合并可得：YXZ )1(的概率分布为的概率分布为Zip2 1 012342.015.01.04.001.005.0XYZ )2(的概率分布为的概率分布为Zip2 1 01244.015.01.02.01.005.
4、0例例2 若若X、Y独立，独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,P(Y=k)=bk,k=0,1,2,求求Z=X+Y的概率函数的概率函数.解解:)()(rYXPrZPriirYPiXP0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riirYiXP0),(由独立性由独立性即离散型即离散型卷积公式卷积公式r=0,1,2,解：解：依题意依题意 riirYiXPrZP0),()(例例2 若若X和和Y相互独立相互独立,它们分别服从参数为它们分别服从参数为 的泊松分布的泊松分布,证明证明Z=X+Y服从参数为服从参数为21,21的泊松分布的泊松分布.由卷积公式由卷积公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)
5、(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(由卷积公式由卷积公式ri 0i-r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i-r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布.21r=0,1，例例3 设设X和和Y相互独立，相互独立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求Z=X+Y 的分布的分布.回忆第二章对服从二项分布的随机变量回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释所作的直观解释:我们给出不需要计算的另一种证法我们给出不需要计算的另一种证法:同样，同样，Y是在是在n2次独立重复试验中事件
6、次独立重复试验中事件A出现出现的次数的次数,每次试验中每次试验中A出现的概率为出现的概率为p.若若X B(n1,p),则则X 是在是在n1次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数,每次试验中每次试验中A出现的出现的概率都为概率都为p.故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次独立重复试验次独立重复试验中事件中事件A出现的次数，每次试验中出现的次数，每次试验中A出现出现的概率为的概率为p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）为参）为参数的二项随机变量，即数的二项随机变量，即Z B(n1+n2,p).请同学们自己给出其严格证明请同学们自己给出其严格证明二、连续型随机向量的函数的
7、分布二、连续型随机向量的函数的分布设设),(YX是二维连续型随机向量，是二维连续型随机向量，其概率密度函数其概率密度函数为为),(yxf令令),(yxg为一个二元函数，为一个二元函数，),(YXg是是),(YX的函数的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求求),(YXgZ 的分布的分布.(1)求分布函数求分布函数),(zFZ),()(zYXgPzZPzFZ 则则),(zDYXP zDdxdyyxf),(其中，其中，.),(|),(zyxgyxDz (2)求其概率密度函数求其概率密度函数),(zfZ对几乎所有的对几乎所有的,z有有).()(zFz
8、fZZ 在求随机向量在求随机向量(X,Y)的函数的函数Z=g(X,Y)的分布时，的分布时，关键是关键是设法将其转化为设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取在一定范围内取值的形式，从而利用值的形式，从而利用(X,Y)的分布求出的分布求出Z=g(X,Y)的分布。的分布。1、和的分布、和的分布 设设X和和Y的联合密度为的联合密度为 f(x,y),求求Z=X+Y的密度的密度.解解:Z=X+Y的分布函数是的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z)Ddxdyyxf),(这里积分区域这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线是直线x+y=z 左下方的半平面左下方的半平面.化成累次积分化成累次积
9、分,得得zyxZdxdyyxfzF),()(yzZdydxyxfzF),()(固定固定z和和y,对方括号内的积分作变量代换对方括号内的积分作变量代换,令令x=u-y,得得 zZdyduyyufzF),()(zdudyyyuf),(变量代换变量代换交换积分次序交换积分次序由概率由概率密度与分布函数的关系密度与分布函数的关系,即得即得Z=X+Y的概率密度为的概率密度为:由由X和和Y的对称性的对称性,知知 fZ(z)又可写成又可写成 dyyyzfzFzfZZ),()()(以上两式即是两个随机变量和以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式.dxxzxfzFzfZZ),()()
10、(zZdudyyyufzF),()(特别，当特别，当X和和Y独立，设独立，设(X,Y)关于关于X,Y的边缘的边缘密度分别为密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为则上述两式化为:dyyfyzfzfYXZ)()()(这两个公式称为卷积公式这两个公式称为卷积公式.dxxzfxfzfYXZ)()()(下面我们用下面我们用卷积公式求卷积公式求Z=X+Y的概率密度的概率密度为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域 例例4 若若X和和Y 独立独立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度求求Z=X+Y的概率密度的概率密度.,0,10 ,1 )(其他xxfdxxz
11、fxfzfYXZ)()()(解解:由卷积公式由卷积公式1010 xzx也即也即zxzx110为确定积分限为确定积分限,先找出使被积函数不为先找出使被积函数不为0的区域的区域.,0,21,2,10 ,)(110其他zzZzzdxzzdxzf（如图示）（如图示）10,10 xzx即即zxzx1,10于是于是dxxzfxfzfYXZ)()()(例例5 设设X和和Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,它们都它们都服从服从)1,0(N分布分布,其概率密度为其概率密度为,21)(2/2xXexf 2/221)(yYeyf ,x,x求求YXZ 的概率密度的概率密度.解解 由卷积公式得由卷积公式
12、得 dxxzfxfzfYXZ)()()(dxeexzx2)(22221 dxeezxz222421 dteezxttz 224212/dxxzfxfzfYXZ)()()(即即).2,0(NZ222442222221212exp212121221zztzedttezxtdtee注意上例的结论：注意上例的结论：用类似的方法可以证明用类似的方法可以证明:),(222121NYXZ 若若X和和Y 独立独立,),(),(222211NYNX 结论又如何呢结论又如何呢?若若X和和Y 独立独立,具有相同的分布具有相同的分布N(0,1),则则Z=X+Y服从正态分布服从正态分布 N(0,2)。更一般地，可以得到
13、正态随机变量的线性组合更一般地，可以得到正态随机变量的线性组合若若),2,1)(,(2niNXiii 且它们相互且它们相互独立，独立，则对任意不全为零的常数则对任意不全为零的常数,21aa,na有有.,11122 nininiiiiiiaaNXa 此结论此结论可以推广到可以推广到n个独立随机变量之和的个独立随机变量之和的情形情形,请自行写出结论请自行写出结论.解解:例例6 设某种商品在一周内的需要量是一个随机设某种商品在一周内的需要量是一个随机变量，其概率密度函数为变量，其概率密度函数为:如果各周的需要量相互独立，求两周如果各周的需要量相互独立，求两周需要量的概率密度函数需要量的概率密度函数.
14、其它00)(xxexfx 分别用X,Y表示该种商品在第一，二周内的需要，则其概率密度函数分别为:其它00)(xxexfxX两周需要量两周需要量Z=X+Y,ZZ=X+Y,Z的概率密度函数为的概率密度函数为:其它00)(yyeyfyYdxxzfxfzfYXZ)()()(0)(zfZ00 xzx时，被积函数不为零，时，被积函数不为零，所以所以 （1）当当z 0时时,有有(2)(2)当当z0,z0,zYXZdxxzfxfzf0)()()(zzxzxezdxexzxe6)(30)(其它006)(3zezzfxZ总结 从前面例从前面例4可以看出，可以看出，在求随机向量在求随机向量(X,Y)的的函数函数Z=
15、g(X,Y)的分布时，的分布时，关键是设法将其转关键是设法将其转化为化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布.2、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 设设X，Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为FX(x)和和FY(y)，求，求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函数的分布函数.又由于又由于X和和Y 相互独立相互独立,于是得到于是得到M=max(X,Y)的分布函数为的分布函数为:即有即有 FM(z)=FX(z)
16、FY(z)FM(z)=P(Mz)=P(Xz)P(Yz)=P(Xz,Yz)由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z 等价于等价于X和和Y都都不大于不大于z，故有，故有 分析：分析：P(Mz)=P(Xz,Yz)类似地，可得类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是的分布函数是下面进行推广下面进行推广 即有即有 FN(z)=1-1-FX(z)1-FY(z)=1-P(Xz,Yz)FN(z)=P(Nz)=1-P(Nz)=1-P(Xz)P(Yz)设设X1,Xn是是n个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为它们的分布函数分别为 我们来求我们来求 M=max(X1,Xn)和和N=mi
17、n(X1,Xn)的分布函数的分布函数.)(xFiX(i=1，,n)用与二维时完全类似的方法，可得用与二维时完全类似的方法，可得 特别，当特别，当X1,Xn相互独立且具有相相互独立且具有相同分布函数同分布函数F(x)时，有时，有 N=min(X1,Xn)的分布函数是的分布函数是 M=max(X1,Xn)的分布函数为的分布函数为:FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n)(1 1)(1zFzFXN)(1 zFnX)()(1zFzFXM)(zFnX 若若X1,Xn是连续型随机变量，在求得是连续型随机变量，在求得M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布函数后，不难求
18、得函数后，不难求得M和和N的密度函数的密度函数.留作课下练习留作课下练习.当当X1,Xn相互独立且具有相同分布函数相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有时，有 FM(z)=F(z)nFN(z)=1-1-F(z)n 需要指出的是，当需要指出的是，当X1,Xn相互独立且相互独立且具有相同分布函数具有相同分布函数F(x)时时,常称常称M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn)为极值为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值的意义和实用价值.如图所示如图所示.设系统设
19、系统L L由两个相互独立的子系由两个相互独立的子系统统L L1 1,L,L2 2联接而成联接而成,联接联接的方式分别为的方式分别为:(1)(1)串联串联.(2)(2)并联并联.(3)(3)备用备用(开关完全可开关完全可靠靠,子系统子系统L L2 2在储备期内在储备期内不失效不失效,当当L L1.1.损坏时损坏时,L,L2 2开始开始工作开始开始工作).).例例 6 解解:设设L L1 1,L,L2 2的寿命分别为的寿命分别为X X，Y.Y.其概率密度函其概率密度函数分别为数分别为:其中其中 0,0,0,0,且且 .分别对以上三种联接方式写出分别对以上三种联接方式写出L L的寿命的寿命Z Z的概
20、的概率密度函数率密度函数.其它00)(xexfxX其它00)(yeyfyY先求先求X,YX,Y的分布函数的分布函数:0001)()(xxedttfxFxxXX(1)(1)串联串联.Z=minX,Y.Z=minX,Y F FZ Z(z)=1-1-F(z)=1-1-FX X(z)1-F(z)1-FY Y(z)(z)0001)()(yyedttfyFyyYY0001)(zzez000)()()()(zzezFzfzZZ(2)并联.Z=MaxX,Y FZ(z)=FX(z)FY(z)000)1)(1(zzeezz000)()()()(zzeeezFzfzzzZZ(3)备用.Z=X+YdxxzfxfzfY
21、XZ)()()(dxxzfxfzfYXZ)()()(0)(zfZ当 z 0时,有当z 0时，zYXZdxxzfxfzf0)()()()(0)(zzzxzxeedxee000)()(zzeezfzzZ 这一讲，我们介绍了如何求这一讲，我们介绍了如何求r.v函数的分布函数的分布.但有时我们无法精确求出此分布但有时我们无法精确求出此分布.当这个积分无法精确求出时，一个可取的当这个积分无法精确求出时，一个可取的方法是采用计算机模拟方法是采用计算机模拟.例如，想求两个独立连续型例如，想求两个独立连续型r.v 之和之和X+Y的的分布函数分布函数.X的分布函数为的分布函数为F，Y的分布函数为的分布函数为G，
22、在理论上，可以求得：在理论上，可以求得：dxxfxXtYXPtYXP)()|()(dxxfxtG)()(其中其中f(x)是是 X 的密度函数的密度函数.这一讲，我们介绍了求随机向量函数这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：的分布的原理和方法，需重点掌握的是：1.已知两个随机变量的联合概率分布已知两个随机变量的联合概率分布,会会 求其函数的概率分布求其函数的概率分布；2.会根据多个独立随机变量的概率分布求会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布其函数的概率分布n维随机向量属同学自学内容。维随机向量属同学自学内容。作业 第82-83页 1，2，4，7 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可
