1、泰勒（泰勒（Taylor)公式公式二二、nP和和nR的的确确定定一、问题的提出一、问题的提出三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理四、简单的应用四、简单的应用一、问题的提出一、问题的提出1 1.设设)(xf在在0 x处处连连续续,则则有有2 2.设设)(xf在在0 x处处可可导导,则则有有例例如如,当当x很很小小时时,xex 1 ,xx )1ln()()(0 xfxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf)()()(000 xxxfxfxf xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 不足不足:问题问题:寻找函
2、数寻找函数)(xP,使得使得)()(xPxf 误误差差 )()()(xPxfxR 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,)(xP为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn 二二、nP和和nR的的确确定定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同
3、近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x假设假设 nkxfxPkkn,2,1)()(0)(0)(),(00 xfa 代代入入)(xPn中中得得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 得得 ),2,1,0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(!202xfa ,)(!0)(xfannn 三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理泰泰 勒勒(T Ta ay yl lo or r)中中 值值定定 理理 如如果果 函函 数数)(xf在在 含含 有有0 x的的某某个个开开区区间间),(
4、ba内内具具有有直直到到)1(n阶阶的的导导数数,则则当当x在在),(ba内内时时,)(xf可可以以表表示示为为)(0 xx 的的一一个个n次次多多项项式式与与一一个个余余项项)(xRn之之和和:)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR (在0 x与与x之之间间).nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 次次近近似似多多项项式式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按
5、按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之之间间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及).)()(0nnxxoxR 即即注意注意:1 1.当当0 n时时,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2 2.取取00 x,在在0与与x之之间间,令
6、令)10(x 则则余余项项 1)1()!1()()(nnnxnxfxR )(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(MaclaurinMaclaurin)公式公式四、简单的应用四、简单的应用例例 1 1 求求xexf)(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式.解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxx
7、xe由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差)0(x设设!1!2111,1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin1212153 mmmxomxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642mmmxomxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 例例 2 2 计算计算 403cos2l
8、im2xxexx .解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式xy xysin 播放播放五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;播放播放2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限3)1(sinlimxxxxexx 思思考考题题解解答答)(!3!21332xoxxxex )(!3sin33xoxxx 3)1(sin
9、limxxxxexx333332)1()(!3)(!3!21limxxxxoxxxoxxxx 3333)(!3!2limxxoxxx 61 一、一、当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)(的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 .二、二、求函数求函数xxexf)(的的n阶麦格劳林公式阶麦格劳林公式.三、三、验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01.四、四、应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估
10、计误差.五、五、利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx .练练 习习 题题一、一、)1()1()1(112nxxxx )1,0()1(1)1()1(211 nnnxx.二、二、)!1(!232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn.三、三、645.1 e.四、四、5331088.1,10724.330 R.五、五、1 1、121.2.2、21.练习题答案练习题答案xy xysin 五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;x
11、y xysin!33xxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;xy xysin!33xxy o!5!353xxxy 五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;xy xysin!33xxy !5!353xxxy !7!5!3753xxxxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用;xysin!11!9!7!5!3119753xxxxxxy o五、小结1 1.T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近
12、似似计计算算中中的的应应用用;2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-
13、局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.2 2.T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近.
