1、二、分部积分法二、分部积分法第二节一、换元积分法一、换元积分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 不定积分的积分法 第三三章 引例引例xxd)1(2求dxxx)12(12：原式解1331Cu Cxxx2331dudxxu则：令解,12duu2原式13)1(31Cx123)133(31CxxxCxxx2331为什么要换元？为什么要换元？xxd)1(10Cxxx11)1()1d()1(1110 xxd2sinxx 2d2sin21例：xxd2sinxxxdcossin2Cx2sinxxd2sinxxxdcossin2Cx2cosCx2cos21xx sindsin2xx cosdcos2求导验证三
2、者等价一、换元积分法一、换元积分法定理定理3.2,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法配元法即xxxfd)()(,凑微分法凑微分法)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求).1(d)(mxbxam解解:令,bxau则,ddxau 故原式原式=muuad1a1Cumm1111)()1(1mbxamaC注注:当1m时bxaxdCbxaaln1机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsin
3、sindxxdtan机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似Caxaxaln21例例.求.d22axx解解:221ax)(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式=a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)(d机动 目录 上页 下页 返回 结束 常用的几种配元形式常用的几种配元形式:xbxafd)()1()(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万能凑幂法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(co
4、sxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd例例.求.)ln21(dxxxxln21xlnd解解:原式=xln2121)ln21(dxCx ln21ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二类换元法第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法.难求，uufd)(定理定理.设)(tx是单调可导函数,且,0)(t)
5、()(ttf具有原函数,)(d)()(d)(xttttfxxf.)()(的反函数是其中txxt机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式ux)(第一换元法：令)(tx第二换元法：令nnbaxtbax设,例例.d121xx求tdtxtxxt2d,1,12则设dttttdttxx2222221d121dttdt2142Ctt)2ln(42.)12ln(412Cxx解:由导数公式vuvuuv)(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、分部积分法二、分部积分法例例.求.dln2xxx解解:令,ln xu 2
6、xv 则,1xu 331xv 原式=xx ln313xxxd1313Cxxx9ln3133机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例.求.dcosxxx解解:令,xu,cosxv 则,1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)巧妙换元或配元等xx22cossin1;)2cos1(sin212xx;)2cos1(cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差;分式分项;利
7、用倍角公式,如分部积分公式xvuvuxvudd思考与练习思考与练习332d.1xx求机动 目录 上页 下页 返回 结束)32(323132d313xdxxx）（解：Cx32322331）（Cx323221）（14d.22xx求机动 目录 上页 下页 返回 结束 Cxx1212ln41)12(1214d2xxdxxx）（解：dxxx)121121(21dxxdxx12141121413.求 xxxd1令1xt机动 目录 上页 下页 返回 结束 tttd111222ttttd212原式)d11(22ttdtCttarctan22Cxx1arctan212.dsec2xxx求xxxxxxdtantantand解：原式4.Cxxxcoslntan
