1、1第三节第三节 2一、样本均值和样本方差的分布一、样本均值和样本方差的分布设设总总体体),(2 NX，样样本本),(21nXXX，1 1.样本均值样本均值),(2nNX .由于正态分布具有可加性，即相互独立的正态由于正态分布具有可加性，即相互独立的正态变量的线性组合仍为正态变量，而前已证明变量的线性组合仍为正态变量，而前已证明 证证 ,)(E X，nX2)(D 所以所以.),(2nNX 标准化标准化.)1,0(/NnXU 32 2.22)1(Sn 3 3.X与与2S相相互互独独立立；niiXX122)(1.)1(2 n.)1(/.4 ntnSXt 证证 1.1.样本均值样本均值),(2nNX
2、.且且nX/2 与与22)1(Sn 相相互互独独立立，,)1()1(222 nSn ,)1,0(/NnXU 注：注：)()(12122nXnii 4且且nX/2 与与22)1(Sn 相相互互独独立立，)1,0(/NnX ，)1()1(222 nSn 由由 t 分布的定义分布的定义,)1()1(/222 nSnnXT nSX/.)1(nt5设设总总体体,)4,(NX若若要要以以 95%的的概概率率保保证证样样本本均均值值X与与总总体体期期望望 的的偏偏差差小小于于 0.1,问问样样本本容容量量n应应取取多多大大?例例1 1解解因因,)4,(NX故故 ,)4,(nNX 所所以以 1.0P X1)/
3、1.0(2 n,95.0 即即 ,975.0)05.0(n 查表得查表得 ,96.105.0 n,64.1536 n即即应应取取 .1537 n 6用用2S代代替替2,构构造造统统计计量量.)1(/ntnSXT 设设某某厂厂生生产产的的灯灯泡泡的的使使用用寿寿命命),1000(2 NX (单单位位:小小时时).今今抽抽取取一一容容量量为为 9 的的样样本本,得得到到 ,100 s 试试求求.940P X 例例2 2分析分析解解由由于于题题中中2 未未知知,故故不不能能用用,),(2nNX 因为因为,)8(9/1000tSXT 940P X3/10010009403/1001000P X,8.1
4、P T故故7,)8(9/1000tSXT ,8.1P T940P X,8.1)8(t令令查表得查表得,3968.1)8(1.0 t,8595.1)8(05.0 t用线性插值得用线性插值得 .056.0 故故.056.0940P XxO)(nt)(nt 8设设总总体体,),(2 NX)16(),(21 nXXXn是是来来自自X的的样样本本,求求概概率率 例例3 3解解由分布定理知由分布定理知,;2)(12P)1(2122 niiXn.2)(12P)2(2122 niiXXn,)()(2212nXnii .)1()1()(222212 nSnXXnii 9;2)(12P)1(2122 niiXn2
5、)(2P212nXnnii 32)16(8P2 32)16(P8)16(P22 .94.001.095.0 xO)(xf)(2n 10 xO)(xf)(2n 2)(12P)2(2122 niiXXn2)(2P212nXXnnii 32)15(8P2 32)15(P8)15(P22 .895.0005.090.0 11设设),(21nXXX是是来来自自正正态态总总体体),(2 NX的的样样本本,其其样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别为为2,SX,1 nX是是对对X的的又又一一次次独独立立观观测测值值,求求下下面面统统计计量量的的概概率率分分布布:例例4 411 nnSXXZn解解因因,
6、),(21 NXn,),(2nNX 故故,),0(221nNXXn 标准化得标准化得,)1,0(11NnnXXn 12,)1,0(11NnnXXn 又由抽样分布定理知又由抽样分布定理知 ,)1()1(222 nSn 于是据于是据 t 分布的定义得分布的定义得 ,)1()1()1(1221 ntnSnnnXXn 即即.)1(11 ntnnSXXZn13二、样本均值差和联合样本方差的分布二、样本均值差和联合样本方差的分布下面讨论一下两个正态总体的情况下面讨论一下两个正态总体的情况.设设两两个个正正态态总总体体),(211 NX,),(222 NY 相相互互独独立立,分分别别抽抽取取样样本本),(1
7、21nXXX和和),(221nYYY，各各自自的的样样本本均均值值和和样样本本方方差差分分别别记记为为22,YXSSYX,则则(1)(1)1,0(/)()(22212121NnnYXU (2)(2)，时时当当22221 ，）（)2(11)(212121 nntnnSYXTxy .2)1()1(2122212 nnSnSnSYXxy其中其中联合样本方差联合样本方差 14(1)(1)1,0(/)()(22212121NnnYXU 证证 (1)(1)，),(1211nNX ，),(2222nNY 由正态分布的可加性由正态分布的可加性,可得可得 .),(22212121nnNYX 标准化标准化,即得即
8、得 .)1,0()()(22212121NnnYXU 且且X与与Y相相互互独独立立，15(2)(2)，)1()1(122121 nSnX ，)1()1(222222 nSnY 且且22,YXSS相相互互独独立立，由由2 分分布布的的可可加加性性,有有.)2()1()1(21222222121 nnSnSnVYX 因因为为22221 ,记记2)1()1(2122212 nnSnSnSYXxy,则有则有.)2()2(2122221 nnSnnVxy -联合样本方差的分布联合样本方差的分布16.)2()2(2122221 nnSnnVxy 且且U与与V相互独立相互独立,则则 )2/(21 nnVUT
9、212111)(nnSYXxy ）（.)2(21 nnt.)1,0()()(22212121NnnYXU 17二、样本方差比的分布二、样本方差比的分布设设两两个个正正态态总总体体),(211 NX,),(222 NY 相相互互独独立立,分分别别抽抽取取样样本本),(121nXXX和和),(221nYYY，2XS和和2YS为为各各自自的的样样本本方方差差,则则.)1,1(21222122 nnFSSFYX 证证 ，)1()1(122121 nSnX ，)1()1(222222 nSnY 且且2XS与与2YS相相互互独独立立,由由F分布的定义可得结论分布的定义可得结论.18小结小结样本均值样本均值
10、niiXnX11样本方差样本方差niiXXnS122)(11 niiXnXn12211,)(E X，nX2)(D .)(E22 S,)(E X,)(D2 X设总体的期望和方差分别为设总体的期望和方差分别为则有则有19统计三大分布：统计三大分布：(1)(1)(2)(2)nXXX,21相相互互独独立立,且且,)1,0(NXi则则 222212nXXX .)(2n.)(ntnYXT 设设)1,0(NX,)(2nY,且且X,Y相相互互独独立立,设设)(2mX,)(2nY,且且X,Y相相互互独独立立,.),(/nmFnYmXF (3)(3)20设设总总体体),(2 NX，样样本本),(21nXXX，)1
11、,0(/NnXU 抽样分布定理：抽样分布定理：(1)(1)1()1(222 nSn (2)(2)(3)(3).)1(/ntnSXT，),(2nNX 21(4)(4)独独立立,分分别别抽抽取取样样本本),(121nXXX和和),(221nYYY，)1,0(/)()(22212121NnnYXU ，）（)2(11)(212121 nntnnSYXTxy 设设两两个个正正态态总总体体),(211 NX,),(222 NY相相互互(5)(5).)1,1(21222122 nnFSSFYX 2)1()1(2122212 nnSnSnSYXxy其中其中22练习：练习：P171 习题六习题六23设设总总体体
12、X的的期期望望为为,方方差差为为2,若若至至少少要要以以 9 95 5%的的概概率率保保证证,1.0 X 问问样样本本容容量量n应应取取多多大大?补充题补充题：1.2.设设总总体体,)1,0(NX),(521XXX是是来来自自X的的样样本本,设设,)(25242321XXXXXCY 试确定试确定C,使使Y具有具有 t 分布分布.24设设总总体体X的的期期望望为为,方方差差为为2,若若至至少少要要以以 9 95 5%的的概概率率保保证证,1.0 X 问问样样本本容容量量n应应取取多多大大?解解因因n很很大大时时,X近近似似服服从从,),(2nN 于于是是 1.1.0P X1)/1.0(2 n ,95.0 即即,975.0)1.0(n,96.11.0 n,385 n查表得查表得即样本容量至少取即样本容量至少取385才能满足要求才能满足要求.补充题解答补充题解答：25设设总总体体,)1,0(NX),(521XXX是是来来自自X的的样样本本,设设 2.,)(25242321XXXXXCY 试确定试确定C,使使Y具有具有 t 分布分布.(答答案案:23 C)
