1、第九章 量子霍尔效应内容提要引言经典Hall效应电子的Landau能级磁通量子化整数量子Hall效应(IQHE)分数量子Hall效应(FQHE)展望引言(1985年第一次诺贝奖)1930年,Landau 证明量子力学下电子对磁化率有贡献,同时也指出动能的量子化导致磁化率随磁场的倒数周期变化.引言 1975年S.Kawaji等首次测量了反型层的霍尔电导,1978年 Klaus von Klitzing 和Th.Englert 发现霍尔平台,但直到1980年,才注意到霍尔平台的量子化单位 1985年,Klaus von Klitzing 获诺贝尔物理奖.2eh引言1998年第二次诺贝尔奖 1982
2、年,崔琦,H.L.Stomer 等发现具有分数量子数的霍尔平台,一年后,R.B.Laughlin给出了一个波函数,对分数量子霍尔效应给出了很好的解释.1998年诺贝尔物理奖授予Horst Stomer,崔琦和Robert Laughlin,以表彰他们发现分数量子霍尔效应及对这一新的量子液体的深刻理解.量子霍尔效应 Stormer,Horst L.Email:horstphys.columbia.edu Telephone:(212)854-3279 量子霍尔效应 DANIEL C.TSUI,崔琦Professor Room B-426,Engineering Quadrangle Carol
3、Agans,Administrative Assistant 609-258-3217 Connie Brown,Assistant 609-258-4641 609-258-6279(f)量子霍尔效应 Prof.Robert B.Laughlin Department of Physics Stanford University,Stanford,CA 94305 rbllarge.stanford.edu经典霍尔效应经典霍尔效应 1879年,由Johns Hopkins 大学的研究生Edwin Hall发现,其导师是Henry A.Rowland 教授.经典霍尔效应经典霍尔效应长条形导体:
4、电流密度:横向电场:霍尔电阻率:电阻率与磁场成正比xjnevyEvBHyxEjB ne经典霍尔效应经典霍尔效应 根据德鲁特电导理论,金属中的电子在被杂质散射前的一段时间t内在电场下加速,散射后速度为零.称为弛豫时间.电子的平均迁移速度为 电流密度为 若存在外加静磁场,则电导率和电阻率都变为张量此处 ,仍然成立.j=EE=jdveEm 20dnejnevEEm,xxxyxxxyyxyyyxyy有磁场时,加入罗仑兹力,平面电子运动的Langevin方程为稳态时,假定磁场沿z方向,在xy 平面内其中 (回旋频率)(经典电导率)由此易得djnev()dddvevEvBm 00 xcyxycxyEjjE
5、jj ceB m20e nm 电导率与电阻率的关系为如果 ,则当 时,也为0.另一方面由此,当 时,为霍尔电导0c01=xxyyxyyx 220220(1)(1)xxyycxyyxcc 2222(),()xxxxxxxyxyxyxxxy 0 xy0 xxxxxyxxcne B 0 xxxxyyjExyHxyne B 由量子力学,电子处在磁场中的哈密顿量为这里选择矢量势 波函数为(因为H中不显含x,z)电子在均匀磁场中运动的Landau能级2221()2xyzzHpeByppS Bm(,0,0)By A(,)()exp()ixzx y zyp xp z根据薛定谔方程可求得电子的能量为212()2
6、nczzEnpmS BH的本征函数为在xy平面内单位面积态之数目为 其中 n=0,1,2,3,4,对于某一个Landau能级,在y方向的平衡位置数目也由 决定,故能级的简并度是 .*1/2const()2,()2mnzznmccczzezzzxiylzxiylleB BneB hBnBn12()ncEn或磁通量子化选标量函数仅依赖方位角()2 12Lr RA dlRR 作规范变换,并选取expAAAie 00expAi 若波函数描述延展态,则方位角可以取任意值.若满足周期性,则单值性要求:0,0,1,2,.m m 其中 为磁通量子.0h e 整数量子Hall效应(IQHE)二维电子系统 目前,
7、二维电子气主要以下面三个方式实现 1,MOSFET(金属-氧化物-半导体场效应管)硅中空穴向z方向运动,在SiO2和Si 的表面出现负电荷.电子密度为:MOSFET 示意图p-Si 空穴型13-210 cmMOSFET 的电子能级结构2,超晶格例:GaAs/AlGaAs 异质结的电子能级结构电子密度:11-210 cm3,液氦表面 液氦表面有一个超过1eV的势垒,阻止电子透射到液氦中去,而镜象电荷(+e)势又吸引电子于表面.电子密度:9-210 cm整数量子Hall效应(IQHE)实验条件1.极低温(1.5K)2.强磁场(18T)3.比较纯的样品 实验装置示意图实验观测到的霍尔电阻实验观测到的
8、霍尔电阻 3.台阶高度为 ,i 为整数,对应于占满第 i 个Landau能级,精度大约为5ppm.1.霍尔电阻有台阶2h ie2.台阶处纵向电阻为零.由于杂质的作用,Landau能级的态密度将展宽(如下图).两种状态:扩展态 和 局域态 只有扩展态可以传导霍尔电流(0度下),因此若扩展态的占据数不变,则霍尔电流不变.当Fermi能级位于能隙中时,出现霍尔平台.2HhRe i Laughlin(1981)和 Halperin(1982)基于规范变换规范变换证明,只要第 i 个扩展态占满,则霍尔电阻由下式精确给出霍尔平台是怎样产生的?无序引起的金属绝缘体相变问题 朗道的费米液体理论，实质上说的是库
9、仑相互作用仍保持动量空间中费米面的存在，或说金属金属无相变，莫特现象反映了在窄能带的晶体场中，库仑相互作用可能导致金属绝缘体的相变。那末在非晶体场中又怎样呢？1958年安得森指出在一个强随机场中电子的波函数会局域化，即有金属绝缘体的相变。这一工作在当时并未引起注意，因为结论似乎是在意料之中的。从紧束缚近似提供的能带图像不难理解，在能带中心附近的态应该保持扩展态，至少对不是非常强的无序系统来说应该成立；在能带边缘的那些态是局域态。1968年莫特对这种从局域态到扩展态的过渡，提出了迁移率边缘的临界能量Ec的概念。莫特在1973年又进一步提出Ec处有一个电导率的突变，即从局域态的min=0到扩展态m
10、in0的突变.1974年沙勒斯(Thouless)等提出了局域化问题的标度描述。1979年阿伯拉姆(Abraharms)等在沙勒斯等工作基础上提出了局域化标度理论，结论是电导率应该是连续变化而不是突变的。以后就有一系列用场论的重整化群方法研究无序引起的金属-绝缘体相变。结论是D=l，2维在无序的作用下应该是绝缘体，无相变。而在D=3时有金属-绝缘体相变。但在有磁场存在时，上述结论并不成立。负磁阻现象(D=2)表明，此时无序系统可能有扩展态。事实上，量子霍尔效应正是在研究电子的局域化问题时发现的。量子霍尔效应表明，在有磁场时，2维无序系统应有扩展态，否则=0了。怎么来解释实验中 出现的平台呢？(
11、见上图)。平台的存在说明有电子的态仅对电子密度n有贡献，但对 无贡献。这就表明有局域态，为解释这一点必须考虑杂质的存在。杂质使朗道能级变宽而成了能带，并且互相重叠起来。理论计算表明大部分电子状态局域化了，即被杂质所束缚，只有那些处在能带中心的状态仍然是扩展态。改变电子浓度就改变了费米能级。当费米能级处在局域态区时霍尔电导取量子数值，而当费米能级跨过一个扩展态时，霍尔电导率就改变一个量子数。HH 然而，考虑了局域态后，又为什么霍尔电导仍是量子化了的呢？对此，普拉格(Prange)认为局域态的存在并不影响霍尔电流。当电子费米能级位于局域态时，扩展态的电子会补偿应由局域态贡献的霍尔电流。后来，劳甫林
12、(Laughlin)又提出了规范不变的观点。所谓规范不变实质即电荷守恒。从这一点来说劳甫林的这一观点是普拉格观点的另一种更实质化、一般化的说法。然而作为物理的机理来说，哈伯林(Halperin)的“边界流”观点是十分重要的。边界流是一种拓扑元激发流。正是边界流的存在，才得以使量子化在有局域态存在时仍成立。不过，对此也有人持反对意见。应该说，即使在今天，整数量子霍尔效应(IQHE)的解释还是不完全清楚的。整数量子霍尔效应的发现是在MOS器件上作出的，这是一个2维有边界的现象。所谓边界，就是系统的拓扑结构。在有一定的拓扑结构下考虑无序(杂质)问题，这本身就是一个新问题。在这一方面，一些形式上拓扑问
13、题的研究固然重要，但可能还只是问题的第一步，真正的物理还在于考虑无序后的局域态、扩展态和边界流等问题。应用应用:1.1990年起,国际电阻标准为:精度2.精细结构常数 精度82 100.3ppm225812.806h e 分数量子霍尔效应分数量子霍尔效应 整数霍尔效应发现才2年，紧接着崔琦(Taui，美籍华裔)、斯多麦(Stormer)和谷沙特(Gossard)又发现了分数量子霍尔效应(FQHE)，这就提出了更深层的问题。他们在GaAsAlGaAs异质结上观察到，上述 的表示式中M为分数，而不仅是整数。实验是在高度净化，温度更低(1K)，磁场更强(约15特斯拉)的条件下进行的。此后的大量实验却
14、发现M=p/q，p是奇数或偶数，而对最低朗道能级，q总是奇数。1987年后又发现偶分母分数态M=5/2。H 如前所述整数量子霍尔效应(IQHE)可以用单粒子近似很好地描述，其物理图像已基本清楚。不过仍存在一些问题值得深入研究。分数量子霍尔效应(FQHE)必须是高迁移率的样品在更低的温度下才能观察到。分数量子霍尔效应也是一个强磁场中的电子强关联系统，因为要解释分数量子霍尔效应必须考虑电子相互作用。这从理论上提出了一类全新的问题。分数效应 崔琦,Stomer 等发现,当Landau能级的占据数这里 p,m 为整数,m为奇数时,有霍尔平台.()cnpg Em2HhRe分数量子霍尔效应不可能在单粒子图
15、象下解释,引入相互作用在超强磁场下,电子位于第一Landau能级.其单粒子波函数为这里 z=x+iy.这一状态对应于电子在一由下式给出的面积内运动.2212()iiimiijijeAeHpV rcrr2*21exp(/4)2!mcmmzzImLaughlin 建议了如下形式的波函数这一状态的占据数为.Laughlin 计算了m=3,m=5时这一波函数的能量,发现比对应密度下CDW的能量要低.这一状态称为分数量子霍尔态,或Laughlin态,当密度改变从而偏离占据数1/3,1/5时,对应于准粒子激发,激发谱具有能隙,准粒子的电荷为分数(1/3,1/5?).因此Laughlin态是一个不可压缩的量
16、子液体状态.FQHE 态.绿球代表被暂时冻结的电子,蓝色为代表性电子的电荷密度,黑色箭头代表磁通线.同 IQHE一样,Fermi 能级处于能隙位置时,出现FQHE 平台.不同之处在于IHQE的能隙来源于单粒子态在强磁场中的量子化,而FQHE的能隙来源于多体关联效应.Haldane 和 Halperin,利用级联模型,指出Laughlin 态的准粒子和准空穴激发将凝聚为高阶分数态,如从 1/3 态出发,加入准粒子导致 2/5态,加入空穴导致2/7态.准粒子由这些态激发出来并凝聚为下一级的态?.P 为偶数,对应于 粒子型元激发对应于 空穴型元激发级联模型的特点级联模型的特点:1,无法解释那一个子态
17、是较强的态.2,几次级联后,准粒子的数目将超过电子的数目.3,系统在分数占据数之间没有定义.4,准粒子具有分数电荷.复合费米子模型复合费米子模型(CF)Jain 一个复合费米子由一个电子和偶数个磁通线构成.复合费米子包含了所有的多体相互作用.FQHE是CF在一个有效磁场下的IQHE.CF 具有整数电荷.CF 模型可以给出所有观察到的分数态,包括这些态的相对强度及当减小温度,提高样品质量时出现的次序.CF 指出:v=1/2 态,对应的有效磁场为0,是具有金属特征的特殊状态.利用一维结观察分数电荷 (Kane,Fisher)C.L.Kane and M.P.A.Fisher,揂揂 Shot in
18、the Arm for Fractional Charge,?Nature 389,119(1997).利用边缘态研究Luttinger液体,(文小刚,X.G.Wen)C.L.Kane and M.P.A.Fisher,Transport in a Single Channel Luttinger Liquid,Phys.Rev.Lett-68,1220(1992).量子霍尔效应是一个很有意思的物理现象，是近10多年来凝聚态理论取得重大进展的低维系统中极为重要的领域。它提供了凝聚态物理中继氦之后又一个有着丰富物理内容的量子液体，这里有通常意义上的元激发，还有拓扑元激发。此外，它还紧密地联系着规
19、范场中的角、瞬子等问题。对它的深入研究会给人们许多新的物理启示。新进展新进展1,观察到分数电荷涨落.2,FQHE 的Ginsburg Landau 理论.3,费米,玻色 和分数统计.4,边缘态和共形场论.更多信息更多信息:1,Splitting the electron,by B.Daviss,New Scientist,31,January 1998,pp.36-40.2,Fractionally charged quasiparticles signal their presence with noise,by G.P.Collins,Physics Today,November 1997
20、,pp.17-19.3,When the electron falls apart,by P.W.Anderson,Physics Today,October 1997,pp.42-47.4,Fractional charges in an interacting electron system,by A.H.MacDonald,Science,17 February 1995,pp.977-978.5,The fractional quantum Hall effect,by J.P.Eisenstein and H.L.Stomer,Science,22 June 1990,pp.1510
21、-1516.6,Electrons in flat land,by S.Kivelson,D.H.Lee,and S.C.Zhang,Scientific American,March 1996,pp.64-69.更多信息更多信息:7,The quantum Hall effect,2nd Ed.edited by R.E.Prange and S.M.Girvin(Springer,New York,1990).标准参考书8,The quantum Hall effects,by T.Chakraborty and P.Pietilainen(Springer,Berlin,1995).9,Two-dimensional magnetotransport in the extreme quantum limit,by D.C.Tsui,H.L.Stomer,and A.C.Gossard,Phys.Rev.Lett.48,1559(1982).10,Anomalous quantum Hall effect:an incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations,by R.B.Laughlin,Phys.Rev.Lett.50,1395(1983).
